QUESTÕES VESTIBULAR IME 2018 - COMENTADAS

1. (Ime 2018)  João e Maria nasceram no século XX, em anos distintos. A probabilidade da soma dos anos em que nasceram ser 3875 é:

a) 2/99   

b) 19/2475   

c) 37/4950   

d) 19/825   

e) 19/485   

  

Resposta da questão 1: [C]

O espaço amostral Ώ é dado pelo total de pares ordenados (a, b), a ǂ b,

em que a e b, são, respectivamente, o ano do século XX em que João

nasceu e o ano do século XX em que Maria nasceu.

Assim, n(Ώ) = 100.99 = 9900

O evento A (a soma dos anos em que nasceram é 3875) é formado por

todas as soluções inteiras não negativas da equação a + b = 3875, com

a = 1901 + α e b = 1901 + β.

Então, 1901 + α + 1901 + β = 3875 → α + β = 73, n(A) = P₇₄⁷³ = 74!/73! = 74

Dessa forma, p(A) = n(A)/n(Ώ) = 74/9900 = 37/4950

  

  

2. (Ime 2018)  Se X e Y são números naturais tais que X² – Y² = 2017, o valor de X² + Y² é:

a) 2008010   

b) 2012061   

c) 2034145   

d) 2044145   

e) 2052061   

  

Resposta da questão 2:[C]

De X² – Y² = 2017 → (X + Y).(X - Y) = 2017

Como 2017 é primo, X e Y são números naturais, x > Y  e

(X + Y).(X - Y) = 2017, portanto (i) : X + Y = 2017 e X – Y = 1 ou

(ii) : X - Y = 2017 e X + Y = 1.

De (i), 2X = 2018 → X = 1009 e Y = 1008

De (ii), 2X = 2018 → X = 1009 e Y = - 1008

Como X, Y ɛ N, então Y = - 1008 não apresenta solução.

Logo, X = 1009 e Y = 1008 ou seja, X² + Y² = 2034145  

3. (Ime 2018)  A soma dos algarismos de X com a soma dos quadrados dos algarismos de X é igual a X. Sabe-se que X é um número natural positivo. O menor X possível está no intervalo:

a) (0, 25]   

b) (25, 50]   

c) (50, 75]   

d) (75, 100]   

e) (100, 125]   

  

Resposta da questão 3: [D]

Do enunciado, temos:

X = a_n . a_n-1.a_n-2 ... a₃.a₂.a₁.a₀, 0 ≤ a₁ ≤ 9, 0 ≤ i ≤ n.

X = a₀ . 10⁰ + a₁. 10¹ + a₂. 10² + ... + a_n-1 . 10^n-1 + a_n . 10ⁿ

a₀  + a₁  + a₂ + ... + a_n-1  + a_n  + a₀²  + a₁²  + a₂² + ... + a_n-1²  + a_n ² =  a₀ . 10⁰ +

+ a₁. 10¹ + a₂. 10² + ... + a_n-1 . 10^n-1 + a_n . 10ⁿ

a₁ .(10 – 1 – a₁) + a₂ .(10² – 1 – a₂) + ... + a_n-1 .(10^n-1 – 1 – a_n-1) +

+ a_n .(10ⁿ – 1 – a_n ) – a₀² = 0

Então,

a₁ .(10 – 1 – a₁) = 0 → a₁ = 0 ou (10 – 1 – a₁) = 0 → a₁ = 9

a₂ .(10² – 1 – a₂) = 0 → a₂  = 0 ou (10² – 1 – a₂) = 0

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

a_n-1 .(10^n-1 – 1 – a_n-1) = 0 → a_n-1 = 0 ou (10^n-1 – 1 – a_n-1) = 0             

a_n .(10ⁿ – 1 – a_n ) = 0 → a_n  = 0 ou (10ⁿ – 1 – a_n ) = 0

a₀² = 0 → a₀ = 0

Portanto, X = 90 → 75 < X < 100

  

4. (Ime 2018)  Sejam x₁, x_2, x₃  e x₄ os quatro primeiros termos de uma P.A. com x₁ = x e razão r, com x, r ɛ R. O determinante de, é

                                               

a) 0   

b) x⁴.r   

c) x⁴.r³      

d) x.r⁴      

e) x.r³      

  

Resposta da questão 4: [E]

Do enunciado, temos:

                     

                            

                               

Então, det A = x.r³.1 = xr³

5. (Ime 2018)  Seja f(x) uma função definida nos conjunto dos números reais, de forma que f(1) = 5 e para qualquer x pertencente aos números reais f(x + 4) ≥ f(x) + 4 e f(x + 1) ≤ f(x) + 1.

Se g(x) = f(x) + 2 – x, o valor de g(2017) é:

a) 2   

b) 6   

c) 13   

d) 2021   

e) 2023   

  

Resposta da questão 5:[B]

Da desigualdade f(x) + 1 ≥ f(x + 1), f(x + 1) + 1 ≥ f(x + 2),

f(x + 2) + 1 ≥ f(x + 3), f(x + 3) + 1 ≥ f(x + 4).

● Das desigualdades f(x) + 1 ≥ f(x + 1) e f(x + 1) + 1 ≥ f(x + 2),

f(x + 2) ≤ f(x) + 2.

● Das desigualdades f(x + 2) ≤ f(x) + 2 e f(x + 2) + 1 ≥ f(x + 3),

f(x + 3) ≤ f(x) + 3.

● Das desigualdades f(x + 3) ≤ f(x) + 3 e f(x + 3) + 1 ≥ f(x + 4),

f(x + 4) ≤ f(x) + 4.

                                  

● Das desigualdades f(x + 4) ≤ f(x) + 4 e f(x + 4) ≥ f(x + 4),

f(x + 4) = f(x) + 4.

De f(x + 4) = f(x) + 4,

f(1 + 4) = f(1) + 4 → f(5) = f(1) + 4 → f(5) = 9

f(5 + 4) = f(5) + 4 → f(9) = f(5) + 4 → f(9) = 13

f(9 + 4) = f(9) + 4 → f(13) = f(9) + 4 → f(13) = 17

..........................................................................

..........................................................................

...........................................................................

Note que a sequência f(1) = 5, f(5) = 9, f(9) = 13, f(13) = 17, ... é uma

progressão aritmética, assim como a sequência 1, 5, 9 13, ... também é

uma progressão aritmética.

Na PA 1, 5, 9, 13, ... temos: 2017 = 1 + (n - 1).4 → n = 505

Assim, na PA f(1) = 5, f(5) = 9, f(9) = 13, f(13) = 17, ...

f(2017) = 5 + (505 - 1).4 = 2021

Portanto, g(2017) = f( 2017) + 2 – 2017 = 2021 + 2 – 2017 → f(2017) = 6  

6. (Ime 2018)  Considere as alternativas:

I. O inverso de um irracional é sempre irracional.

II. Seja a função f : A → B e X e Y dois subconjuntos quaisquer de A, então f(X ∩ Y) = f(X) ∩ f(Y).

III. Seja a função f : A → B e X e Y dois subconjuntos quaisquer de A, então f(X U Y) = f(X) U f(Y).

IV. Dados dois conjuntos A e B não vazios, então A ∩ B = A se, e somente se, B está contido em A.

Obs.: f(Z) é a imagem de f no domínio Z.

São corretas:

a) I, apenas.    

b) I e III, apenas.   

c) II e IV, apenas.   

d) I e IV, apenas.    

e) II e III, apenas.    

  

Resposta da questão 6:[B]

Análise da afirmação [I]:

Seja α um número irracional.

Suponhamos que 1/α seja racional, ou seja, 1/α = a/b , com a e b inteiros e

primos entre si. De 1/α = a/b, α = b/a.

Note que b/a é um número racional, o que é absurdo, pois, por hipótese, α

é irracional.

Portanto, 1/α é irracional, o que torna a afirmação I verdadeira.

Análise da afirmação [II]:

Consideremos o seguinte contraexemplo:

                           

X = {4, 5}, Y = {5, 6} e X ∩ Y = {5}.

f(X) = {7, 8}, f(Y) = {7, 8}, f(X ∩ Y) = {8}, f(X) ∩ f(Y) = {7, 8},

Como f(X) ∩ f(Y) ǂ f(X ∩ Y,) ∩ f(Y) a afirmação II é falsa.

Análise da afirmação [III]:

(I) Para qualquer  a ɛ (X U Y), f(a) ɛ f(X U Y).

   

Dessa forma, a ɛ X ou a ɛ Y → f(a) ɛ f(X) ou f(a) ɛ f(Y)

f(a) ɛ f(X) ou f(a) ɛ f(Y) → f(a) ɛ f(X U Y)  

f(X U Y) está contido em f(X) U f(Y).

(II) Para qualquer b ɛ (f(X) U f(Y)), b ɛ f(x) ou b ɛ f(y)

Então, existe a ɛ X ou a ɛ Y tal que f(a) = b.

Portanto, b ɛ f(X U Y) → f(X) U f(Y) está contido em f(X U Y)

De (I) e de (II), f(X U Y) = f(X) U f(Y).

Assim, a afirmação [III] é verdadeira.

Análise da afirmação [IV]:

Consideremos o seguinte contraexemplo: A = ø e B = {3}

A ∩ B = ø e B não está contido em A

Assim, a afirmação IV é falsa.

Dessa forma, somente as afirmações [I] e [III] são verdadeiras.   

7. (Ime 2018)  Seja x um número natural maior que 2. Se a representação de um numeral N na base x é 1041 e na base x - 1 é 1431, então a sua representação na base binária é:

a) 10001111   

b) 11011011   

c) 11100111   

d) 11011110   

e) 11110001   

Resposta da questão 9:[E]

Do enunciado, temos: x ɛ N, x > 2.

(I) N_x = 1041 = 1.x³ + 0.x² + 4.x¹ + 1.x⁰ = x³ + 4x + 1

(II) N_{x – 1}  = 1431 = 1.(x - 1)³ + 4.(x - 1)² + 3.(x - 1)¹ + 1.(x - 1)⁰ = x³ + x² - 2x + 1

De (I) e  (II), x³ + 4x + 1 = x³ + x² - 2x + 1 → x² – 6x = 0 →x' = 0(?) ou x'' = 6

Então, N = 6³ + 4.6 + 1 → N = 241

Note que:

241 = 128 + 64 + 32 + 16 + 1 e

241 = 1.2⁷ + 1.2⁶ + 1.2⁵ + 1.2⁴ + 0.2³ + 0.2² + 0.2¹ + 1.2⁰

Portanto, N₂ = 11110001  

QUESTÕES VESTIBULAR IME 2018 – TIPO ANALÍTICA - COMENTADAS

1. (Ime 2018)  Resolva a inequação abaixo, onde x é uma variável real

2|x³| - 6x² + 3|x| + 2 < 0

 Sendo 2|x³| - 6x² + 3|x| + 2 < 0,  fazendo |x| = t, 2t³ – 6t² + 3t + 2 < 0.

Por tentativa, verifica-se que 2 é raiz da equação 2t³ – 6t² + 3t + 2 = 0,

2.2³ – 6.2² + 3.2 + 2 = 0 → 16 – 24 + 6 + 2 = 0 → 24 – 24 = 0

Então, as raízes da equação 2t² – 2t – 1 = 0 também são raízes da equação

2t³ – 6t² + 3t + 2 = 0.

De  2t² – 2t – 1 = 0 → t' = ou t" = (1 - √3)/2

Portanto, 2t³ – 6t² + 3t + 2 = 2(t - 2).[t - (1 + √3)/2].[t - (1 - √3)/2] 

Voltando à inequação 2t³ – 6t² + 3t + 2 < 0, temos:

2(t - 2).[t - (1 + √3)/2].[t - (1 - √3)/2] < 0

                     ─                    +                         ─                   +

          -----------------○----------------------○-----------------○--------------

                            (1-√3)/2                 (1+√3)/2           2

Logo, t < (1 - √3)/2 ou (1 + √3)/2 < t < 2

Assim,

● Se |x| < (1 - √3)/2, então não há solução, pois (1 - √3)/2 < 0

● Se (1 + √3)/2 < |x| < 2, quando |x| > (1 + √3)/2, x > (1+√3)/2 ou

x < - (1+√3)/2, e quando |x| < 2, - 2 < x < 2.

Dessa forma, - 2 < x < - (1 + √3)/2 ou (1 + √3)/2 < x < 2

S = {x ɛ R / - 2 < x < - (1 + √3)/2 ou (1 + √3)/2 < x < 2}

2. (Ime 2018)  Seja o número complexo z que satisfaz a relação

2(z - i)²⁰¹⁷ = (√3 + 1).(iz - 1)²⁰¹⁷. Determine z, sabendo que |z| = √3/3.

Sendo 2(z - i)²⁰¹⁷ = (√3 + 1).(iz - 1)²⁰¹⁷ → |2(z - i)²⁰¹⁷| = |(√3 + 1).(iz - 1)²⁰¹⁷| →

|2(z - i)²⁰¹⁷| = |(√3 + 1)|.|(iz - 1)²⁰¹⁷| → 2(z - i)²⁰¹⁷| = 2.|(iz - 1)²⁰¹⁷| →

|(z - i)²⁰¹⁷| = |(iz - 1)²⁰¹⁷| → |z - i| = |iz - 1|

Fazendo z = x + yi, x e y ɛ R, |z - i| = |iz - 1| → |x + yi - i| = |i(x + yi) - 1| →

|x + yi - i| = |i(x + yi) - 1| → x² + (y - 1)² = [- (y + 1)]² + x² → (y - 1)² = (y + 1)²

 y² – 2y + 1 = y² + 2y + 1 → - 4y = 0 → y = 0. Assim, z é real e z = x .

 Como |z| = √3/3, então z = √3/3 ou z = - √3/3.

Vamos verificar se os valores encontrados de z satisfazem a relação

inicial.

● Primeiro caso:  z = √3/3

 (I)  z – i = √3/3 – i = (√3 – 3i)/3 →

   z – i = (2√3/3).(cos 5π/6 + i.sen 5π/3) →

   (z – i)²⁰¹⁷ = (2√3/3)²⁰¹⁷.(cos 2017.5π/3 + i.sen 2017.5π/3) 

 (II) iz – 1 = i√3/3 – 1 = (- 3 + √3i)/3 →

   iz – 1 = (2√3/3).(cos 5π/6 + i.sen 5π/6) →

   (iz – 1)²⁰¹⁷ = (2√3/3)²⁰¹⁷.(cos 2017.5π/6 + i.sen 2017.5π/6)   

  (III) √3 + i = 2.(cosπ/6 + i.senπ/6)

 ► De (II) e (III) : (√3 + i). (iz – 1)²⁰¹⁷ =

  2.(2√3/3)²⁰¹⁷.[ (cos (2017.5π/6 + π/6) + i.(sen 2017.5π/6 + π/6)] =

  Como cos 2017.5π/3 + i.sen 2017.5π/3 = cos (2017.5π/6 + π/6) +

 

  + i.(sen 2017.5π/3 + π/6).

  Então 2017.5π/3 = 2017.5π/6 + π/6 + 2kπ, k ɛ Z →

  2017.5π/3 - 2017.5π/6 = π/6 + 2kπ →

  2017.5π(1/3 - 1/6) = π(1/6 + 2k) →

  2017.5.1/6 = (1 + 12k)/6 → k = (2017.5 - 1)/12

  Como k = (2017.5 - 1)/12 não pertence a Z, então z = √3/3 não é solução.

 

● Segundo caso:  z = √3/3

  (IV)  z – i = - √3/3 – i = - (√3 + 3i)/3 →

   z – i = (- 2√3/3).(cos π/3 + i.sen π/3) →

   (z – i)²⁰¹⁷ = (- 2√3/3)²⁰¹⁷.(cos 2017.π/3 + i.sen 2017.π/3) 

  (V) iz – 1 = - i√3/3 – 1 = - (- 3 + √3i)/3 →

   iz – 1 = (- √3/3).(cos π/6 + i.sen π/6) →

   (iz – 1)²⁰¹⁷ = (- √3/3)²⁰¹⁷.(cos 2017.π/6 + i.sen 2017.π/6)   

 ► De (IV) e √3 + i = 2.(cosπ/6 + isenπ/6)

    2.(- √3/3)²⁰¹⁷.[ (cos (2017.π/3 + i.(sen 2017.π/3 )  →

    2.(cosπ/6 + isenπ/6).(- √3/3)²⁰¹⁷.(cos 2017.π/3 + i.sen 2017.π/3)  →

    2.(- √3/3)²⁰¹⁷ [cos(π/6 + 2017.π/3) + isen(π/6 + 2017.π/3)]

   

    Como (cos 2017π/3 + i.sen 2017π/3) = [cos(π/6 + 2017π/6) +

    + isen((π/6 + 2017π/6))

 

    Então 2017.π/3 = 2017π/6 + π/6 + 2kπ, k ɛ Z →

    2.2017π/6 =  2018π/6 + 12kπ/6 →

    2.2017 =  2018 + 12k → k = (4034 - 2018)/12 → k = 168

    Logo, z = - √3/3  é solução única do problema.  

3. (Ime 2018)  Um ônibus escolar transporta n crianças. Sejam A o evento em que dentro do ônibus tenham crianças de ambos os sexos e B o evento em que há no máximo uma menina dentro do ônibus.

Determine o valor de n para que os eventos A e B sejam independentes.

O espaço amostral é o total de sequências (n₁, n₂, n₃, ... , n_n), onde

n_i, 1 ≤ i ≤ n, podendo ser sempre menino ou menina.

Sendo ꭥ o espaço amostral, n(ꭥ) = 2.2.2....2.2 = 2ⁿ

Se A é o evento em que dentro do ônibus tenham crianças de ambos os

sexos, então não pode haver sequências formadas somente por meninos

ou somente por meninas.

Assim, n(A) = 2ⁿ - 2

Se B é o evento em que há no máximo uma menina dentro do ônibus,

temos:

Vamos representar uma menina pela letra x e um menino pela letra y.

Assim, n(B) = n + 1

O evento A ∩ B é formado pelas sequências com crianças de ambos os

sexos e com no máximo uma menina, ou seja, são as sequências que têm

exatamente uma menina.

Assim, da análise do evento B, n(A ∩ B) = n. Os eventos A e B, são  

independentes, se e somente se, P(A ∩ B) = P(A).P(B). n = (2ⁿ-2) . (n+1)/2ⁿ

Daí, n/2ⁿ = (2ⁿ-2)/2ⁿ . (n+1)/2ⁿ → n = (2ⁿ-2) . (n+1)/2ⁿ → n.2ⁿ = (2ⁿ-2) . (n+1)

n.2ⁿ = n.2ⁿ + 2ⁿ - 2n – 2 → 0 = 2ⁿ - 2n – 2 → 2ⁿ = n + 1 → n = 3

É possível mostrar que n = 3 é a única solução.  

4. (Ime 2018)  Sejam a,b, c e d números reais positivos diferentes de 1. Temos que log_ad, log_bd  e log_cd são termos consecutivos de uma progressão geométrica e que a, b e c formam uma progressão aritmética em que a < b < c.

Sabendo-se que b = b^log_a^b – a, determine:

a) Os valores de a, b e c;

b) As razões das progressões aritmética e geométrica, r e q, respectivamente.

a) Teremos: a < b < c

   PG : (log_ad , log_b^d , log_c^d)  e  PA : (a, b, c) →  b = b^log_a^b – a (eq. I)

   PG, (log_bd)² = log_a^d . log_c^d →log_bd . log_b^d  = (log_b^d)/(log_b^a).(log_b^d)/(log_b^c) 

   log_b^a . log_b^a = 1 → log_b^c = 1/log_b^a (eq. II)

   Da eq. I, b = b^log_a^b – a → b + a = b^log_a^b  → b + a = b ^(log_b^b)/(log_b^a)  →

   b + a = b ^1/(log_b^a) .

   De b + a = b ^1/(log_b^a) e da eq.II, vem b + a = b^log_b^c e b + a = c (eq. III)

   Da PA, 2b = a + c (eq. IV)

   Das equações III e IV, 2b = a + b + a → b = 2a e b + a = c → c = 3a

   De b = 2a e b  = b^log_a^b – a → 2a  = (2a)^log_a^2a – a → 3a  = (2a)^log_a^2a  →  

   3a  = (2a)^log_a^{2 + 1}  → 3a  = (2a)^log_a² . 2a → 3/2 = 2^log_a²  . a^log_a² →

   3/2 = 2^log_a²  . 2 →   3/4 = 2^log_a²  → log₂ 3/4 = log₂ 2^log_a²  →

   log₂ 3/4 = log_a2 . log₂ 2 →   log₂ 3/4 = log_a2 → log₂ 3/4 = 1/log₂a →

   log₂ a = log₂² /log₂ 3/4  → log₂ a = log_3/4² → a = 2 ^log_3/4²

   Se b = 2a  e c= 2ª, então b = 2. 2 ^log_3/4²  e  c = 3. 2 ^log_3/4²

  b) Da PA, r = b – a → r = 2a – a → r = a → r = 2 ^log_3/4²

     Da PG, q = (log_b^d)/(log_a^d) → q = 1/log_a^d . log_a ^d/ log_a ^b → q = 1/log_a ^b

       q = 1/log_a ^2a → q = 1/(log_a² + log_a^a) → q = 1/(log_a² + 1) →

     q = 1/(log₂²/log₂^a + 1) → q = 1/(1/log₂^a + 1) → q = 1/(1/log_3/4² + 1) →

     q = 1/(log₂^3/4 + 1) →     q = 1/(log₂^3/4 + log₂²) → q = 1/log₂^{3/4 . 2} →

     q = 1/log₂^3/2 → q = log_3/2²

Finalmente,

a) a = 2 ^log_3/4² ; b = 2.2 ^log_3/4² e c = 3.2 ^log_3/4²

b) r = 2 ^log_3/4² e q = ^log_3/2²

5. (Ime 2018)  Sabendo que |x| ≤ π/6 e que x satisfaz a equação abaixo

[3-cosx(4cosx + senx)]/(10sen²x – 8senxcosx) = 1/2

Determine os possíveis valores de x.

De |x| ≤ π/6, -π/6 ≤ x ≤ π/6 →

[3 - cosx(4cosx + senx)]/(10sen²x – 8senxcosx) = 1/2

2. [3 - cosx(4cosx + senx)] = 10(1 – cos²x) – 8senxcosx

2. [3 - 4cos² x – senx.cosx] = 10 -10cos²x – 8senxcosx

6 - 8cos² x – 2senx.cosx = 10 -10cos²x  – 8senxcosx

2cos² x + 6senx.cosx = 4 (:2) → cos² x + 3senx.cosx = 2 

1 - sen² x + 3senx.cosx = 2 → - sen² x + 3senx.cosx = 1

- sen² x + 3senx.cosx = sen²x + cos²x → - 2sen² x + 3senx.cosx - cos²x = 0

 2sen² x - 3senx.cosx + cos²x = 0 

 2sen² x - 2senx.cosx + cos²x – senx.cosx = 0

 2senx(senx - cosx) + cosx(cosx - senx) = 0 

 2senx(senx - cosx) - cosx(senx - cosx) = 0 

 (senx - cosx).(2senx - cosx) = 0 

 (senx - cosx) = 0 ou (2senx - cosx) = 0 

 senx = cosx ou 2senx = cosx

 senx/cosx = 1 → tgx = 1  ou  senx/cosx = 1/2 → tgx = 1/2

 Como - π/6 ≤ x ≤ π/6 a equação tgx = 1 não admite solução.

 Como - π/6 ≤ x ≤ π/6, a equação tgx = /2 admite a solução x = arctg(1/2).

 Resposta: x = arctg(1/2).   

  

6. (Ime 2018)  Determine todos os números primos p, q e r tais que

35p + 11pq + qr = pqr.

Resposta da questão 4:

De 35p + 11pq + qr = pqr, qdo 35|p → 5.7.p

Então, q = 5 ou q = 7 ou q = p.              

● Primeiro caso: q = p → 35p + 11pq + qr = pqr → 35p + 11p.p + p.r = p.p.r

35p + 11p² + p.r = p².r → 35 + 11p + r = p.r → 35 + 11p = p.r – r

35 + 11p = r(p - 1) → r = (35 + 11p)/(p - 1) → r = (11p – 11 + 46)/(p - 1)

r = [11(p - 1) + 46]/(p - 1) → (eq. I)

quando (p - 1)|46 ou seja (p - 1) divisores de 46

p – 1 = 1 → p = 2  ou  p – 1 = 2 →  p = 3  ou  p – 1 = 23 → p = 24 (não é

primo)  ou  p – 1 = 46 → p = 47

Então, p = 2 ou p = 3 ou p = 47

Substituindo p = 2 na equação I, r = [11(p - 1) + 46]/(p - 1)

r = [11(2 - 1) + 46]/(2 - 1) → r = 57 (não é primo).

Substituindo p = 3 na equação I, r = [11(p - 1) + 46]/(p - 1)

r = [11(3 - 1) + 46]/(3 - 1) → r = 34 (não é primo).

Substituindo p = 47 na equação I, r = [11(p - 1) + 46]/(p - 1) 

r = [11(47 - 1) + 46]/(47 - 1) → r = 12 (não é primo).

► Não há solução nesse caso.

● Segundo caso: q = 5 → 35p + 11pq + qr = pqr → 35p + 11p.5 + 5r = p.5.r

35p + 55p + 5r = 5pr (: 5) → 7p + 11p + r = pr → 18p + r = pr → 18p = pr - r

18p = r(p - 1) → r = 18p/(p - 1) → (eq. II)

quando (p - 1)|18 ou seja (p - 1) divisores de 18

p – 1 = 1 → p = 2  ou  p – 1 = 2 →  p = 3  ou  p – 1 = 3 → p = 4 (não é

primo)  ou  p – 1 = 6 → p = 7  ou  p – 1 = 9 → p = 10 (não é primo) ou

p – 1 = 18 → p = 19

Substituindo p = 3 na equação II, r = 18p/(p - 1) → r = 18.3/(3 - 1)

r = 27 (Não é primo).

Substituindo p = 7 na equação II, r = 18p/(p - 1) → r = 18.7/(7 - 1)

r = 2 (Não é primo).

Substituindo p = 19 na equação II, r = 18p/(p - 1) → r = 18.19/(19 - 1)

r = 19.

► Solução nesse caso: p = 19, q = 5 e r = 19.

● Terceiro caso: q = 5 → 35p + 11pq + qr = pqr → 35p + 11p.7 + 7r = p.7.r

35p + 77p + 7r = 7p.r (: 7) → 5p + 11p + r = pr → 16p + r = pr → 16p = pr - r

16p = r(p - 1) → r = 16p/(p - 1) → (eq. III)

quando (p - 1)|16 ou seja (p - 1) divisores de 16

p – 1 = 1 → p = 2  ou  p – 1 = 2 →  p = 3  ou  p – 1 = 4 → p = 5  ou  p – 1 = 8

p = 9 (não é primo)  ou  p – 1 = 16 → p = 17

Substituindo p = 2 na equação III, r = 16p/(p - 1) → r = 16.2/(2 - 1)

r = 32 (Não é primo).

Substituindo p = 3 na equação II, r = 16p/(p - 1) → r = 16.3/(3 - 1)

r = 24 (Não é primo).

Substituindo p = 5 na equação II, r = 16p/(p - 1) → r = 16.5/(5 - 1)

r = 20 (Não é primo).

Substituindo p = 17 na equação II, r = 116p/(p - 1) → r = 16.17/(17 - 1)

r = 17.

► Solução nesse caso: p = 17, q = 7 e r = 17.

Resposta: p = 19, q = 5 e r = 19   ou   p = 17, q = 7 e r = 17.

  

7. (Ime 2018)  Seja a matriz A, com k real.

                                   

Determine a faixa de valores de k para que exista uma matriz de números reais P tal que as condições abaixo sejam atendidas simultaneamente:

a) A^TP + PA = i em que A^T é a transposta da matriz A e I é a matriz identidade;

b) P seja simétrica;

c) P₁₁ > 0 em que P₁₁ é o elemento da linha 1 e coluna 1 de P;

d) |P| > 0 em que |P| é o determinante da matriz P.

                       

● Se k = -6 temos o seguinte sistema,

- 12x + 8y = 1 ; - 3x – 4y + 4w = 0 .(4) e – 6y + 4w = 0

- 12x + 8y = 1 (eq. I) ; - 12x – 16y + 16w = 0 (eq. II) e – 6y + 4w = 0 (eq.III)

Das equações I e II,  I – II → - 12x + 8y - (- 12x – 16y + 16w) = 1 – 0

- 12x + 8y + 12x + 16y - 16w = 1 → 24y – 16w = 1 (eq. IV)

Da equação III, – 6y + 4w = 0 (.4) → 24y – 16w = 0 (eq. V)

Das equações IV e V, conclui-se que o sistema é impossível para k = - 6.

● Se k = -2,  temos o seguinte sistema:

- 4x + 8y = 1 (eq. VI) ; - 3x + 4w = 0 (eq. VII) e – 6y + 4w = 1 (eq. VIII)

Das equações VII e VIII, VII – VIII → - 3x + 4w - (-6y + 4w) = 0 – 1 →

- 3x + 4w + 6y - 4w =  – 1 → - 3x + 6y = - 1 (.4) → - 12x + 24y = - 4 (eq. IX)

Da equação VI, - 4x + 8y = 1(.3) → - 12x + 24y = 3 (eq. X)

Das equações IX e X, conclui-se que o sistema é impossível para k = -2

                                

Dessa forma,

                                

De p₁₁ > 0, x > 0.

Então, (k + 16)/2.(k + 6).(k + 2) > 0

             

- 16 < k < - 6 ou k > - 2 (cond. XI)

De |P| > 0, xw – y² > 0, ou seja, xw > y².

                

inequação acima é equivalente à seguinte inequação:

k³ + 10k² + 77k + 318 > 0 com k ǂ - 6 e k ǂ - 2

Daí, k³ + 6k² + 4k² + 77k + 318 + 144 - 144 > 0

k³ + 6k² + 77k + 462 + 4k² - 144 > 0

k² .(k + 6) + 77(k + 6) + 4.(k² - 36) > 0

k² .(k + 6) + 77(k + 6) + 4.(k + 6).(k - 6) > 0

(k + 6)[k² + 77 + 4.(k - 6] > 0 → (k + 6)[k² + 77 + 4k - 24] > 0

(k + 6)[k² + 4k + 53] > 0 → (k + 6)[k² + 4k + 4 + 49] > 0

(k + 6)[(k + 2)² + 49] > 0 .

Note que a inequação (k + 6)[(k + 2)² + 49] > 0  é equivalente à inequação

K + 6 > 0 logo, k > - 6 (cond. XII)

Das inequações XI e XII, temos: k > - 2

Resposta: A faixa de valores de k para que exista uma matriz de números

reais P satisfazendo as condições dadas é ] – 2, ∞[.

8. (Ime 2018)  Seja um cubo regular, onde os centros de suas faces são vértices de um octaedro. Por sua vez, os centros das faces deste octaedro formado são vértices de outro cubo. Obtendo consecutivamente octaedros e cubos infinitamente, determine a razão da soma do volume de todos os poliedros inscritos pelo volume do cubo inicial.

Do enunciado, temos a figura abaixo:

                      

V_CUBO = a³

                        

No triângulo JMP, x² = (a/2)² + (a/2)² → x = a√2/2

V_IJKLM : Volume da pirâmide de base quadrada JKLM e vértice I.

V_OCTAEDRO  = 2. V_IJKLM  = 2 . 1/3 .x² . a/2 = ax²/3 = a(a√2/2)²/3 = a/3 . a².2/4

V_{OCTAE DRO}  = 1/6 .a³ → V_{OCTAE DRO}  = 1/6 . V_CUBO

Agora, observemos o octaedro e o cubo inscrito nele.

A1 é baricentro do triângulo IJM.

D₁ é baricentro do triângulo ILM.

Dessa forma, temos a figura abaixo :

                                 

No triângulo P₁Q₁M → (P₁Q₁)² = (x/2)² + (x/2)² → P₁Q₁ = x√2/4

Da semelhança entre os triângulos IP₁Q₁ e IA₁D₁

IA₁/IP₁ = y/P₁Q₁ → 2/3 = y/(x√2/2) → y = 2/3 . x√2/2 → y = x√2/3

Assim, o volume do cubo A₁ B₁ C₁ D₁ E₁ F₁ G₁ H₁ é dado por:

V _{A1 B1 C1 D1 E1 F1 G1 H1} = y³ → V = x³2√2/27 → V = 2√2 x/3

Mas, x = a√2/2, logo, V _{A1 B1 C1 D1 E1 F1 G1 H1} = 1/27 . (a√2/2)³ . 2√2        

V  = 1/27 . a³ .2√2 . 2√2 . 1/8 → V = 1/27 . a³ → V = 2/9 . (a³/6)

Então, o volume do cubo inscrito no octaedro equivale a 2/9 do volume do

octaedro. Dessa forma, sendo V o volume do primeiro cubo, temos:

Volume do primeiro octaedro: V/6

Volume do segundo cubo: 2/9 . V/6 = V/27

Volume do segundo octaedro: 1/6 . 2/9 . V/6 = V/162

Volume do terceiro cubo: 2/9 . 1/6 . 2/9 . V/6 = V/729

Volume do terceiro octaedro: 1/6 . 2/9 . 1/6 . 2/9 . V/6 = V/4374

........................................................................................................

........................................................................................................

........................................................................................................

Sendo r a razão pedida, temos:

r = [(V/6 + V/162 + V/4374 + ... ) + (V/27 + V/729 + ...)]/V

r = [V/6 + V/27)/(1 - 1/27)]/V → r = 11/52

Portanto o raio é igual a 11/52  

9. (Ime 2018)  reconsidere a elipse abaixo, onde DD' é uma corda passando pelo seu centro, MM' uma corda focal e o eixo maior da elipse é 2a. Prove que: DD'² = MM' .2a

                       

Do enunciado, temos:

                    

Sendo  x²/a² + y²/ b² = 1, onde F e F^' são os focos da elipse M, D, M' e D^'

são pontos da elipse.

Assim, MF + MF^' = 2a  e  M^'F + M^'F^' = 2a.

Sendo  MF = m  e MF + MF^' = 2a, então MF^' = 2a - m

No triângulo MF^'F, (2a - m)² = (2c)² + m² – 2.2c.m.cos(180⁰ - Ө)

4a² – 4am + m² = 4c² + m² – 4c.m.(- cos Ө)

4a² – 4am  = 4c² – 4c.m.(- cos Ө) → a² – am  = c² + c.m.cos Ө

a² – c²  = c.m.cos Ө + am → (a² – c²) = ( c.cos Ө + a) m

m = (a² – c²)/( c.cos Ө + a)

Como a² = b² + c² então a² – c² = b², logo, m = b²/( c.cos Ө + a)

Como  M^'F = n  e  M^'F + M^'F^' = 2a  então M^'F' = 2a - n

No triângulo M^'F^'F, (2a - n)² = (2c)² + n² – 2.2c.n.cosӨ

4a² – 4an + n² = 4c² + n² – 4c.n.cosӨ

4a² – 4c² =  4an – 4c.n.cosӨ (÷4) → a² – c² =  n(a – c.cosӨ)

n = b²/(a – c.cosӨ)

MM^' = [b². (a – c.cosӨ) + b². (a + c.cosӨ)/(a + c.cosӨ).(a – c.cosӨ)

MM^' = b²(a – c.cosӨ + a + c.cosӨ)/(a + c.cosӨ).(a – c.cosӨ)

MM^' = b²(a + a )/(a + c.cosӨ).(a – c.cosӨ)

MM^' = 2ab²/(a + c.cosӨ).(a – c.cosӨ) (eq. I)

Se CD = k, as coordenadas do ponto D são x_D = k.cosӨ e y_D = k.senӨ

Como D é um ponto da elipse, (k.cosӨ)²/a² +  (k.senӨ)²/b² = 1, então

k².cos² Ө/a² +  k².sen²Ө/b² = 1 → k²(cos² Ө/a² + sen²Ө/b²) = 1

k²(b². cos² Ө + a². sen²Ө) = a²b² → k² = a²b²/(b². cos² Ө + a². sen²Ө)

Como CD' = CD, logo, CD' = k. Então, DD^' = 2k → (DD^')²= 4k²

(DD^')² = 4a²b²/(b². cos² Ө + a². sen²Ө)

(DD^')² = 2a . 2ab²/(b². cos² Ө + a². sen²Ө)

(DD^')² = 2a . 2ab²/[(a² – c²).cos² Ө + a². sen²Ө)]

(DD^')² = 2a . 2ab²/(a²cos²Ө – c²cos² Ө + a². sen²Ө)

(DD^')² = 2a . 2ab²/[a² cos² Ө + a². sen²Ө -  c²cos² Ө + a². sen²Ө)]

(DD^')² = 2a . 2ab²/[a²(cos² Ө + sen²Ө) -  c²cos² Ө]

(DD^')² = 2a . 2ab²/(a² -  c²cos² Ө)

(DD^')² = 2a . 2ab²/(a + cosӨ).(a - cosӨ)   (eq. II)

Portanto das equações I e II, (DD^')² = MM^' .2a

10. (Ime 2018)  Considere um triângulo ABC onde BC = a, AB = c, AC = b,

c > b. O círculo inscrito a esse triângulo tangencia BC, em D e DE é um diâmetro desse círculo. A reta que tangencia o círculo e que passa por E intercepta AB em P e AC em Q. A reta AE intercepta BC no ponto R. Determine os segmentos de reta EQ e DR em função dos lados do triângulo: a, b e c.

Do enunciado, temos:

                         

G e F são, respectivamente, pontos de tangência entre os lados AC e AB

com a circunferência, como :

GC = CD = m ; AG = AF = b – m ; DB = BF = a – m ; AF = BF = AB + c

Então, b – m + a - m = c → b + a - c = 2m → m = (b + a - c)/2

Como a + b + c = 2p e AQ = b – m – x, então AQ = b – (b + a - c)/2 – x

AQ = (2b – b - a + c)/2 – x → AQ = (b - a + c)/2 – x → AQ = (2p - a - a)/2 – x

 AQ = (2p - 2a)/2 – x → AQ = p - a – x.

Como  AP = c - (a - m) – y  → AP = c - a + m – y .

AP = c - a + (b + a - c)/2 – y → AP = (2c - 2a + b + a - c)/2 – y.

AP = (2p - a - a)/2 – y → AP = (2p - 2a)/2 – y → AP = p - a – y.

Os triângulos AQP e ACB são semelhantes, pois QP // CB  e A é ângulo

comum aos dois triângulos.

Assim sendo,

AQ/AC = (p – a – x + p – a - y + x + y)/2p = (2p – 2a)/2p = (p - a)/p

(p – a - x)/b = (p - a)/p → (p – a - x) = (p - a).b/p → x = (p – a) - (p - a).b/p

x = (p – a).(p - b)/p → x = [(a + b + c)/2 - a). (a + b + c)/2 - b)]/(a + b + c)/2

x = [(b + c - a).(a + c - b)]/2(a + b + c)  

EQ = [(b + c - a).(a + c - b)]/2(a + b + c)  

Os triângulos AQE e ACR são semelhantes, pois QE // CR e A é ângulo

comum aos dois triângulos.

AQ/AC = x/CR → AQ.CR = x.AC → (p - a).b/p . CR = (p - a).(p - b).b/p.

Como CR = p – b  e  CR = m + DR, então p – b = (b + a - c)/2 + DR

(a + b + c)/2 - b = (b + a - c)/2 + DR → DR = c - b

Resposta: EQ = [(b + c - a).(a + c - b)]/2(a + b + c)  e DR = c - b