1) Metade dos pacientes
internados com certa enfermidade apresenta febre ou dores, sendo que há duas
vezes mais pacientes com febre do que com dores. Se 13% dos pacientes
apresentam tanto febre quanto dores, então a porcentagem de pacientes com
dores, mas sem febre, é de:
01) 29%
02) 22%
03) 17%
04) 12%
05) 8%
Vejamos :
Observando o diagrama
abaixo podemos escrever,
a + c
= 37%, sendo que há duas vezes mais
pacientes com
febre do que com
dores : a + 13% = 2(13% + c) →
a + 13% = 26% + 2c → a – 2c =
13% .
Resolvendo o sistema a
+ c = 37% e a –
2c = 13% por
Substituição : a =
13% + 2c em a + c =
37% →
13% + 2c + c = 37% → 3c = 37% - 13% → c = 8%
Portanto a
porcentagem de pacientes com dores, mas sem
febre, é de 8%.
2) Para se preparar o soro
caseiro, a sua receita indica determinadas quantidades de sal e açúcar que
devem se dissolvidos em certo volume
de água limpa. Considerando-se que, em relação aos valores recomentados, seja
usada uma quantidade 20% maior de açúcar e um volume 20% menor de água, é
correto afirmar que a concentração de açúcar, em relação á desejada, deverá ser
maior em x% e o valor de 2x é:
01) 100
02) 90
03) 80
04) 70
05) 60
Vejamos :
Podemos resolver esse problema através de uma regra de três
composta, ou seja :
ÁGUA ▼
AÇÚCAR ▲ SAL
▲
α β Ө
α –
20%α β +
20%β Ө+x%Ө
(inversa) (inversa)
Então, Ө/(1+x%)Ө =
(0,8α/α).(β/1,2β) → 1/(1+x%) = 0,8 . 1/1,2 →
1/(1+x%) = 0,8/1,2 → 0,8(1+x%) = 1,2 → 1+x% = 1,5 →
x% = 0,5 → x = 50% → 2x = 100%
3)
Ás 9hs, o paciente M estava com 40,5°C de febre, e o paciente N
estava com 37°C. Às 11h30min a temperatura de M havia diminuído para 37°C, mas
a de N tinha aumentado para 38,5°C. Se cada temperatura variou como uma função
do 1º grau, então a de N ultrapassou a de M, às:
01) 10h 15 min
02) 10h 30 min
03) 10h 45min
04) 11h 00min
05) 11h 15 min
Vejamos :
Ás 9hs, temperatura do paciente M = 40,5°C de febre, e o
paciente N = 37°C
Às 11h30min a temperatura de M = 37°C, e de N = 38,5°C.
Se cada temperatura variou como uma função do 1º grau, então :
● M : yM
= ax + b
(9; 40,5) → 40,5
= 9a + b e (11,5; 37) → 37 = 11,5a + b
Resolvendo o sistema : 40,5 – 9a = 37 - 11,5a → 2,5a = - 3,5 →
a = - 3,5/2,5 → a = - 7/5 → 40,5 = 9.(- 7/5) + b → b = 53,1 →
yM
= -7x/5 + 53,1.
● N : yN = ax + b
(9; 37) → 37 =
9a + b e (11,5; 38,5) → 38,5 = 11,5a + b
Resolvendo o sistema : 37 – 9a = 38,5 - 11,5a → 2,5a = 1,5 →
a = 1,5/2,5 → a = 3/5 → 37 = 9.(3/5) + b → b = 31,6 →
yN
= 3x/5 + 31,6.
● N ultrapassou a de M : 3x/5 + 31,6 = -7x/5 + 53,1 →
3x + 158 = - 7x + 265,5 → 10x = 107,5 → x = 10,75 horas →
→ x = 10hs + 0,75hs → x
= 10h 45 min
4.Um
paciente compareceu a um Posto de Saúde apresentando febre de 40°C, foi
atendido e, duas horas depois, a febre havia diminuído para 38°C. Sabendo-se
que, nesse período, sua temperatura variou como uma função F do 2º grau,
atingindo seu valor máximo, Fm, 30min após o início do atendimento, é correto
afirmar que o valor de (Fm – 3,00°) é:
01) 40,25°C
02) 39,25°C
03) 38,25°C
04) 37,25°C
05) 36,25°C
Vejamos :
Vamos imaginar que às 0 hs, a temperatura do paciente era
40°C, e às 2 hs 38°C. Se a
temperatura variou como uma
função do 2º grau, então :
● (0, 40) ϵ f(x) = ax2 + bx + c → 40 = a.02
+ 0.x + c → c =
40
● (2, 38) ϵ f(x) = ax2
+ bx + c → 38 = a.22 + b.2 + 40 →
4a + 2b = - 2 → 2a + b = - 1
Atingindo seu valor máximo, Fm, 30min = 0,5 hs após o
início do atendimento → xV = - b/2a → 0,5 = - b/2a → a = - b
Resolvendo o sistema, 2a + b = - 1 e a = - b → - 2b + b = - 1
b
= 1 → a = - 1 → f(x) = - x2 + x + 40.
Portanto Fm = yV = - ∆/4a = - (12 –
4.(-1).40)/4.(-1) = (161/4)0C = 40,250 C.
Finalmente o valor de (Fm – 3,00°) = 40,250 – 3,000
= 37,250C
5) O faturamento de uma clínica, no mês de janeiro de
determinado ano, foi de R$40.000,00. Esse valor aumentou, a cada mês, segundo
uma progressão geométrica, até atingir R$45.000,00 em julho do mesmo ano.
Nessas condições, o faturamento total no 1° semestre, daquele ano, alcançou um
valor, em reais, igual a:
01) 5000.Ö2/(3Ö3 - Ö2)
02) 4000.3Ö3/(3Ö3 - Ö2)
03) 4500.Ö3/(Ö3 - Ö2)
04) 4000Ö2/(3Ö3 - Ö2)
05) 5000.3Ö3/(Ö3 - Ö2)
De janeiro a julho segundo
uma PG :
a1 = 40000 e a7
= 45000 → an = a1.qn – 1 → 45000 =
40000.q6 → 45 =
40.q6 → 45/40 = q6 →
q6 = 9/8 →
q = ±6Ö9/8, razão positiva pois a PG é crescente.
Faturamento no primeiro
semestre, ou seja de
janeiro a junho : Sn =
a1.(qn - 1)/(q - 1) →
S6 = 40000.(q6
- 1)/(q - 1) →
S6 = 40000.(9/8
- 1)/(6Ö9/8 - 1) →
S6 =
40000.1/8/(6Ö9/6Ö8 - 1) →
S6 = 5000/(3Ö3/Ö2 - 1) → S6 =
5000/[(3Ö3 - Ö2)/Ö2] →
S6 = 5000Ö2/(3Ö3
- Ö2)
6) Sobre o polinômio p(x) = 24x3 – 238x2 – 75x +
3094, é correto afirmar:
01) Ele tem uma raiz dupla.
02) Todas as suas raízes são
positivas.
03) Todas as suas raízes são
negativas.
04) Exatamente uma de suas
raízes é positiva.
05) Exatamente uma de suas raízes é negativa.
QUESTÃO
ANULADA
NOTE QUE, SE O PROBLEMA INFORMASSE QUE AS
RAÍZES SÃO
REAIS, PODERÍAMOS RESOLVÊ-LO COM AS
RELAÇÕES DE
GIRARD, OU SEJA :
Observando a equação p(x) = 24x3
– 238x2 – 75x + 3094 = 0,
podemos concluir que apresenta três raízes,
α, β e γ.
Através das relações de Girard, podemos
escrever
● α + β + γ = - b/a = - (- 238)/24 = 119/12
(eq. I)
● αβ + αγ + βγ = c/a = - 75/24 = - 25/8
(eq. II)
● αβγ = - d/a = - 3094/24 = - 1547/12 (eq.
III)
Agora, com auxílio da eq. III podemos
concluir que, se o produto
das três raízes é negativo, é porque ou as três são negativas ou
duas são positivas e uma negativa.
Observando agora na eq. I, se as três
raízes são negativas, então
sua soma não seria positiva. Finalmente só
resta a quinta
possibilidade → Exatamente uma de suas raízes é negativa.
7) Considerando-se a matriz M, tal que o
traço de M é 4 e o
det(M) = - 19, tem-se que o produto xy é
igual a:
01) - 8
02) - 4
03) - 3
04) 1
05)15
Vejamos :
Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos
elementos de sua diagonal principal, então o traço de M é
2 + x + y = 4 → x + y = 2
Como o det(M) é – 19, então pelo método de Sarrus,
2.x.y + 1.4.1 + 0.3.1 – 1.3.y – 2.4.1 – 0.x.1 = - 19
2xy + 4 – 3y – 8 = - 19 → 2xy –
3y = - 15
Resolvendo o sistema 2xy – 3y = - 15 e x + y = 2, vem
2(2 - y)y – 3y = - 15 → 4y – 2y2 – 3y + 15 = 0 → – 2y2
+ y + 15 = 0
∆ = 1 – 4.(-2).15 = 121 → x = (-1 ± 11)/2(-2) → x' = -5/2 ou x'' = 3
y' = 9/2 ou y'' = - 1 → xy' = -45/4 ou xy'' - 3
8)
A
tabela descreve a porcentagem de carboidratos e proteínas em 3 alimentos X, Y e
Z.
X
|
Y
|
Z
|
|
Carboidratos
|
50%
|
40%
|
20%
|
Proteínas
|
30%
|
20%
|
60%
|
Para obter uma refeição, combinando apenas esses alimentos, que
tenha 40% de carboidratos e 35% de proteínas, ela deverá conter:
01)25%
de Z
02) 50% de Y
03) 35% de Y
04) 60% de X
05) 45% de X
Vejamos :
● Alimentos → X + Y + Z = 100% → X + Y
+ Z = 1 (eq. I)
● Carboidratos → 50%X + 40%Y + 20%Z = 40% →
0,5X + 0,4Y + 0,2Z =
0,4 → 5X + 4Y + 2Z = 4 (eq. II)
● Proteínas → 30%X + 20%Y
+ 60%Z = 35% →
0,3X + 0,2Y + 0,6Z =
0,35 → 3X + 2Y + 6Z = 3,5 →
6X + 4Y + 12Z = 7 (eq. III)
Substituindo a eq. I
em II e III, vem : X = 1 – Y - Z →
5(1 – Y - Z) + 4Y + 2Z
= 4 → 5 – 5Y – 5Z + 4Y + 2Z = 4 →
- Y – 3Z = -1 → Y + 3Z = 1 (eq. IV).
6(1 – Y - Z) + 4Y + 12Z = 7 → 6 – 6Y – 6Z +
4Y + 12Z = 7
- 2Y + 6Z = 1 (eq. V).
Substituindo a
eq. IV em V, vem : Y = 1 - 3Z →
-2(1 – 3Z) + 6Z = 1 →
-2 + 6Z + 6Z = 1 → 12Z = 3 →
Z = 1/4 → Z = 0,25 →
Z = 25% → Y =
1 – 3 . 0,25 →
Y = 0,25 → Y = 25% → X = 50%
9)
Um
grupo de 8 enfermeiros contratados por um hospital deve ser distribuídos de
modo que 3 fiquem no setor de pronto socorro, 3 no setor cirúrgico e os demais
na ala pediátrica. O número de maneiras distintas de se fazer tal distribuição
é igual a:
01)
718
02) 560
03) 320
04) 182
05) 66
Vejamos :
Pronto socorro → C8,3
= 8!/5!3! = 56
Setor cirúrgico → C5,3 = 5!/2!3!
= 10
Ala pediátrica → C2,2
= 2!/0!2! = 1
Portanto
o número de maneiras distintas de se fazer tal
distribuição
é C8,3 . C5,3 . C2,2 = 56 . 10 . 1 = 560
10)Sendo cos10° ≅ 0,985, cos25° = x e cos350 = y,
é correto afirmar que o valor de [1 – x.y] é, aproximadamente:
01) 0,25
02) 0,2525
03) 0,255
04) 0,2575
05) 0,26
11)Considerando-se Z um número complexo tal que Z4 –
16i = 0, é correto afirmar:
01) O módulo de Z é 2 e o argumento é π/4.
02) Um argumento de Z pode ser 5π/8.
03) O módulo de Z é igual a 4.
04) Um argumento de Z é π/2
05) O módulo de Z é igual a 16.
Vejamos :
Se Z4 – 16i
= 0, então Z4 = 16i → Z = 16i = 0 + 16i.
Então ρ = 16; sen Ө = 16/16 = 1 e cos
Ө = 0/16 = 0 → Ө = π/2
Portanto as raízes quartas de Z, através da segunda lei de Mouvre, serão :
Portanto as raízes quartas de Z, através da segunda lei de Mouvre, serão :
z = 4√16.[cos[(2kπ + π/2)/4] + i.sen[(2kπ + π/2)/4]
Para k = 0 ---> z = 2.[cos(π/8 ) + i.sen(π/8 )]
Para k = 1 ---> z = 2.[cos(5π/8 ) + i.sen(5π/8 )]
Para k = 2 ---> z = 2.[cos(9π/8 ) + i.sen(9π/8 )]
Para k = 3 ---> z = 2.[cos(13π/8 ) + i.sen(13π/8 )]
Para k = 0 ---> z = 2.[cos(π/8 ) + i.sen(π/8 )]
Para k = 1 ---> z = 2.[cos(5π/8 ) + i.sen(5π/8 )]
Para k = 2 ---> z = 2.[cos(9π/8 ) + i.sen(9π/8 )]
Para k = 3 ---> z = 2.[cos(13π/8 ) + i.sen(13π/8 )]
12)
Duas circunferências, de raios 12cm e 9cm, são tangentes a uma
reta r, em lados opostos. Se a distância entre os pontos de tangentes P e Q é
de 28cm, então a distância d entre as circunferências mede:
01) 35cm
02) 30cm
03) 24cm
04) 19cm
05) 14cm
Vejamos :
Através de semelhança
de triângulos podemos estabelecer as
relações: y/(28
- y) = 12/9 = (12 + x)/9+(d - x)
Resolvendo, y/(28 -
y) = 12/9 → y/(28 - y) = 4/3 → 3y = 4(28 - y) →
3y = 112 – 4y → 7y =
112 → y = 16.
Agora observando o
∆APC, e com Pitágoras, (12 + x)2 = 122 + y2
(12 + x)2
= 122 + 162 → 144 + 24x + x2 = 144 + 256 →
x2 + 24x –
256 = 0 → ∆ = 242 – 4.1.(-256) = 576 + 1024 = 1600 →
x = (- 24 ± √1600)/2
→ x = (- 24 ± 40)/2 → x =
8.
Resolvendo, 4/3 = (12
+ x)/9+(d - x) → 4(9 + d - x) = 3.(12 + x)
36 + 4d – 4x = 36 +
3x → 4d = 7x → 4d = 56 → d = 14 cm
13) Ao realizar uma pesquisa visando encontrar a melhor solução
para o problema de circulação sanguínea em veias, consideradas cilíndricas
circulares, verificou-se em um corte perpendicular ao eixo do cilindro que,
independentemente do tamanho dos círculos, para que a área da coroa circular e
a área do círculo menor sejam iguais, a razão entre o raio R do círculo externo
e o raio r do círculo interno tem que ser igual a:
01) Ö2
02) 1,5
03) Ö3
04) 2
05) 3
Vejamos :
Área da coroa
circular = π(R2 – r2)
Área do círculo interno =
πr2
Para que a área da
coroa circular e a área do círculo menor
sejam iguais, π(R2 – r2)
= πr2 → πR2 – πr2 = πr2 → πR2
= 2πr2
R2 = 2r2 → R2/r2 = 2 → √R2/r2
= √2 → R/r
= √2
14)Dados os pontos P = (3, 5) e Q = (7, 3), a mediatriz do
segmento PQ irá interceptar o eixo das ordenadas em:
01) y = -7
02) y = -6
03) y = -5
04) y = -4
05) y = -3
Vejamos :
Em termos simples, chama-
se mediatriz de um segmento PQ, a perpendicular no ponto médio deste segmento.
● M é o ponto médio de PQ, então :
xM = (xA + xB)/2 → xM = (3 + 7)/2 → xM = 5
e
yM = (yA + yB)/2 → yM = (5 + 3)/2 → xM = 4 → M(5,
4)
● O coeficiente angular da reta
suporte do segmento
PQ poderá ser obtido através aPQ
= (yQ - yP)/(xQ - xP) =
= (3 - 5)/(7 - 3) = - 2/4 = - 1/2.
● Como a mediatriz "r" é
perpendicular à reta suporte
de PQ, então seus coeficientes
angulares serão inversos
e simétricos, ou seja ar = - 1 /aPQ = 2
● Como a equação da reta
"r" poderá ser obtida através
y = arx + br
→ y = 2x + br , e M(5, 4) ϵ y = 2x + br → 4 = 2.5 + br
4 = 10 + br → br
= - 6.
Finalmente a equação da mediatriz é
dada por y = 2x – 6,
que intercepta em x = 0 → y = 2.0
– 6 → y =
- 6
15)
Seg
|
Ter
|
Qua
|
Qui
|
Sex
|
Sab
|
Dom
|
45
|
35
|
54
|
47
|
38
|
37
|
24
|
A tabela mostra o número de atendimentos prestados em uma
clínica, em cada dia de certa semana. A diferença entre a média e a mediana do
número de atendimento é igual a:
01) 0
02) 1
03) 2
04) 3
05) 4
Vejamos :
Média = (45 + 35 + 54 + 47 + 38 + 37 + 24)/7 = 280/7 = 40
Mediana : 24, 35, 37, 38, 45, 47, 54 → Mediana = 38 (valor
central)
A diferença entre a média e a mediana é igual a 40 – 38 = 2
