portanto x2 – 10x + 23 = 0 → x = (10 ± √100-4.1.23)/2 → x
= (10 ± √8)/2 →
x = (10 ± 2√2)/2 → x = 5 ± √2 → x
= 5 - √2 ou x
= 5 + √2.
Finalmente a maior raíz é 5
+ √2.
9. Renato possui apenas duas moedas de 50
centavos, três
notas de 2 reais e duas notas de 5 reais.
Usando seu
dinheiro, ou parte dele, Renato pode pagar
diversos valores
diferentes de contas sem a necessidade de
receber troco.
O total de valores diferentes de contas que
ele pode pagar
sem receber troco é igual a :
(A) 25.
(B) 26.
(C) 29.
(D) 27.
(E) 28.
Vejamos :
Com duas moedas de 50 centavos, três notas de 2 reais e duas notas
de
5 reais, poderemos formar usando os sete valores ou parte, as
quantias :
● com os 7 valores → 0,50; 0,50; 2; 2; 2; 5; 5 → R$ 17,00
● com os 6 valores → 0,50; 0,50; 2; 2; 2; 5 → R$ 12,00
● com os 6 valores → 0,50; 0,50; 2; 2; 5; 5 → R$ 15,00
● com os 6 valores → 0,50; 2; 2; 2; 5; 5 → R$ 16,50
● com os 5 valores → 0,50; 0,50; 2; 2; 2 → R$ 7,00
● com os 5 valores → 0,50; 0,50; 2; 2; 5 → R$ 10,00
● com os 5 valores → 0,50; 0,50; 2; 5; 5 → R$ 13,00
● com os 5 valores → 0,50; 2; 2; 2; 5 → R$ 11,50
● com os 5 valores → 0,50; 2; 2; 5; 5 → R$ 14,50
● com os 4 valores → 0,50; 0,50 ; 2; 2 → R$ 5,00
● com os 4 valores → 0,50; 0,50; 2; 5 → R$ 8,00
● com os 4 valores → 0,50; 0,50; 5; 5 → R$ 11,00
● com os 4 valores → 0,50; 2; 2; 2 → R$ 6,50
● com os 4 valores → 0,50; 2; 2; 5 → R$ 9,50
● com os 4 valores → 0,50; 2; 5; 5 → R$ 12,50
● com os 4 valores → 2; 2; 2; 5 → R$ 11,00
(repetido)
● com os 4 valores → 2 ; 2; 5; 5 → R$ 14,00
● com os 3 valores → 0,50; 0,50; 2 → R$ 3,00
● com os 3 valores → 0,50; 0,50; 5 → R$ 6,00
● com os 3 valores → 0,50; 2; 2 → R$ 4,50
● com os 3 valores → 0,50; 2; 5 → R$ 7,50
● com os 3 valores → 0,50; 5; 5 → R$ 10,50
● com os 3 valores → 2; 2; 2 → R$ 6,00
(repetido)
● com os 3 valores → 2; 2; 5 → R$ 9,00
● com os 3 valores → 2; 5; 5 → R$ 12,00
(repetido)
● com os 2 valores → 0,50; 0,50 → R$ 1,00
● com os 2 valores → 0,50; 2 → R$ 2,50
● com os 2 valores → 0,50; 5 → R$ 5,50
● com os 2 valores → 2; 2 → R$ 4,00
● com os 2 valores → 2; 5 → R$ 7,00
(repetido)
● com os 2 valores → 5; 5 → R$ 10,00
(repetido)
● com os 1 valor → 0,5 → R$ 0,50
● com os 1 valor → 2 → R$ 2,00
● com os 1 valor → 5 → R$ 5,00
Total
de 29 valores diferentes.
10. A figura mostra um hexágono regular
ABCDEF de lado igual
a 4 cm. M e N são pontos médios de AF e BC
, respectivamente.
A reta tracejada MN é um eixo de simetria
do hexágono
ABNGHM.
A área da região destacada na figura é
igual a :
(A) 15√3 cm2
(B) 18√3 cm2
(C) 16√3 cm2
(D) 14√3 cm2
(E) 20√3 cm2
Vejamos :
Cálculo da área do hexágono regular ABCDEF de lado 4 cm → A =
6.a2√3/4 →A = 6.42.√3/4 → A = 24√3 cm2.
Cálculo da área do hexágono irregular ABNGHM, equivalente ao dobro
da
área do trapézio ABNM.
Note que como o ângulo FAB mede 1200, interno de um
hexágono regular,
então o ângulo MAP mede 300.
Portanto, sen 300 = x/2 = 1/2 → x = 1 cm e cos 300
= y/2 = √3/2 → y = √3 cm.
Como a área de ABNGHM = 2.ABNM = 2.(B maior + b menor).altura/2
=
2.(2x + 4 + 4).√3/2 = (2 + 4 + 4).√3 = 10√3 cm2
A área da região assinalada será igual a diferença entre as áreas do
hexágono ABCDEF e o hexágono ABNGHM = 24√3 - 10√3 = 14√3 cm2
11. Um cubo de aresta igual a 6 cm foi
totalmente perfurado entre
duas faces opostas. A forma do furo é a de
um paralelepípedo
reto-retângulo de bases quadradas de lado
igual a 2 cm, como
mostra a figura.
Se o custo para pintar totalmente esse cubo
perfurado com
uma tinta especial é de R$ 0,05 por cm2,
então o valor total
gasto nessa pintura será igual a :
(A) R$ 10,60.
(B) R$ 12,80.
(C) R$ 12,20.
(D) R$ 10,40.
(E) R$ 13,20.
Vejamos :
Cálculo da área lateral do cubo = 4.62 = 144 cm2
Cálculo da área das duas faces perfuradas do cubo = 2.(62 - 22) =
2(36 - 4) = 64 cm2
Cálculo da área lateral perfurada do cubo = 4.(2.6) = 48
cm2
Cálculo da área a ser pintada 144 + 64 + 48 = 256 cm2
Custo total da pintura 256. 0,05 = R$
12,80
12. Paulo possui um carro que faz 12 km por
litro de gasolina à
velocidade média de 90 km/h. Quando o
tanque de seu carro
estava com 34 litros de gasolina, Paulo
iniciou uma viagem
percorrendo as primeiras 4 horas à
velocidade média de
90 km/h. Seja f(t) o total de litros de
gasolina no tanque do
carro de Paulo durante t horas dessa
viagem, com 0 ≤ t ≤ 4.
Apenas com os dados apresentados, um modelo
apropriado
para a função f é :
(A) f(t) = 34 - t
(B) f(t) = 34 - 90t/12
(C) f(t) = (14 - 12t)/90
(D) f(t) = (14 – 90t)/12
(E) f(t) = 34 - 12t/90
Vejamos :
Sendo f(t) a função que relaciona o total de litro de combustível no
tanque
em t horas, com 0 ≤ t ≤ 4.
Com 34 litros inicialmente, a 90 km/h e um consumo de 12 km/litro, a
função em destaque será f(t)
= 34 – 90t/12.
Repare que, para t = 0 hora → f(t) = 34 litros e para t = 4 horas →
f(4) = 34 - 90.4/12 = 4 litros.
13. Uma escada reta está apoiada em uma
parede, em um ponto
a h metros do chão. O ângulo formado entre
a escada e o chão
é igual a αº. P é um ponto na
escada que está a k metros da
parede.
Considerando que a parede e o chão estejam
em planos perpendiculares,
a distância, em metros, que o ponto P está
do chão é igual a :
(A) (h – k) cos αº
(B) h – k sen αº
(C) (h – k) sen αº
(D) h – k tg αº
(E) (h – k) tg αº
Vejamos :
Observando a figura podemos definir que tg α0 = h/x =
d/(x - k)
x = h/tg α0 e x – k = d/tg α0 → h/tg α0 – k = d/tg α0 → d = h – k tg α0
14. Em uma festa com 50 meninas e 50 meninos,
todas as meninas cumprimentaram todos os meninos com um beijo, e todas as
meninas cumprimentaram-se entre si, também com um beijo. Nenhum menino
cumprimentou outro menino com um beijo. Sendo assim, o número de beijos de
cumprimentos que foram dados nessa festa foi :
(A) 3 725.
(B) 3 840.
(C) 4 280.
(D) 4 840.
(E) 2 475.
Vejamos :
Numa festa com 50 meninos e 50 meninas, toda menina cumprimenta
toda menina e todo menino, e
todo menino cumprimenta somente toda
menina, então qtos cumprimentos foram dados na festa ?
Menina cumprimenta menina → C50,2 = 50!/(50-2)!.2! =
50.49.48!/48!.2 =
50.49/2 = 1225.
Menina cumprimenta menino → 50.50 = 2500
Total de cumprimentos → 1225 + 2500 = 3725
15. Os valores reais positivos de p e q
para os quais a equação
logarítmica log (8x3 + 4x2
– 2x – 1) = log (2x – 1) + 2 log (px + q)
existe e tem solução real são :
(A) p = 2 e q = 1/2
(B) p = 1/2 e q = 2
(C) p = 2 e q = 1
(D) p = 1 e q = 1/2
(E) p = 2 e q = 2
Vejamos :
Para que a equação log (8x3 + 4x2 - 2x - 1) =
log (2x - 1) + 2log (px + q),
exista e tenha solução real.
log (8x3 + 4x2 - 2x - 1) = log (2x - 1) + log
(px + q)2
log (8x3 + 4x2 - 2x - 1) = log (2x - 1).(px +
q)2
8x3 + 4x2 - 2x - 1 = (2x - 1).(px + q)2
8x3 + 4x2 - 2x - 1 = (2x - 1).(p2x2
+ 2pxq + q2)
8x3 + 4x2 - 2x - 1 = 2p2x3
+ 4px2q + 2q2x - p2x2 - 2pxq - q2
8x3 + 4x2 - 2x - 1 = 2p2x3
+ (4pq - p2 )x2 + (2q2 - 2pq)x - q2
Por identidade de polinômios, 8 = 2p2 → p2 = 4
→ p = ± 2 → p =
2 e
- 1 = - q2 → q2 = 1 → q = ± 1 → q = 1
