1. (Esc. Naval ) No limite limx→0(√1+x)-(1-2ax)/x2, o
valor de a pode ser determinado para que tal limite exista. Nesse caso, o valor
do limite é
a) -1/4
b) 1/4
c) 1/8
d) -1/8
e) 0
2. (Esc. Naval ) Se o limite limh→0[(4√16+h)-2]/h, representa a
derivada de uma função real de variável real y = f(x) em x=a, então a equação
da reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto (a,f(a)) é
a) 32y-x=48
b) y-2x=-30
c) 32y-x=3048
d) y-32x=12
e) y-2x=0
3. (Esc. Naval ) O limite limx→╥/4(sen2x-cos2x-1)/(cosx-senx) é igual a
a) √2
b) -√2
c) √2/2
d) -√2/2
e) 0
4. (Uespi ) Qual o valor
do limite limx→0[(√x+25)-5]/[(√x+16)-4] ?
a) 0
b) 1/5
c) 2/5
d) 3/5
e) 4/5
5. (Uel ) O valor do limite limx→2(x-3)/x+1/2) é
a) -5/2
b) -3/2
c) -1
d) -2/3
e) -2/5
Gabarito Comentado
1. [D]
Sendo limx→0(√1+x)-(1-2ax)/x2, vamos aplicar o
Teorema de L’Hôspital, como segue
limx→0(√1+x)-(1-2ax)/x2 = limx→0[1/2√1+x]+2a]/2x
= (1/2+2a)/0
Para que o limite exista, deve-se ter a = -1/4. Em
consequência, aplicando novamente L’Hôspital, vem
= limx→0[1/2√1+x]+2a]/2x = limx→0[-1/4√(1+x)3]/2
= -1/8
2. [A]
Calculando:
f’(a) = limh→0[(4√16+h)-2]/h = limh→0[ 1/4(4√16+h)3
= 1/32
Mas:
f’(a) = limh→0[f(a+h)-f(a)]/h = limh→0[(4√16+h)-2]/h = f(a+h) = 4√16+h e f(a)=2
Logo, a equação da reta tangente ao gráfico de y=f(x)
no ponto (a,f(a)) será:
Como [y-f(a)]/(x+a) = f’(a) , então y = f’(a).(x-a)
+f(a)
Portanto y = [(x-16)/32] +2 e 32y-x=48
3. [B]
limx→╥/4(sen2x-cos2x-1)/(cosx-senx)
=
limx→╥/4[ 2senxcosx - (cos2
x – sen 2 x) - 1] / ( cosx – senx )
limx→╥/4( 2senxcosx - 2cos2 x
) / ( cosx – senx )
limx→╥/4[ -2cosx(-senx.cosx) / ( cosx –
senx ) = -2cos╥/4 = -2√2/2 = -2
4. [E]
Racionalizando o
numerador e o denominador, obtemos
limx→0[(√x+25)-5]/[(√x+16)-4]
=
[(√x+25)-5]/[(√x+16)-4] . [(√x+16)+4]/[(√x+16)+4]
. [(√x+25)+5]/[(√x+25)+5]
limx→0[(x√x+16)+4]/[(x√x+25)+5
= limx→0[(√x+16)+4]/[(√x+25)+5 = 4/5
5. [E]
Como as funções f(x) = x – 3 e g(x) = x + 1/2 são
contínuas para x = 2, podemos considerar que:
limx→2(x-3)/x+1/2) = (2-3)/(2+1/2) =
-2/5
