Professor Luiz Bolinha: 2018-02-25

1. (Ita 2018) Um poliedro convexo tem faces triangulares e quadrangulares. Sabe-se que o número de arestas, o número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão – 5. Determine o número de vértices do poliedro.

Sejam n, n - 5 e n – 10, respectivamente, as quantidades de arestas, faces

triangulares e quadrangulares.

Então, n = [3.(n - 5) + 4.(n - 10)]/2 → 2n = 3n - 15) + 4n – 40 → n = 11

Logo, o poliedro possui 11 arestas, 6 faces triangulares e 1 face quadrangular,

ou seja, possui 7 faces.

Dessa forma, sendo V o número de vértices do poliedro, temos:

V – 11 + 7 = 2 → V = 6

Resposta: Seis vértices

2. (Ita 2018) Encontre o conjunto solução S está contido em R da inequação exponencial:

3^{x
– 2}+ ∑_k=1⁴ 3^x+k≤ 1081/18

3^{x – 2}+ 3^{x +
1}+ 3^{x + 2}+ 3^{x + 3}+ 3^{x + 4} ≤ 1081/18

3^x/9 + 3^x.3 + 3^x.9 + 3^x.27 + 3^x.81 ≤ 1081/18

3^x(1/9 + 3 + 9 + 27 + 81) ≤ 1081/18 → 1081.3^x/9 ≤ 1081/18

3^x ≤ 1/2 → log₃ 3^x ≤ log₃ 1/2 → x ≤ log₃ 1/2

Resposta: S = {x ɛ R / x ≤ log₃ 1/2}

3. (Ita 2018) De uma caixa que contém 10 bolas brancas e 6 bolas pretas, são selecionadas ao acaso k bolas.

a) Qual a probabilidade de que exatamente r bolas sejam brancas, nas condições 0 ≤ k – r ≤ 6 e 0 ≤ k ≤ 10.

b) Use o item (a) para calcular a soma ∑_r=0⁶ C_10,r. C_{6, 6 - r}

a)Seja A o evento: selecionar, ao acaso, r bolas brancas e k - r bolas

pretas, nas condições do enunciado n(A) = C_10,r C_6,k-r

Seja Ω o espaço amostral: selecionar, ao acaso, k bolas, nas condições

do enunciado n(Ω) = C_16,k

Então, sendo P(A) a probabilidade de ocorrer o evento A, temos:

P(A) = C_10,r C_6,k-r / C_16,k

b) Do item “a”, tomando k = 6, ∑_r=0⁶ C_10,r. C_{6,
6 – r} / C_16,6

Então, 1/ C_16,6 . ∑_r=0⁶ C_10,r. C_{6, 6
– r}= 1 → ∑_r=0⁶ C_10,r. C_{6, 6 – r} = C_16,6

∑_r=0⁶ C_10,r. C_{6, 6 – r} = 16!/6!.10! = 8008

Resposta:

a) A probabilidade pedida é P(A) = C_10,r C_6,k-r / C_16,k

b) ∑_r=0⁶ C_10,r. C_{6, 6 – r} = 8008

4. (Ita 2018) A aresta lateral de uma pirâmide reta de base quadrada mede 13 cm e a área do círculo inscrito na base mede 25π/2 cm². Dois planos, π₁ e π₂ paralelos à base, decompõem a pirâmide em três sólidos de mesmo volume. Determine a altura de cada um desses sólidos.

Do enunciado,

l = 2r → πr² = 25π/2 → r² = 25/2 → r² = 2.25/4 → r = 5√2/2 → l = 5√2

OC = 1/2. 5√2 . √2 = 5

No triângulo AOC, 13² = 5² + (AO)² → AO = 12.

Os sólidos AJKLM e ABCDE são semelhantes, logo,

V/3V = (h₁/12)³ → 1/3 = (h₁/12)³ → 1/³√3 = h₁/12 → h₁= 12/³√3 cm

Os sólidos AJKLM e AFGHI são semelhantes, logo,

V/2V = [h₁ /(h₁ + h₂)]³ → 1/³√2 = h₁ /(h₁ + h₂) → h₁ + h₂ = ³√2 h₁

h₂ = ³√2 h₁ – h₁→ h₂ = h₁(³√2 – 1), como h₁ = 12/³√3 cm, então

h₂ = 12/³√3.(³√2 – 1) → h₂ = 12(³√2 – 1)/³√3 cm e h₁ + h₂ + h₃ = 12

Então,

12/³√3 + 12/³√2 .(³√3– 1) + h₃ = 12 → h₃ = (³√3 - ³√2)/³√3 cm

Resposta: As alturas dos sólidos formados são: h₁ = 12/³√3 cm,

h₂ = 12(³√2 – 1)/³√3 cm e h₃ = (³√3 - ³√2)/³√3 cm.

5. (Ita 2018) No plano cartesiano são dadas as circunferências

C₁ : x²+ y² = 1 e C₂ : (x - 4)² + y² = 4. Determine o centro e o raio de uma circunferência C tangente simultaneamente a C₁ e C_2, passando pelo ponto A = (3, √3).

Do enunciado, sem perda de generalidade, observemos a figura:

A reta s passa pelos pontos A(3, √3), B(4, 0) e C(x_C, y_C), onde C é o centro

da circunferência λ.

Sendo m_s = (√3 - 0)/(3 - 4) → m_s = - √3, então s : y – 0 = - √3.(x - 4) →

y = - √3.(x - 4).

Como C ε s, C(a -√3(a - 4)) e m_s = - √3, CBD = 60⁰

No triângulo CBD, (r + 1)² = (r + 2)² + 4²- 2.(r + 2).4.cos60⁰

r² + 2r + 1 = r² + 4r + 4 + 16 - 2.(r + 2).4.1/2 → 2r + 1 = 4r + 20 – 4r – 8

2r = 11 → r = 11/2.

Como d_A,C = r → √[(a - 3)²+ (-√3(a - 4) - √3)²] = 11/2

(a - 3)²+ (-√3(a - 4) -√3)² = 121/4 → (a - 3)²+ (√3)².(a - 3)² = 121/4

(a - 3)² . (1 + 3) = 121/4 → (a - 3)² = 121/16 → a - 3 = ±√121/16

a - 3 = ± 11/4 → a' – 3 = 11/4 → a' = 23/4 ou a'' – 3 = - 11/4 → a'' = 1/4

Assim, há duas possibilidades para λ

λ1 : Centro no ponto (23/4, - 7√3/4) e raio igual a 11/2

λ2 : Centro no ponto (1/4, 15√3/4) e raio igual a 11/2.

6. (Ita 2018) Uma reta r separa um plano π em dois semiplanos π₁ e π₂ Considere pontos A e B tais que A ε π₁ e B ε π₁, de modo que d(A, r) = 3, d(B, r) = 6 e d(A, B) = 15. Uma circunferência contida em π passa pelos pontos A e B e encontra r nos pontos M e N. Determine a menor distância possível entre os pontos M e N.

Do enunciado, temos a figura:

Na figura, os triângulos ACP e BDP são semelhantes, pelo caso AA.

Como AB = 15, 3b = 15 → b = 5

Em relação ao ponto P,PM . PN = b . 2b = 2.5² = 50

Sejam PM = x e PN = y, então x.y = 50 → y = 50/x e MN = MP + PN

MN = x + y → MN = x + 50/x

Note que: (√x - 5√2/√x)² = x + 50/x - 10√2

Daí, MN = x + 50/x - 10√2 + 10√2) = (√x - 5√2/√x)² + 10√2

Como (√x - 5√2/√x)² ≥ 0 → mínimo MN = 10√2

Assim, a menor distância entre os pontos M e N é 10√2.

Resposta: A menor distância possível entre os pontos M e N é 10√2

7. (Ita 2018) No plano cartesiano são dados o ponto P(0, 3) e o triângulo de vértices A(0, 0), B(3, 0) e C(3,2). Determine um ponto N sobre o eixo dos x de modo que a reta que passa por P e N divida o triângulo ABC em duas regiões de mesma área.

Do enunciado,

Q(c, d) : ponto de intersecção da reta r com a reta AC.

S_ABC : área do triângulo ABC.

S_AQN: área do triângulo AQN.

S_CQNB : área do quadrilátero CQNB.

S_AQN = S_CQNB .

S_ABC = ½ . 3. 2 → S_ABC = 3 → S_ABC = 2. S_AQN → S_AQN = 3/2

Como m_AC = (y_C- y_A)/( x_C- x_A) = (2- 0)/( 3 - 0) = 2/3, então a reta

AC será y = 2x/3.

Como m_r = (y_P– y_N)/( x_P– x_N) = (3 , 0)/(0 - a) = - 3/a → r : y – 3 = -3/4 . (x - 0)

y = - 3x/a + 3.

Como r ∩ AC = {Q}, então y = 2x/3 → x = 3y/2 (eq. I) e y = - 3x/a + 3 (eq. II)

Substituindo eq. I na eq. II, vem y = - 3/a . 3y/2 + 3 → y = - 9y/2a + 3 →

y + 9y/2a = 3 → 2ay + 9y = 6a → (2a + 9)y = 6a → y = 6a/(2a + 9) →

d = 6a/(2a + 9).

Como S_AQN = 1/2 . a. d → 3/2 = 1/2 . a . 6a/(2a + 9) → 3 = 6a²/(2a + 9)

3.(2a + 9) = 6a² → 2a² – 2a – 9 = 0 → a = (2 ± √76)/4 → a = (2 ± 2√19)/4

a = (1 ± √19)/2 → a' = (1 + √19)/2 ou a" = (1 - √19)/2, não convém

Portanto N((1 + √19)/2, 0) .

8. (Ita 2018) Seja p(x) um polinômio não nulo. Se x³ – 4x² + 5x - 2 e x³ – 5x² + 8x - 4 são divisores de p(x), determine o menor grau possível de p(x).

Do enunciado, sejam a(x) = x³ – 4x² + 5x - 2 e b(x) = x³ – 5x² + 8x - 4

● De a(x) = x³ – 4x² + 5x - 2 → a(x) = x³ – x² - 3x²+ 3x + 2x - 2

a(x) = x².(x - 1) – 3x.(x - 1) + 2.(x - 1) → a(x) = (x - 1).(x² – 3x + 2)

a(x) = (x - 1).(x² – x – 2x + 2) → a(x) = (x - 1).[x(x - 1) - 2(x - 1)]

a(x) = (x - 1).(x - 1).(x - 2) → a(x) = (x - 1)².(x - 2)

● De b(x) = x³ – 5x² + 8x - 4 → b(x) = x³ – x² - 4x² + 4x + 4x - 4

b(x) = x²(x - 1) - 4x(x - 1) + 4(x - 1) → b(x) = (x²- 4x + 4)(x - 1)

b(x) = (x- 2)².(x - 1)

Como a(x) e b(x) são divisores de p(x), p(x) admite no mínimo quatro

raízes, que são: x = 1 e x = 2 ambas com multiplicidade 2.

Assim, o grau de p(x) é no mínimo igual a 4.

Portanto o menor grau possível de p(x) é 4.

9. (Ita 2018) Seja z = cosπ/7 + isenπ/7. Pedem-se:

a) Use a propriedade z^k = coskπ/7 + isenkπ/7, k ɛ Z, para expressar cosπ/7, cos3π/7 e cos5π/7 em função de z.

b) Determine inteiros a e b tais que a/b = cosπ/7 + cos3π/7 + cos5π/7.

a) Note que:

● cos (2π - kπ/7) = cos kπ/7 = cos [π(14 - k)/7]

● sen (2π - kπ/7 = - sen kπ/7 = - sen [π(14 - k)/7]

De z^k = coskπ/7 + isenkπ/7 → z^{14 -} ^k = cos[(14 – k)π/7] + isen[(14 - k)π/7]

Por outro lado, z^k = cos[(14 – k)π/7] - isen[(14 - k)π/7]

Então, z^k + z^{14 –} ^k = 2.cos[(14 - k)π/7] → (z⁴ + z^{14 –} ^k)/2 = cos[(14 - k)π/7]

Para k = 13, (z¹³ + z^{14 –} ¹³)/2 = cos[(14 - 13)π/7] → cosπ/7 = 1/2 . (z¹³ + z)

Para k = 11, (z¹¹ + z^{14 –} ¹¹)/2 = cos[(14 - 11)π/7] → cos3π/7 = 1/2 . (z¹¹ + z³)

Para k = 9, (z⁹ + z^{14 –} ¹⁹)/2 = cos[(14 - 9)π/7] → cos5π/7 = 1/2 . (z⁹ + z⁵)

b) Teremos:

cosπ/7 + cos3π/7 + cos5π/7 = 1/2 . (z¹³ + z) + 1/2 . (z¹¹ + z³) + 1/2 . (z⁹+ z⁵)

cosπ/7 + cos3π/7 + cos5π/7 = 1/2 . (z¹³ + z + z¹¹ + z³ + z⁹ + z⁵)

cosπ/7 + cos3π/7 + cos5π/7 = 1/2 . (z + z³ + z⁵ + z⁷ + z⁹ + z¹¹+ z¹³ – z⁷)

cosπ/7 + cos3π/7 + cosπ5/7 = 1/2 . [(z((z²)⁷-1)/(z² - 1) – z⁷]

Para k = 0 em z^{14 -} ^k = cos[(14 – k)π/7] + isen[(14 - k)π/7] =

z¹⁴ = cos14π/7 + isen14π/7 = cos2π + isen2π → z¹⁴ = 1

Para k = 7 em z^{14 -} ^k = cos[(14 – k)π/7] + isen[(14 - k)π/7] =

z⁷ = cosπ + senπ → z⁷ = - 1

Logo, cosπ/7 + cos3π/7 + cos5π/7 = 1/2 . [z(z¹⁴-1)/(z² - 1)] – z⁷

cosπ/7 + cos3π/7 + cos5π/7 = 1/2 . [z(1-1)/(z² - 1)] – (-1) = 1/2 . 1 = 1/2

Como a/b = cosπ/7 + cos3π/7 + cos5π/7 e cosπ/7 + cos3π/7 + cos5π/7

= 1/2, então os inteiros a = 1 e b = 2 satisfazem a relação a/b.

Portanto :

a) cosπ/7 = 1/2 . (z¹³ + z), cos3π/7 = 1/2 . (z¹¹ + z³), cos5π/7 = 1/2 . (z⁹ + z⁵)

b) Os inteiros a = 1 e b = 2 satisfazem a/b = cosπ/7 + cos3π/7 + cos5π/7

10. (Ita 2018) Quantos pares de números inteiros positivos (A, B) existem cujo mínimo múltiplo comum é 126x10³? Para efeito de contagem, considerar (A, B) ≡ (B, A).

Decompondo 126x10³ = 2.3².7.(5.2)³ = 2⁴.3².5³.7¹

Como mmc (A, B) = 2⁴.3².5³.7¹, tanto A, quanto B dividem 2⁴.3².5³.7¹

Então, A = 2^α1. 3^α2. 5^α3 . 7^α4e B = 2^β1. 3^β2. 5^β3 . 7^β4são tais que :

α₁ . β₁ ɛ {0, 1, 2, 3, 4} ; α₂ . β₂ ɛ {0, 1, 2} ; α₃ . β₃ ɛ {3} ; α₄ . β₄ ɛ {0, 1}

Como mmc (A, B) = 2⁴.3².5³.7¹ então máx.{α₁, β₁ } = 4 ; máx.{α₂, β₂ } = 2 ;

máx.{α₃, β₃ } = 3 ; máx.{α₄, β₄ } = 1.

Possibilidades para máx.{α₁, β₁ } = 4 :

{(0, 4), (1 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (4, 0), (4, 1), (4,2), (4,3)} → 9 possibilidades

Possibilidades para máx.{α₂, β₂ } = 2 :

{(0, 2), (1 2), (2, 2), (2, 0), (2, 1)} → 5 possibilidades

Possibilidades para máx.{α₃, β₃ } = 3 :

{(0, 3), (1 3), (2, 3), (3, 3), (3, 0), (3, 1), (3,2)} → 7 possibilidades

Possibilidades para máx.{α₄, β₄ } = 1 :

{(0, 1), (1 1), (1, 0)} → 3 possibilidades

Assim, o total de possibilidades para A ǂ B é: (9.5.7.3 – 1)/2 = 472

possibilidades.

O total de possibilidades para A = B →1 possibilidade

Portanto, o total de pares de números inteiros positivos (A,B) cujo mínimo

múltiplo comum é 126x10³ é 473.

Professor Luiz Bolinha

sexta-feira, 2 de março de 2018

QUESTÕES VESTIBULAR ITA 2018 – TIPO ANALÍTICA - COMENTADAS