DÚVIDA QUESTÃO VESTIBULAR DA BAHIANA DE MEDICINA 2014.1 (Postada no Blog em 01/05/2014)

Duas pessoas mantém uma longa amizade feita através de um site de relacionamento, mas não se conhecem pessoalmente. Como vivem em cidades C₁ e C₂, a milhares de quilômetros de distância, optaram por se encontrar em uma terceira cidade C₃ equidistante C₁ e C₂. Se as três cidades forem representadas por pontos de um plano cartesiano, sendo C₁=(0,0), C₂=(5/2,0) e C₃ um ponto pertencente à reta de equação 15y+8x=20, então cada pessoa deverá percorrer uma distância, em km, aproximada de :

      a)     1417

      b)    1440    

      c)     1463

      d)    1486        

      e)     1509

                                              

                                                                                                    

                                                                                                                        

A reta 15y + 8x = 20 → 15y = - 8x + 20 → y = - 8x/15 + 4/3 corta o eixo y

em  (0,4/3) e o eixo x em (5/2,0).

A condição do problema é que d_C1C3 = d_C2C3 , então :

√[(x₃ – x₁)² + (y₃ – y₁)²] = √[(x₃ – x₂)² + (y₃ – y₂)²], elevando ao quadrado

(x₃ – x₁)² + (y₃ – y₁)² = (x₃ – x₂)² + (y₃ – y₂)², substituindo as coordenadas

(x – 0)² + (y – 0)² = (x – 5/2)² + (y – 0)² → x² + y² = (x – 5/2)² + y² →

x² = x² – 2.x.5/2 + 25/4 → - 5x + 25/4  = 0 → - 5x = -25/4 → x = 5/4

y = (- 8/15)x + 4/3 = (- 8/15)(5/4) + 4/3 = -40/60 + 4/3 = -2/3 + 4/3 → y = 2/3

Portanto C₃ ( 5/4 , 2/3).

Finalmente a distância percorrida por cada um será :

d_{C1C3 =} √[(x₃ – x₁)² + (y₃ – y₁)²] = √[(5/4 – 0)² + (2/3 – 0)²] = √(25/16 + 4/9) =

√(225 + 64)/144 = √289/144 = 17/12 = 1,417 milhares de km = 1417 km