RACIOCíNIO LÓGICO INTERESSANTE !

QUESTÕES VESTIBULAR G1 – cftmg 2018 - COMENTADAS

1. (G1 - cftmg 2018)  Numa família com 7 filhos, sou o caçula e 14 anos mais novo que o primogênito de minha mãe. Dentre os filhos, o quarto tem a terça parte da idade do irmão mais velho, acrescidos de 7 anos. Se a soma de nossas três idades é 42, então minha idade é um número :

a) divisível por 5   

b) divisível por 3   

c) primo.    

d) par.    

  

Resposta da questão 1:[C]

Considere o caçula como c, o primogênito (ou mais velho) como p, e o

quarto filho como q. Logo, temos a seguinte situação: c = p – 14 ;

q = p/3 + 7 e c + p + q = 42.

Desenvolvendo o sistema temos: p - 14 + p + p/3 + 7 = 42 → 2p + p/3 = 49

6p + p = 147 → 7p = 147 → p = 21 → c = 7

Note que 7 é número primo.

2. (G1 - cftmg 2018)  As funções reais f(x) = 2x - 4e g(x) = - x² + 2x estão representadas na figura seguinte. A e C são pontos tais que f(x) = g(x), B  é a projeção ortogonal de C no eixo x e E é a projeção ortogonal de C no eixo y.

                               

Se A₁ é a área do triângulo ABC e A₂ é a área do triângulo CDE, então a razão A₁/A₂ vale :

a) 4   

b) 2   

c) 1/2   

d) 1/4   

  

Resposta da questão 2: [A]

Primeiramente deve-se obter as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E  e

temos: f(x) = g(x) → 2x – 4 = - x² + 2x → h(x) = x² – 4 → x² – 4 = 0  →

x² = 4 → x = ± 2 → x₁ = 2; x₂ = - 2

Como os pontos obtidos foram x₁ = 2; x₂ = - 2  logo, a distância de 0 à A é

de dois. Analogamente a distância de C até E e assim, temos que a

distância de B até 0 também é dois. E assim temos a seguinte situação:

A = (2, 0) e B = (- 2, 0).

Para obter o ponto C basta substituir o valor x = -2 na função g(x) e assim

temos: g(x) = - x² + 2x → g(x) = - (-2)² + 2(-2) = - 8 → C = (- 2, - 8)

Calculando a distância BC que corresponde a altura do triângulo temos:

D_BC = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²] = √[(- 2 + 2)² + (0 + 8)²] = √64 = 8

Note que a distância entre AB será de 4, pois equivale a soma das

distâncias de 0 à A e de B até 0.

Calculando a área A₁ temos: A₁ = 4x8/2 = 16

Agora precisamos obter a distância entre D e E. Para isso temos que

calcular o valor da função f(x) quando o valor de x = 0, pois não há

deslocamento no eixo das abscissas, f(x) = 2x – 4 → f(0) = - 4 → D = (0, -4)

Sabendo que o ponto E é projeção de C temos que sua coordenada é de

E = (0, - 8) temos que a distância será de 4.

Calculando a área A₂ temos: A₂ = 2x4/2 = 4

Obtendo a razão desejada: A₁/A₂ = 16/4 = 4

3. (G1 - cftmg 2018)  No triângulo AEF da figura abaixo, temos que med(AB) = med(BC), BC // DE e CD // EF.

                           

O valor de ϴ escrito em função de α e β é :

a) ϴ = α + β   

b) ϴ = β - α

c) ϴ = (180⁰ + α + β)/2   

d) ϴ = (180⁰ - α - β)/2      

  

Resposta da questão 3:[D]

Observe que:

Do fato de CD // EF, temos que o ângulo F = α.

Do fato de med (AB) = med (BC), temos que ACB = ϴ.

Do fato de BC // DE temos que o ângulo E = ϴ + β.

Como a soma dos ângulos internos de um triangulo é 180⁰ temos:

ϴ + α + ϴ + β = 180⁰ → ϴ = (180⁰ – α - β)/2  

4. (G1 - cftmg 2018)  O TANGRAM é um quebra-cabeças chinês formado por 5 triângulos retângulos isósceles, um paralelogramo e um quadrado que, ao serem colocadas lado a lado, sem sobreposição, formam um quadrado ABCD, conforme mostra a figura 01.

                                      

Com as peças desse TANGRAM, pode-se formar uma casinha, como a representada na figura 02.

                                      

Suponha que as superfícies I, II, III e IV serão revestidas com pedaços de isopor que foram comprados em quadrados de área igual a 45 mm² Se o quadrado ABCD tem lado igual a 32 cm, a quantidade mínima “inteira” de pedaços de isopor necessária para cobrir toda a superfície desejada é :

a) 853   

b) 854   

c) 1137   

d) 1138   

  

Resposta da questão 4: [B]

Observe que as áreas são dadas pela metade do quadrado menos a área

VII, ou seja, a área do triangulo BCD menos a área VII.

Note que do fato do lado do quadrado valer 32 sua diagonal valerá 32√2,

via Teorema de Pitágoras (uma das principais propriedades do quadrado).

Observe que a diagonal BD divide-se em quatro, e uma dessas quatro

partes representam o lado do quadrado, no caso, da área VII. Sendo

assim, dividindo o valor da diagonal por quatro obtendo o lado do

quadrado, logo 32√2/4 = 8√2

Como a área procurada é a área do triângulo BCD menos a área VII,

temos: A_BCD - A_VII = (32x32)/2 - (8√2x8√2) = 512 – 128 = 384

512 – 128 = 384 cm² ou 38400 milímetros quadrados.

Dividindo pelos quadrados de isopor temos: 38400/45 = 853,3

Logo, o mínimo devera ser de 854 peças.  

5. (G1 - cftmg 2018)  Sabe-se que, para preparar uma determinada suplementação alimentar, a quantidade de suplemento a ser diluída deve ser de 3% do volume de leite. Se for utilizado meio litro de leite e se a medida usada para o suplemento for uma colher que tem 3 cm³ então, o número de colheres do suplemento que será necessário, nessa preparação, é igual a :

a) 5   

b) 6   

c) 7   

d) 8   

  

Resposta da questão 5:[A]

Note que 3% de meio litro de leite corresponde a 0,03 x 0,5 = 0,015 litros

ou 15 ml. Como a colher possui 3 cm³ ou seja, 3 ml temos que a

quantidade de colheres é 15/3 = 5 colheres.  

6. (G1 - cftmg 2018)  A Pesquisa Anual de Serviços (PAS 2015), publicada em 2017 pelo IBGE, apresentou o gráfico a seguir para divulgar os resultados gerais dos segmentos de serviços não financeiros no Brasil, referentes aos anos de 2007 e 2015.

         

De acordo com o gráfico acima, a diferença percentual da receita operacional líquida, entre o segmento que cresceu mais e o segmento que cresceu menos, em 2015, foi de :

a) 3,8   

b) 3,6   

c) 2,5   

d) 2,3   

Resposta da questão 6: [B]

O serviço que mais cresceu foi o Serviços profissionais, administrativos e

complementares com um crescimento de: 26,8 – 23 = 3,8

O serviço que menos cresceu foi o de Serviços de manutenção e

recuperação com um crescimento de: 1,7 – 1,5 = 0,2

Logo, a diferença é de: 3,8 – 0,2 = 3,6

  

7. (G1 - cftmg 2018)  Um consumidor adquiriu um telefone em um site de compras pela internet que cobrou frete de 15% sobre o valor dessa mercadoria. Após ter recebido o produto, ele decidiu devolvê-lo sem que houvesse alguma justificativa para tal. A empresa aceitou a devolução, reembolsando o valor pago no telefone. Porém, cobrou os mesmos 15% do valor da mercadoria, o que acarretou um prejuízo total para esse consumidor de :

a) 15%   

b) 20%   

c) 25%   

d) 30%   

  

Resposta da questão 7: [D]

Considere que o valor do telefone é dado por x temos que:

Logo, o valor de compra mais o valor do frete é dado por:

x + 15% de x = x + 15x/100 = x + 0,15x = 1,15x

Como o consumidor teve que pagar os mesmos 15% para devolução,

temos: 1,15x + 15% de x = 1,15x + 15x/100 = 1,15x + 0,15x = 1,30x

Note que: 1,30x = x + 0,30x = x + 30%x

Logo, o prejuízo total é de 30%.  

8. (G1 - cftmg 2018)  O valor da expressão (9⁸ – 9⁶ – 9² + 1)/80, decomposto em fatores primos, é igual a :

a) 3² . 53 . 101   

b) 2⁵. 5 . 73 . 101   

c) 2⁴ . 5 . 7 . 13 . 73   

d) 2³ . 3 . 13 . 53 . 73   

Resposta da questão 8: QUESTÃO SEM RESPOSTA

Reescrevendo a expressão temos utilizando a diferença de quadrados

temos: (9⁸ – 9⁶ – 9² + 1)/80 = [(9⁴)² – (9³)² + 9²– 1²]/80 =

[(9⁴)² – (9³)²]/80 + (9²– 1²)/80 = [(9⁴ + 9³).(9⁴ - 9³)]/80 + [(9 + 1)(9 - 1)]/80 =

(7290).(5832)/80 + (10).(8)/80 = 531441 + 1 = 531442

Fatorando em números primos temos:

531442  | 2

265721  | 41

6481      |6841

  1

Logo, temos que o número 531442 = 2.41.6841

A questão não possui alternativa correta. Note que a resposta oficial é

2⁴.5.7.13.73 = 531440, e o valor correto da expressão é de 531442.  

  

9. (G1 - cftmg 2018)  A seguinte expressão algébrica

(8a⁴ – 2a²b² + 6ab² – 24a³).[ab/(4a²b + 2ab²).(a² – 3a)] é equivalente a :

a) b/(2a + b)   

b) b – 2a   

c) b/(2a - b)      

d) 2a - b   

Resposta da questão 9:[D]

Desenvolvendo temos:

(8a⁴ – 2a²b² + 6ab² – 24a³).[ab/(4a²b + 2ab²).(a² – 3a)] =

(8a⁴ – 2a²b² + 6ab² – 24a³).[ab/2ab(2a + 2ab²).(a² – 3a)] =

(8a⁴ – 2a²b² + 6ab² – 24a³)/2(2a + 2ab²).(a² – 3a)] =

(4a⁴ – a²b² + 3ab² – 12a³)/(2a³ – 6a² + 2a³ – 6a²b²) =

a(4a³ – ab² + 3b² – 12a²)/a(2a² – 6a + 2a² – 6ab²) =

(4a³ – ab² + 3b² – 12a²)/(2a² – 6a + 2a² – 6ab²) =

(4a³ – ab² + 3b² – 12a²)/(2a² – 6a + 2a² – 6ab²) =

[a(4a² – b²) + 3(b² – 4a²)]/[2a(a - 3) + b(a - 3)] =

[a(4a² – b²) - 3(4a²- b²)]/[2a(a - 3) + b(a - 3)] =

[(a - 3)(4a² – b²)]/[(2a + b)(a - 3)] = (4a² – b²)/(2a + b) =

(2a + b)(2a - b)/(2a + b) = 2a - b

10. (G1 - cftmg 2018)  Meu avô quer construir, ao lado da mangueira de seu sítio, um lago para criar peixes. A figura a seguir mostra o projeto do engenheiro ambiental no qual a lagoa, vista por um corte horizontal do terreno, é representada por uma parábola, com raízes P₁ e P₂ distantes 8 metros. O projeto inicial previa a parábola g(x) = x² – 8x. Para conter gastos, essa parábola foi substituída pela parábola f(x) = x²/4 – 2x.

                    

Com essa mudança, a maior profundidade da lagoa, em metros, diminuiu

a) 4   

b) 8   

c) 12   

d) 16   

  

Resposta da questão 10:[C]

Basta calcularmos o deslocamento vertical das parábolas utilizando as

diferenças da segunda coordenada de seus vértices em modulo, isto é:

V_g = (-b/2a ; -∆/4a) = (8/2 ; -(b² – 4ac)/4a) = (4; -64/4) = (4, - 16)

V_f = (-b/2a ; -∆/4a) = (2/2 ; -(b² – 4ac)/4a) = (1; - 4/1) = (1, -4)

Portanto |- 16| - |- 4| = 12

11.(G1 - cftmg 2018)  Segundo uma profecia Maia, acreditava-se que 2012 seria o ano do “fim do mundo”. Supondo-se que essa profecia tivesse sido anunciada em um domingo, e que, a partir daí, a Terra teria “apenas” mais 1.870.626 “dias de vida”, o dia da semana em que o “mundo acabaria” seria :

a) segunda.    

b) terça.   

c) quarta.    

d) quinta.    

  

Resposta da questão 11: [B]

Sabendo que a profecia foi dada em um Domingo e que uma semana

possui sete dias, basta dividirmos o total de dias de vida da terra por sete

e seu resto será o dia referente da semana, isto é:

                       1.870.626/7 = (267232x7) + 2

O valor 2 representa o resto da divisão. Logo, se a profecia foi dada em

domingo, contando dois dias após, teremos que o mundo acabaria na

terça-feira.  

12.(G1 - cftmg 2018)  No trator da figura, o raio PS da maior circunferência determinada pelo pneu traseiro é 80 cm, o raio QR da maior circunferência determinada pelo pneu dianteiro é 56 cm e as distâncias entre os centros P e Q dessas circunferências é de 240 cm.

                       

Considerando π = 3, a distância entre os pontos S e R, em que os pneus tocam o solo plano é :

a) igual ao comprimento da circunferência de raio PS.   

b) maior que o comprimento da circunferência de raio PS.   

c) um valor entre as medidas dos comprimentos das circunferências de raios PS e QR.   

d) maior que o módulo da diferença entre os comprimentos das circunferências de raios PS e QR.   

Resposta da questão 12:[D]

Note o quadrilátero PQRS da seguinte forma:

                          

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo PQQ' temos:

hip² = cat²  +  cat² → 240² = 24² + x² → x² = 57024 → x ≈ 238,8

Note que as circunferências possuem os seguintes comprimentos:

C_PS = 2πR₁ = 2.3.80 = 480 cm.

C_QR  = 2πR₂ = 2.3.56 = 336 cm.

Logo, o valor procurado é maior que o módulo da diferença entre os

comprimentos das circunferências de raios PS e QR.

Observe que: |480 - 336| = 144  

  

13.(G1 - cftmg 2018) 

                                  

O triângulo ABV está inscrito em uma circunferência de centro C e o segmento VD tangencia a circunferência em V, como representado na figura a seguir. Sabendo que a medida do ângulo AVD = 30⁰ e que a medida do raio da circunferência é igual a √5 cm, o comprimento do arco VEF em cm, é :

a) π√5/3   

b) 2π√5/3   

c) π√5/6   

d) 2π   

Resposta da questão 13:[B]

Sabendo que o arco é dado por: C = VEF/R. Sabendo que todo triângulo

inscrito na semicircunferência é retângulo, temos que o triangulo ABV

possuirá ângulos: A = 90⁰, V = 60⁰ e B = 30⁰. Observe que o ângulo V = 60⁰

é dado devido a medida de AVD = 30⁰.

Dessa maneira, temos que o ângulo A ou CAB será igual a 30⁰, pois

AC = CB e assim temos que o ângulo ACB = ECV = 120⁰.

Aplicando a fórmula acima: C = VEF/R → 120⁰ = VEF/√5 → VEF = 2π√5/3

  

  

14. (G1 - cftmg 2018)  Se a e b são constantes reais tais que (2x-1)/(x²-2x) = a/x + b/(x-2), com 
x ≠ 0 e x ≠ 2 então, b - a é igual a :

a) 1   

b) 2   

c) 3   

d) 4   

Resposta da questão 14:[A]

Desenvolvendo a expressão temos:

(2x-1)/(x²-2x) = a/x + b/(x-2) → (2x-1)/(x²-2x) = a(x - 2)/(x² – 2x) + bx/(x²-2x)

Através de identidade entre dois polinômios,

2x - 1 ≡ bx + a - 2 → a – 2 = 0 → a – 2 = - 1 → a = 1 e b = 2.

Portanto b – a = 2 – 1 = 1