QUESTÕES VESTIBULAR IME 2017 - COMENTADAS

1.  Seja a matriz A tal que a₁₁ = a₂₂ = a₂₃ = a₃₃ = 1, a₁₂ = a, a₁₃ = -2, a₂₁ = a – 2, a₃₁ = 2 e a₃₂ = -3, com a ϵ R. Sabe-se que det( A² – 2A + I ) = 16, então  a   soma dos valores de a que satisfazem essa condição é:

Obs.: det(X) denota o determinante da matriz X.

a) 0   

b) 1   

c) 2   

d) 3   

e) 4   

Resposta da questão : [D]

det( A² – 2A + I ) = 16 → A² – 2A + I = X → ( A – I )² = X → det( A – I ) = ± 4

             |  1     a     -2  |

A – I = | a-2   1      1  |

             |  2    -3      1  |

det( A – I ) = 8a – 12

 8a -12 = 4 → a = 2 ou 8a -12 = -4 → a = 1  → portanto 2 + 1 = 3

  

2. No desenvolvimento de ( x . sen2β + 1/x . cos2β )¹⁰, o valor do termo independente de x é igual a 63/256. Considerando que β é um número real, com 0 < β < ¶ / 8  e x ≠ 0, o valor de β é:

a) ¶ / 9 

b) ¶ /12     

c) ¶ / 16     

d) ¶ / 18     

e) ¶ / 24   

Resposta da questão :[E]

Utilizando o Binômio de Newton:

( x . sen2β + 1/x . cos2β )¹⁰ = C_10,p .(xsen2β)^10-p . (1/xcos2β)^p

Como x está multiplicando no primeiro termo e dividindo no segundo, para obter o termo independente é necessário que os expoentes de x sejam iguais.

Ou seja: 10 – p = p → p = 5

T_independente = C_10,5 .(xsen2β)⁵ . (1/xcos2β)⁵ = 63/256 =

[(10.9.8.7.6.5!)/(5.4.3.2.5!)].(sen2β.cos2β)⁵ = (7.9) / (2³.2⁵)

(sen2β.cos2β)⁵.2⁵ = 1/32 → (2sen2β.cos2β)⁵ = 1/32 → (sen4β)⁵ = 1/2⁵

Sen4β = 1/2→ 0 < β < ¶/8 → 4β = ¶/6 → β = ¶/24

  

3. Seja a equação  y^log₃^√3y = y^log₃^3y – 6,  y > 0.  O produto das raízes reais desta equação é igual a:

a) 1/3   

b) 1/2   

c) 3/4   

d) 2   

e) 3   

Resposta da questão : [A]

y^log₃^√3y = y^log₃^3y – 6

Supondo a = y^log₃^√3y , então a² = (y^log₃^√3y)² = y ^2log₃^√3y = y^log₃^(√3y)2 = y^log₃^3y  

Portanto a = a² – 6 → a² – a – 6 = 0 → a = 3 ou a = -2(não convém)

Sendo a = y^log₃^√3y = 3 e fazendo y = 3^x , vem:

log₃^√3y = 1/2 . (log₃^3y) = 1/2. (1+logy) = 1/2 . (1+x)

3¹ = y^log₃^√3y = (3^x)^(1+x)/2

X(1+x)/2 = 1 → x² + x – 2 = 0 → (x = 1 e y = 3) ou (x = -2 e y = 1/9)

Assim sendo,  3 . 1/9 = 1/3

  

  

4. O sistema de inequações, [(x² – 2x – 14)/x] > 3 e x £ 12, admite k soluções inteiras. Pode-se afirmar que:

a) 0 £ k < 2   

b) 2 £ k < 4   

c) 4 £ k < 6   

d) 6 £ k < 8   

e) k ³ 8   

Resposta da questão :[D]

[(x² – 2x – 14)/x] > 3 e x £ 12 → [(x² – 5x – 14)/x] > 0 e x £ 12

Resolvendo e fazendo os diagramas de sinais, temos: x > 7 ou -2 < x < 0

Logo, 7 < x £ 12 ou -2 < x < 0

Em Z → { -1, 8, 9, 10, 11, 12 } → k = 6

  

5. Sejam Z₁ e Z₂ números complexos tais que Z₂ é imaginário puro e

l Z₁ – Z₂ l = l Z₂ l . Para quaisquer valores de Z₁ e Z₂ que atendam a essas condições tem-se que:

a) Im ( Z₂ ) > 0   

b) Im ( Z₂ ) £ 0      

c) l Z₁ l £ 2. l Z₂ l   

d) Re ( Z₁ ) ³ 0      

e) Re ( Z₁ ) £ Im ( Z₂ )    

Resposta da questão : [C]

Calculando:

Z₂ = ai , a ϵ R e | Z₁ – ai | = |a |

distância de Z₁ até ai = |a|

Z₁ → circunferência do centro em ai e raio | a |

| Z₁ |→ corda da circunferência de diâmetro = 2| Z₂ |, então | Z₁ | £ 2| Z₂ |

  

6. Assinale a alternativa verdadeira:

a) √2016 - √2015 < √2017 - √2016 < ( 2√2016 )^-1

 

b) √2017 - √2016 < √2016 - √2015 < ( 2√2016 )^-1

     

c) √2017 - √2016  < ( 2√2016 )^-1 < √2016 - √2015  

   

d) √2016 - √2015 <  ( 2√2016 )^-1 < √2017 - √2016     

e) ( 2√2016 )^-1 < √2017 - √2016 < √2016 - √2015      

Resposta da questão : [C]

Racionalizando, vemm: √2016 - √2015 = 1 / (√2016+√2015) , 

√2017 - √2016 = 1 / (√2017+√2016)  e (2√2016)^-1 = 1 / (√2016+√2016) 

Então √2017 - √2016  < ( 2√2016 )^-1 < √2016 - √2015  

   

7. Calcule o valor de (sen⁴α + cos⁴α) / (sen⁶α + cos⁶α)  sabendo-se que senαcosα = 1/5.

a) 22/21   

b) 23/22   

c) 25/23   

d) 13/12   

e) 26/25   

Resposta da questão :[B]

Teremos:

Relação 1:

Usando, sen²α + cos²α = 1 → (sen²α + cos²α)² = 1² →

sen⁴α +2sen²α.cos²α + cos⁴α = 1 →

 sen⁴α + cos⁴α +2(senα.cosα)²  = 1 →

sen⁴α + cos⁴α + 2.(1/5)² = 1 → 1 – 2/25 = 23/25

Relação 2:

Usando, sen²α + cos²α = 1 → (sen²α + cos²α)³ = 1² →

sen⁶α + 3sen²α.cos²α.( sen²α + cos²α )+ cos⁶α = 1 →

sen⁶α + cos⁶α +3(senα.cosα)²  = 1 →

sen⁶α + cos⁶α + 3.(1/5)² = 1 → 1 – 3/25 = 22/25

Logo, (sen⁴α + cos⁴α)/( sen⁶α + cos⁶α) = 23/25 ÷ 22/25 = 23/22

8. Sejam uma progressão aritmética (a₁ , a₂, a₃, a₄, ...) e uma progressão geométrica (b₁ , b₂, b₃, b₄, ...) de termos inteiros, de razão r e razão q, respectivamente, onde r e q são inteiros positivos, com q > 2 e

b₁ > 0 Sabe-se, também, que a₁ + b₂ = 3,  a₄ +  b₄ = 26.  O valor de b₁ é:

a) 1  

b) 2  

c) 3  

d) 4

e) 5  

 

Resposta da questão 8:[A]

De acordo com os dados do enunciado, pode-se escrever:

PA → a_n = a₁ + (n-1)   e   PG → b_n = b₁ . q^{n – 1}

a₁ + b₂ = 3 → a₁ + b₁ . q = 3 (eq. 1)

a₄ + b₃ = 26 → ( a₁ + 3r ) + b₁ . q² = 26 ( eq. 2 )

Fazendo ( eq. 2 ) - ( eq. 1 ), vem : ( a₁ + 3r ) + b₁ . q² - a₁ - b₁ . q = 26 – 3

 a₁ + 3r  + b₁ . q² - a₁ - b₁ . q = 23→3r + b₁. q.( q – 1 ) = 23→ b₁, q, r ε R₊*, q>2

Analisando os possíveis valores de r :

Caso 1 → r = 1 → b₁. q.( q – 1 ) = 20 = 4 . 5 → q = 5 e b₁ = 1

Caso 2 → r = 2 → b₁. q.( q – 1 ) = 17 → numero primo, sem soluçao

Caso 3 → r = 3 → b₁. q.( q – 1 ) = 14 = 2 . 7 → condição q > 2, sem soluçao

Caso 4 → r = 4 → b₁. q.( q – 1 ) = 11 → numero primo, sem soluçao

Caso 5 → r = 5 → b₁. q.( q – 1 ) = 8 = 2 . 4 → condição q > 2, sem soluçao

Caso 6 → r = 6 → b₁. q.( q – 1 ) = 5  → numero primo, sem soluçao

Caso 7 → r = 7 → b₁. q.( q – 1 ) = 2 → condição q > 2, sem soluçao

Caso 8 → r = 8 → b₁. q.( q – 1 ) < 0 → sem soluçao

  

9. Sejam os pontos A(0, 0), B(-1, 1), C(1, 2), D(4, 1) e E(3, 1/2). A reta r  passa por A e corta o lado CD, dividindo o pentágono ABCDE  em dois polígonos de mesma área. Determine a soma das coordenadas do ponto de interseção da reta r  com a reta que liga C e D.

a) 25/7   

b) 51/14   

c) 26/7   

d) 53/14   

e) 27/7   

 

Resposta da questão 9: [C]

Segundo o enunciado:

 

  

Assim, pode-se escrever :

 

Sistema: 3x – 5y = - 2 e x + 3y = 7 → x = 29/14 e y = 23/14 → x + y = 26/7

  

10. Um tronco de pirâmide regular possui 12 vértices. A soma dos perímetros das bases é 36 cm, a soma das áreas das bases é 30√3 cm² e sua altura mede 3 cm. Calcule o volume do tronco de pirâmide.

a) 50 cm³   

b) 42√3/3 cm³   

c) 43√3/2 cm³   

d) 43√2 cm³   

e) 42√3 cm³   

  

Resposta da questão 1:[E]

Se o tronco possui 12 vértices, portanto a pirâmide tem base hexagonal regular. Sendo l o lado da base menor (topo) e L o lado da base maior, pode-se escrever: 

 

  

11. Dado um quadrado ABCD, de lado a, marcam-se os pontos E sobre o lado AB, F sobre o lado BC, G sobre o lado CD e H sobre o lado AD, de modo que os segmentos formados AE, BF, CG e DH tenham comprimento igual a 3a/4. A área do novo quadrilátero formado pelas interseções dos segmentos AF, BG, CH, e DE mede:

a) a²/25   

b) a²/18 

c) a²/16 

d) a²/9   

e) 2a²/9   

  

Resposta da questão 2:[A]

Pode-se desenhar, segundo o enunciado:

  

12.O polinômio P(x) = x³ – bx² + 80x - c possui três raízes inteiras positivas distintas. Sabe-se que duas das raízes do polinômio são divisoras de 80 e que o produto dos divisores positivos de c menores do que c é c². Qual é o valor de b?

a) 11   

b) 13   

c) 17   

d) 23   

e) 29   

Resposta da questão 3:[E]

Calculando: P_(C) = c^n/2 → P_(C)<C  = c^n/2 < c → (c^n/2)/c = c² → c^n/2 = c³ → n = 6

Sendo p e q números primos:

Caso 1: c = p²q; Raízes de P(x) → pq, q  e 1 → q + pq + pq² = 80

Fazendo: q = 2 → 2 + 2p + 4p = 80 → p = 13; Raízes de P(x) → 26, 2 e 1.

B = 26 + 2 + 1 = 29 (Girard).

Caso 2: c = p²q; Raízes de P(x) → p², q e 1 (sem solução para raízes div. de 80)

Caso 3: c = p⁵; Raízes de P(x)→ p³, p² e 1 (sem solução para raízes div. de 80)

Caso 4: c = p⁵; Raízes de P(x) → p⁴, p e 1 (sem solução para raízes div. de 80)