1.
João é arquiteto. Ele pretende decorar a fachada de um edifício
com a colocação de vitrais compostos de quadrados. A seguir, a figura de um
vitral, cujos lados do quadrado medem 0,8m.
Nessa figura, os pontos A, B,
C e D são pontos médios dos lados do quadrado, e os segmentos AE e FC
medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são
usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa
R$ 40,00 o m2, e outro para a parte clara (regiões ABEDA e BCDFB), que custa R$ 60,00 o m2. Com base nesses dados,
o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral é igual a:
a)
R$ 30,50
b)
R$ 25,30
c)
R$ 32,45
d)
R$ 28,80
Vejamos :
Como AE = FC = 1/4 do lado do quadrado =
1/4 . 0,8 = 0,2 m
Como a altura dos triângulos ABE, BCF, ADE
e CDF, corresponde à metade do lado do quadrado, então h = 0,8/2 = 0,4 m.
Portanto a área região clara é igual a 4
vezes a área do ∆ABF
(base.altura/2) → 4∆ABF = 4.(0,2.0,4/2) =
0,16 m2, a R$60,00 o m2 →
R$ 9,60.
A parte sombreada poderá ser obtida através
da diferença entre a área do quadrado
e a área da região clara → 0,82
– 0,16 = 0,64 – 0,16 = 0,48 m2, a R$ 40,00 o m2 →
R$ 19,20.
Finalmente o custo do vitral será R$ 9,60 + R$ 19,20 = R$ 28,80
1. Devido à falta
de chuvas, o síndico do Condomínio Alfa decidiu, em assembleia com todos os
moradores, construir um reservatório de água. Como João foi o arquiteto que fez
os projetos do condomínio, o síndico decidiu procura-lo para esse fim.
Analisando as condições e o espaço, João propôs a construção de um reservatório
na forma de um paralelepípedo reto retangular, de dimensões 6m, 5m e 3m,
conforme a figura a seguir.
Após
a construção, houve um reabastecimento de água, e o reservatório atingiu 73% de
sua capacidade máxima. Quantos litros de água são ainda necessários para que o
reservatório fique completamente cheio, sem que haja transbordamento?
a)
65700 litros
b)
28000 litros
c)
24300 litros
d)
36300 litros
Vejamos :
Volume do reservatório = 5m x 3m x6 = 90 m3
= 90000 litros
Quantos litros de água são ainda
necessários para que o reservatório fique
completamente cheio 100% - 73% = 27% de
90000 = 24300
litros
2.
O síndico do Condomínio Alfa, para comemorar a instalação do
reservatório, encomendou 143 doces e 195 salgados, além de refrigerantes. Ele
pediu que os doces e os salgados fossem colocados em várias bandejas, de modo
que doces e salgados fossem separados. Todas as bandejas deveriam ter a mesma
quantidade, a maior possível. O número de bandejas de doces e o número de
bandejas de salgados preparadas foram, respectivamente:
a)
13 e 15
b)
13 e 20
c)
11 e 13
d)
11 e 15
Vejamos :
Se as bandejas deveriam ter a maior quantidade
possível, então devemos calcular o MDC entre os 143 doces e 195 salgados, ou
seja MDC(143, 195) = 13
Portanto 143÷13 = 11 bandejas de doces e 195÷13 = 15 bandejas de salgados
3. As crianças do
Condomínio Alfa estudam em uma escola particular próxima ao condomínio. Tendo
em vista a proposta de aumento das mensalidades, os moradores do Condomínio
Alfa solicitaram que a escola encaminhasse uma tabela contendo os salários de
seus funcionários. O diretor da escola encaminhou a seguinte tabela, na qual o
seu salário ficou oculto.
A escola concedeu um aumento salarial de 5% sobre os valores da tabela para todas as funções. Assim, a nova média salarial dos funcionários da escola passou a ser de R$ 1575,00. Qual é o salário atual do diretor da escola?
a)
R$ 3000,00
b)
R$ 3150,00
c)
R$ 4000,00
d)
R$ 4200,00
Vejamos :
Média antes = (800.5 + 1000.10 + 2000.14 + x.1)/30
= (42000 + x)/30
Com o aumento de 5% a média depois passou a
ser R$ 1575,00.
Portanto, média antes + 5% da média antes =
1575 → 1,05 da média antes = 1575
1,05.(42000 + x)/30 = 1575 → 44100 + 1,05x
= 47250 → 1,05x = 47250 – 44100
1,05x = 3150 → x = 3150/1,05 → x = R$ 3000,00.
Finalmente, o salário atual do diretor é R$ 3150,00
4.
Enquanto pensa em seus projetos de arquitetura, João diverte-se
desenhando circunferências que são, duas a duas, tangentes. Para tanto, ele
utiliza um programa gráfico, digitando a equação x2 + y2 –
2x - 2y + 1 = 0. A circunferência é desenhada em um sistema de coordenadas
cartesianas, e João faz uma cópia do desenho da circunferência, colocando-a ao
lado direito da primeira. A seguir, faz nova cópia e a coloca acima das duas,
de modo que as três circunferências sejam tangentes duas a duas. Clicando em
cima de cada circunferência, o programa fornece a equação de cada uma. A
equação da terceira circunferência é:
a) x2 + y2 – 4x – 2(1
+√3) y + 7 + 2√3 = 0
b) x2 + y2 –
4x - 2√3 y + 6 = 0
c) x2 + y2 – 4x – 2(2 +√3)y +
2(5 + 2√3 ) = 0
d) x2 + y2 –
4x – 2(1 +√3) y + 7 + 2√3 = 0
Vejamos
Observando a primeira circunferência x2 + y2 – 2x - 2y + 1
= 0 e comparando
com a forma geral x2 + y2 – 2ax – 2by + a2
+ b2 – r2 = 0, podemos escrever
– 2a = - 2 → a = 1, - 2b = - 2 → b = 1, então o centro é C1(1,1)
e a2 + b2 – r2 = 1
12 + 12 – r2 = 1 → r1 = 1
Com auxílio da figura podemos notar que o centro da segunda circunferência
é C2(3,1)
e o raio r2 = 1, então sua equação será x2 +
y2 – 2.3x – 2.1y + 32 +
+ 12 – 12 = 0 → x2 + y2 – 6x – 2y + 9
= 0.
Agora observando o triângulo retângulo
em evidencia podemos calcular seu
segundo cateto.
Finalmente ainda com a figura podemos
notar que o centro da terceira
circunferência é C3(2;1+√3) e o seu raio r3 = 1, então sua equação será
x2 + y2 – 2.2x – 2(1+√3)y
+ 22 + (1 + √3)2 – 12 = 0 →
x2 + y2 –
4x – 2(1+√3)y + 22 + 12 + 2√3 + 3 – 12 = 0
x2 + y2 – 4x – 2(1+√3)y + 7 + 2√3 =
0
