QUESTÕES VESTIBULAR IME 2018 - COMENTADAS

1. (Ime 2018)  João e Maria nasceram no século XX, em anos distintos. A probabilidade da soma dos anos em que nasceram ser 3875 é:

a) 2/99   

b) 19/2475   

c) 37/4950   

d) 19/825   

e) 19/485   

  

Resposta da questão 1: [C]

O espaço amostral Ώ é dado pelo total de pares ordenados (a, b), a ǂ b,

em que a e b, são, respectivamente, o ano do século XX em que João

nasceu e o ano do século XX em que Maria nasceu.

Assim, n(Ώ) = 100.99 = 9900

O evento A (a soma dos anos em que nasceram é 3875) é formado por

todas as soluções inteiras não negativas da equação a + b = 3875, com

a = 1901 + α e b = 1901 + β.

Então, 1901 + α + 1901 + β = 3875 → α + β = 73, n(A) = P₇₄⁷³ = 74!/73! = 74

Dessa forma, p(A) = n(A)/n(Ώ) = 74/9900 = 37/4950

  

  

2. (Ime 2018)  Se X e Y são números naturais tais que X² – Y² = 2017, o valor de X² + Y² é:

a) 2008010   

b) 2012061   

c) 2034145   

d) 2044145   

e) 2052061   

  

Resposta da questão 2:[C]

De X² – Y² = 2017 → (X + Y).(X - Y) = 2017

Como 2017 é primo, X e Y são números naturais, x > Y  e

(X + Y).(X - Y) = 2017, portanto (i) : X + Y = 2017 e X – Y = 1 ou

(ii) : X - Y = 2017 e X + Y = 1.

De (i), 2X = 2018 → X = 1009 e Y = 1008

De (ii), 2X = 2018 → X = 1009 e Y = - 1008

Como X, Y ɛ N, então Y = - 1008 não apresenta solução.

Logo, X = 1009 e Y = 1008 ou seja, X² + Y² = 2034145  

3. (Ime 2018)  A soma dos algarismos de X com a soma dos quadrados dos algarismos de X é igual a X. Sabe-se que X é um número natural positivo. O menor X possível está no intervalo:

a) (0, 25]   

b) (25, 50]   

c) (50, 75]   

d) (75, 100]   

e) (100, 125]   

  

Resposta da questão 3: [D]

Do enunciado, temos:

X = a_n . a_n-1.a_n-2 ... a₃.a₂.a₁.a₀, 0 ≤ a₁ ≤ 9, 0 ≤ i ≤ n.

X = a₀ . 10⁰ + a₁. 10¹ + a₂. 10² + ... + a_n-1 . 10^n-1 + a_n . 10ⁿ

a₀  + a₁  + a₂ + ... + a_n-1  + a_n  + a₀²  + a₁²  + a₂² + ... + a_n-1²  + a_n ² =  a₀ . 10⁰ +

+ a₁. 10¹ + a₂. 10² + ... + a_n-1 . 10^n-1 + a_n . 10ⁿ

a₁ .(10 – 1 – a₁) + a₂ .(10² – 1 – a₂) + ... + a_n-1 .(10^n-1 – 1 – a_n-1) +

+ a_n .(10ⁿ – 1 – a_n ) – a₀² = 0

Então,

a₁ .(10 – 1 – a₁) = 0 → a₁ = 0 ou (10 – 1 – a₁) = 0 → a₁ = 9

a₂ .(10² – 1 – a₂) = 0 → a₂  = 0 ou (10² – 1 – a₂) = 0

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

a_n-1 .(10^n-1 – 1 – a_n-1) = 0 → a_n-1 = 0 ou (10^n-1 – 1 – a_n-1) = 0             

a_n .(10ⁿ – 1 – a_n ) = 0 → a_n  = 0 ou (10ⁿ – 1 – a_n ) = 0

a₀² = 0 → a₀ = 0

Portanto, X = 90 → 75 < X < 100

  

4. (Ime 2018)  Sejam x₁, x_2, x₃  e x₄ os quatro primeiros termos de uma P.A. com x₁ = x e razão r, com x, r ɛ R. O determinante de, é

                                               

a) 0   

b) x⁴.r   

c) x⁴.r³      

d) x.r⁴      

e) x.r³      

  

Resposta da questão 4: [E]

Do enunciado, temos:

                     

                            

                               

Então, det A = x.r³.1 = xr³

5. (Ime 2018)  Seja f(x) uma função definida nos conjunto dos números reais, de forma que f(1) = 5 e para qualquer x pertencente aos números reais f(x + 4) ≥ f(x) + 4 e f(x + 1) ≤ f(x) + 1.

Se g(x) = f(x) + 2 – x, o valor de g(2017) é:

a) 2   

b) 6   

c) 13   

d) 2021   

e) 2023   

  

Resposta da questão 5:[B]

Da desigualdade f(x) + 1 ≥ f(x + 1), f(x + 1) + 1 ≥ f(x + 2),

f(x + 2) + 1 ≥ f(x + 3), f(x + 3) + 1 ≥ f(x + 4).

● Das desigualdades f(x) + 1 ≥ f(x + 1) e f(x + 1) + 1 ≥ f(x + 2),

f(x + 2) ≤ f(x) + 2.

● Das desigualdades f(x + 2) ≤ f(x) + 2 e f(x + 2) + 1 ≥ f(x + 3),

f(x + 3) ≤ f(x) + 3.

● Das desigualdades f(x + 3) ≤ f(x) + 3 e f(x + 3) + 1 ≥ f(x + 4),

f(x + 4) ≤ f(x) + 4.

                                  

● Das desigualdades f(x + 4) ≤ f(x) + 4 e f(x + 4) ≥ f(x + 4),

f(x + 4) = f(x) + 4.

De f(x + 4) = f(x) + 4,

f(1 + 4) = f(1) + 4 → f(5) = f(1) + 4 → f(5) = 9

f(5 + 4) = f(5) + 4 → f(9) = f(5) + 4 → f(9) = 13

f(9 + 4) = f(9) + 4 → f(13) = f(9) + 4 → f(13) = 17

..........................................................................

..........................................................................

...........................................................................

Note que a sequência f(1) = 5, f(5) = 9, f(9) = 13, f(13) = 17, ... é uma

progressão aritmética, assim como a sequência 1, 5, 9 13, ... também é

uma progressão aritmética.

Na PA 1, 5, 9, 13, ... temos: 2017 = 1 + (n - 1).4 → n = 505

Assim, na PA f(1) = 5, f(5) = 9, f(9) = 13, f(13) = 17, ...

f(2017) = 5 + (505 - 1).4 = 2021

Portanto, g(2017) = f( 2017) + 2 – 2017 = 2021 + 2 – 2017 → f(2017) = 6  

6. (Ime 2018)  Considere as alternativas:

I. O inverso de um irracional é sempre irracional.

II. Seja a função f : A → B e X e Y dois subconjuntos quaisquer de A, então f(X ∩ Y) = f(X) ∩ f(Y).

III. Seja a função f : A → B e X e Y dois subconjuntos quaisquer de A, então f(X U Y) = f(X) U f(Y).

IV. Dados dois conjuntos A e B não vazios, então A ∩ B = A se, e somente se, B está contido em A.

Obs.: f(Z) é a imagem de f no domínio Z.

São corretas:

a) I, apenas.    

b) I e III, apenas.   

c) II e IV, apenas.   

d) I e IV, apenas.    

e) II e III, apenas.    

  

Resposta da questão 6:[B]

Análise da afirmação [I]:

Seja α um número irracional.

Suponhamos que 1/α seja racional, ou seja, 1/α = a/b , com a e b inteiros e

primos entre si. De 1/α = a/b, α = b/a.

Note que b/a é um número racional, o que é absurdo, pois, por hipótese, α

é irracional.

Portanto, 1/α é irracional, o que torna a afirmação I verdadeira.

Análise da afirmação [II]:

Consideremos o seguinte contraexemplo:

                           

X = {4, 5}, Y = {5, 6} e X ∩ Y = {5}.

f(X) = {7, 8}, f(Y) = {7, 8}, f(X ∩ Y) = {8}, f(X) ∩ f(Y) = {7, 8},

Como f(X) ∩ f(Y) ǂ f(X ∩ Y,) ∩ f(Y) a afirmação II é falsa.

Análise da afirmação [III]:

(I) Para qualquer  a ɛ (X U Y), f(a) ɛ f(X U Y).

   

Dessa forma, a ɛ X ou a ɛ Y → f(a) ɛ f(X) ou f(a) ɛ f(Y)

f(a) ɛ f(X) ou f(a) ɛ f(Y) → f(a) ɛ f(X U Y)  

f(X U Y) está contido em f(X) U f(Y).

(II) Para qualquer b ɛ (f(X) U f(Y)), b ɛ f(x) ou b ɛ f(y)

Então, existe a ɛ X ou a ɛ Y tal que f(a) = b.

Portanto, b ɛ f(X U Y) → f(X) U f(Y) está contido em f(X U Y)

De (I) e de (II), f(X U Y) = f(X) U f(Y).

Assim, a afirmação [III] é verdadeira.

Análise da afirmação [IV]:

Consideremos o seguinte contraexemplo: A = ø e B = {3}

A ∩ B = ø e B não está contido em A

Assim, a afirmação IV é falsa.

Dessa forma, somente as afirmações [I] e [III] são verdadeiras.   

7. (Ime 2018)  Seja x um número natural maior que 2. Se a representação de um numeral N na base x é 1041 e na base x - 1 é 1431, então a sua representação na base binária é:

a) 10001111   

b) 11011011   

c) 11100111   

d) 11011110   

e) 11110001   

Resposta da questão 9:[E]

Do enunciado, temos: x ɛ N, x > 2.

(I) N_x = 1041 = 1.x³ + 0.x² + 4.x¹ + 1.x⁰ = x³ + 4x + 1

(II) N_{x – 1}  = 1431 = 1.(x - 1)³ + 4.(x - 1)² + 3.(x - 1)¹ + 1.(x - 1)⁰ = x³ + x² - 2x + 1

De (I) e  (II), x³ + 4x + 1 = x³ + x² - 2x + 1 → x² – 6x = 0 →x' = 0(?) ou x'' = 6

Então, N = 6³ + 4.6 + 1 → N = 241

Note que:

241 = 128 + 64 + 32 + 16 + 1 e

241 = 1.2⁷ + 1.2⁶ + 1.2⁵ + 1.2⁴ + 0.2³ + 0.2² + 0.2¹ + 1.2⁰

Portanto, N₂ = 11110001