QUESTÕES VESTIBULAR PUCRJ 2017 - COMENTADAS

1. (Pucrj 2017)  Em uma pesquisa, constatou-se que, das 345 pessoas de um determinado local, 195 jogavam tênis, 105 jogavam tênis e vôlei, e 80 não jogavam nem vôlei nem tênis.

Qual é o número de pessoas que jogavam vôlei e não jogavam tênis?

a) 70   

b) 75   

c) 105   

d) 180   

e) 195   

  

Resposta da questão 1: [A]

Do enunciado, podemos montar o seguinte diagrama:

                              

Assim, 90 + 105 + x + 80 = 345 → x + 275 = 345 → x = 70

Logo, o número de pessoas que jogavam vôlei e não jogavam tênis era igual a 70  

2. (Pucrj 2017)  Os termos da soma S = 4 + 6 + 8 + ... + 96 estão em progressão aritmética. Assinale o valor de S.

a) 2000   

b) 2150   

c) 2300   

d) 2350   

e) 2400   

  

Resposta da questão 2: [D]

Da PA (4, 6, 8, ..., 96), temos: 96 = 4 + (n - 1).2 → 92 = 2n – 2 → 94 = 2n

n = 47 . Assim, S = (4 + 96).47/2 → S = 2350

3. (Pucrj 2017)  Considere a função real da forma f(x) = ax + b.

Sabendo que f(1) = - 1  e f(0) = 2, qual é o valor do produto a.b ?

a) 1   

b) 6   

c) - 3   

d) - 4   

e) - 6   

 Resposta da questão 3:[E]

De f(x) = ax + b, f(1) = -1 e f(0) = 2, temos:

● para f(0) = 2 → a.0 + b = 2 → b = 2

● para f(1) = -1 → a.1 + b = - 1 → a + 2 = - 1 → a = - 3

Assim sendo a.b = (-3).2 = - 6

4. (Pucrj 2017)  As cartas de um baralho comum (13 de copas, 13 de paus, 13 de ouros e 13 de espadas) são empilhadas.

Qual a probabilidade de a carta de cima ser de copas e a de baixo também?

a) 1/13   

b) 1/2   

c) 1/5   

d) 1/17   

e) 1/52   

Resposta da questão 4:[D]

Seja U o espaço amostral e A um evento desse espaço amostral tais que:

A é o conjunto formado por todas as sequências de 52 cartas, onde a primeira é de copas e a segunda também.

U é o conjunto formado por todas as sequências de 52 cartas.

Então, n(A) = A_13,2 . P₅₀ ,  onde A_13,2 é o total de maneiras de organizar a primeira e a última carta da sequência, onde ambas são de copas e P₅₀ é o total de maneiras de organizar as 50 cartas restantes do baralho, após a organização da primeira e da última carta da sequência.

Sendo n(U) = P₅₂, onde P₅₂ é o total de maneiras de organizar as 52 cartas da sequência.

Assim, P(A) = n(A)/n(U) = A_13,2 . P₅₀ / P₅₂ = 13.12.50!/52! = 13.12/ 52.51 →

P(A) = 1/17

  

5. (Pucrj 2017)  Um cubo de aresta a tem volume 24.

Assinale o valor do volume de um cubo de aresta a/3.

a) 8/9   

b) 9/3   

c) 8   

d) 24   

e) 72   

  

Resposta da questão 5:[A]

Do enunciado, a³ = 24.

Sendo V o volume de um cubo de aresta a/3, V = (a/3)³ = a³/27 = 24/27 = 8/9

6. (Pucrj 2017)  Sabemos que √(1 + c) . √(1 - c) = 1.

Assinale o valor de c.

a) 2   

b) 1/2   

c) 1   

d) 0   

e) 1/3   

  

Resposta da questão 6: [D]

● De √(1 + c)  e √(1 - c) → 1 + c ≥ 0 e 1 - c ≥ 0 ou seja, c ≥ - 1.

● De √(1 + c) . √(1 - c) = 1, → √[(1 + c).(1 - c)] = 1, → √[(1² – c²) = 1 →

  

   1 – c² = 1 → c² = 0 → c = 0.

7. (Pucrj 2017)  Assinale a menor solução inteira da inequação 4x – 10 >2.

a) 2   

b) 3   

c) 4   

d) 12   

e) 60   

Resposta da questão 7: [C]

De 4x - 10>2, temos: 4x > 12 → x > 3

Logo, a menor solução inteira da inequação é o número 4.  

8. (Pucrj 2017)  No círculo de centro O, seja AD um diâmetro. Sejam B e C tais que AOC = 90⁰ e AOB = ½ BOC.

                                           

Assinale o valor de ODB.

a) 12⁰   

b) 15⁰   

c) 18⁰   

d) 22,5⁰   

e) 30⁰   

  

Resposta da questão 8: [B]

Do enunciado e da figura, temos:

                               

Se AOB = α, BOC = 2α, então AOC = AOB + BOC.

Como AOC = 90⁰, AOB = α e BOC = 2α, então α + 2α = 90⁰ → α = 30⁰

Seja r a medida do raio do círculo, logo, o triângulo ODB é isósceles.

Então, se ODB = β, DBO = β, é o  ângulo externo do triângulo ODB,

α = 2β → β = 15⁰.  Assim, ODB = 15⁰  

9. (Pucrj 2017)  Assinale o valor da área do quadrado de vértices (-2, 9), (4, 6), (1, 0) e (-5, 3).

a) 20   

b) 25   

c)√45   

d) 45   

e)√60   

  

Resposta da questão 9: [D]

Do enunciado, temos:

                            

A área do quadrado acima é dada pela distancia CD² (ou AB²  = BC²  = AD²)

d_AB = √[(x_B – x_A)² + (y_B – y_A)²] = √[(-2 – (-5))² + (9 – 3)²] = √[(3)² + (6)²] →

d_AB = √(9 + 36) → d_AB = √45.

Portanto a área do quadrado é 45

10. (Pucrj 2017)  Um professor calculou a média das notas de seus 30 alunos e encontrou 5,6. Percebeu, no entanto, que 2 dos 30 alunos tinham tirado nota zero. Sendo assim, decidiu encontrar a média dos alunos que não tiraram zero.

Assinale a média que o professor, assim, obteve.

a) 5,7   

b) 5,8   

c) 6   

d) 6,2   

e) 6,4   

  

Resposta da questão 10:[C]

Considere o conjunto A = {a₁, a₂, a₃, ... , a₃₀}, onde:

a₁ é a nota do primeiro aluno, a₂ é a nota do segundo aluno, a₃ é a nota do terceiro aluno, ..., a₃₀ é a nota do trigésimo aluno.

Sem perda de generalidade, tomemos a₁  = a₂  = 0.

Daí, pelo enunciado, (0 + 0 + a₃  + a₄  + ... + a₃₀)/30 = 5,6 →

a₃  + a₄  + ... + a₃₀ = 168

Tirando as notas iguais a zero que dois alunos tiraram, a nova média será

dada por → (a₃  + a₄  + ... + a₃₀ ) /28 = 168/28 = 6

11. (Pucrj 2017)  Considere a equação sen 2Ɵ = cos Ɵ.

Assinale a soma de todas as soluções da equação com Ɵ ɛ [0, 2π].

a) 2π/3   

b) π/3   

c) 3π/2   

d) π/6   

e) 3π   

  

Resposta da questão 11:[E]

Se sen 2Ɵ = cos Ɵ → 2senƟcos Ɵ = cos Ɵ → 2senƟcos Ɵ - cos Ɵ = 0 →

(2senƟ - 1)cos Ɵ = 0 → (2senƟ - 1) = 0 ou cos Ɵ = 0.

Se (2senƟ - 1) = 0 → senƟ = 1/2 → Ɵ = π/6 ou Ɵ = 5π/6

Se cos Ɵ = 0 → Ɵ  = π/2 ou Ɵ = 3π/2

Assim, a soma das raízes da equação π/2 + 3π/2 + π/6 + 5π/6 = 3π

  

12. (Pucrj 2017)  Entre as alternativas abaixo, assinale a de menor valor:

    a) (-1)³   

b) 6⁸   

c) 3¹   

d) 1⁶   

e) 8¹⁰   

Resposta da questão 12:[A]

Como (-1)³ = - 1 < 0 é o único valor negativo então é o menor dos números apresentados.  

13. (Pucrj 2017)  Assinale o gráfico que melhor representa a curva de equação y = 1/x².

 

Resposta da questão 13:[D]

De y = 1/x², temos: lim_x→0+ 1/x² = +∞ ; lim_x→0- 1/x² = +∞ ; lim_x→+∞ 1/x² = 0 e

lim_x→-∞ 1/x² = 0.

Assim, o gráfico que melhor representa a curva de equação y = 1/x² é:

 

14. (Pucrj 2017)  Os termos da soma S = 4 + 8 + 16 + ... + 2048 estão em progressão geométrica. Assinale o valor de S.

a) 4092   

b) 4100   

c) 8192   

d) 65536   

e) 196883   

  

Resposta da questão 14: [A]

Da PG (4, 8, 16, ..., 2048), temos: q = 8/4 = 2, onde q é a razão da PG.

2048 = 4.2^{n – 1}, onde n é o número de termos da PG, 2048/4 = 2^{n – 1} →

512 = 2^{n – 1} → 2⁹ = 2^{n – 1} → n = 10. Então S = 4.(2¹⁰ - 1)/(2 - 1) = 4092.

15. (Pucrj 2017)  O técnico da seleção brasileira de futebol precisa convocar mais 4 jogadores, dentre os quais exatamente um deve ser goleiro.

Sabendo que na sua lista de possibilidades para essa convocação existem 15 nomes, dos quais 3 são goleiros, qual é o número de maneiras possíveis de ele escolher os 4 jogadores?

a) 220   

b) 660   

c) 1980   

d) 3960   

e) 7920   

  

Resposta da questão 15: [B]

Do enunciado, temos:

Há 3 possibilidades para a escolha do goleiro.

O total de maneiras de escolher os outros três jogadores, após a escolha do goleiro é dado por: C_12,3 = 12!/3!9! = 220

Assim, o total de maneiras de escolher os quatro jogadores, pelo princípio fundamental da contagem é: 3. 220 = 660.

  

16. (Pucrj 2017)  Ao lançar um dado 3 vezes sucessivas, qual é a probabilidade de obter ao menos um número ímpar?

a) 1/8   

b) 1/4   

c) 3/8   

d) 5/8   

e) 7/8   

  

Resposta da questão 16: [E]

Supondo um dado convencional (seis faces, numeradas de 1 a 6) e não viciado, sendo P a probabilidade de obter três números pares em três lançamentos sucessivos, temos: P = 3/6 . 3/6 . 3/6 = 1/8

A probabilidade de obter ao menos um número ímpar no lançamento de tal dado três vezes sucessivas é P', de modo que: P + P' = 1.

Então, 1/8 + P' = 1 → P' = 1 - 1/8 → P' = 7/8.

  

17. (Pucrj 2017)  Numa pirâmide de base quadrada, todas as arestas medem x. Quanto vale o volume da pirâmide?

a) √2x³/6   

b) πx²   

c) x³ + x² + x + 1   

d) x³   

e) √6x³/3   

  

Resposta da questão 17: [A]

Do enunciado, temos:

                          

No triângulo BCD, (2a)² = x² + x² → 4a² = 2x² → a² = x²/2

No triângulo VOB, x² = h² + a² → x² = h² + x²/2 → h² = x² - x²/2 → h = x√2/2

Assim, sendo V o volume da pirâmide, V = 1/3 . x² . h → V = 1/3 . x² . x√2/2

V = √2 . x³/6

  

18. (Pucrj 2017)  Três números positivos proporcionais a 5, 8  e 9 são tais que a diferença do maior para o menor supera o módulo da diferença entre os dois menores em 5 unidades. Assinale o maior deles.

a) 45   

b) 54   

c) 63   

d) 72   

e) 81   

  

Resposta da questão 18: [A]

Do enunciado, sejam os números 5x, 8x e 9x, x > 0.

9x – 5x – 5 = |8x – 5x| → 4x – 5 = |3x| → 4x – 5 = 3x → 4x – 3x = 5 → x = 5

ou 4x – 5 = - 3x → 4x + 3x = 5 → 7x = 5 → x = 5/7

Assim, os números são: 25, 40 e 45 ou 25/7, 40/7 e 45/7

Logo, o maior dos números é o 45.  

19. (Pucrj 2017)  Considere o quadrado ABCD como na Figura.

                             

Sabendo que E é o ponto médio do lado AB, assinale o valor de cos(CDE).

a) 1/2   

b) √5/5   

c) √2/2   

d) (1 + √5)/2   

e) √3/2   

  

Resposta da questão 19: [B]

Do enunciado e da figura, temos:

                              

No triângulo ADE, (DE)² = x² + (2x)² → (DE)² = 5x².

Como x > 0 e DE > 0, DE = x√5.

Assim, cos x = AE/DE = x/x√5 = 1/√5 = √5/5

Como o ângulo CDE = α, cos CDE = √5/5.  

20. (Pucrj 2017)  Um vendedor de picolés verificou que a quantidade diária de picolés vendidos (y) varia de acordo com o preço unitário de venda (p), conforme a lei y = 90 – 20p. Seja P o preço pelo qual o picolé deve ser vendido para que a receita seja máxima. Assinale o valor de P.

a) R$ 2,25   

b) R$ 3,25   

c) R$ 4,25   

d) R$ 5,25   

e) R$6,25   

Resposta da questão 20: [A]

A receita é dada por: R(p) = y . p → R(p) = (90 – 20)p

Fazendo R(p) = 0, temos: 90 – 20p = 0 → p = 9/2 ou p = 0.

Assim, P = (9/2 + 0)/2 → P = 9/4 → P = 2,25