QUESTOES VESTIBULAR UEFS 2017.2 - COMENTADAS

1.A figura indica uma reta numérica real. Nela, riscos verticais

adjacentes estão igualmente espaçados, e as duas bolinhas,

correspondentes aos números reais representados por x e y,

estão localizadas no meio do caminho entre riscos verticais

adjacentes.

Nas condições descritas, a diferença x – y é igual a :

(A) 5/4

(B) 3/4

(C) 11/8        QUESTÃO ANULADA

(D) 4/5

(E) 6/5

Vejamos :

Observando o eixo real podemos concluir que o espaço entre dois   

traços consecutivos  mede (11/13 - 2/3) = (33/39 - 26/39) = 7/39, então

após 11/13, teremos 11/13 + 7/39 = 40/39 e após 40/39, teremos 40/39 +

7/39 = 47/39.

Agora, antes de 2/3, teremos 2/3 - 7/39 = 19/39, antes de 19/39, teremos

19/39 - 7/39 = 12/39 e antes de 12/39, 12/39 - 7/39 = 5/39.

 

          

Como x e y são pontos médios, então x = 40/39 + (7/39)/2 = 40/39 + 7/78 →

x = 87/78 e y = 5/39 + (7/39)/2 = 5/39 + 7/78 → y = 17/78.

Finalmente  x – y = 87/78 - 17/78 = 70/78 = 35/39

Note : outra maneira de resolver seria imaginar uma PA, onde a₁ = y, 

razão r = (11/13 - 2/3)/2 = (33/39 - 26/39)/2 = 7/78 e a₁₁ = x.

Assim sendo, a₆ = 2/3 = a₁ + 5r → 2/3 = a₁ + 5.7/78 → 2/3 - 35/78 = a₁  →    

52/78 - 35/78 = a₁  → a₁ = 17/78 → y = 17/78.

Portanto x = a₁₁ = a₁ + 10r = 17/78 + 10.7/78 → x = 87/78   

Finalmente  x – y = 87/78 - 17/78 = 70/78 = 35/39

2. A figura mostra dois triângulos desenhados em uma malha

quadriculada de pontos. As distâncias horizontais e verticais

entre os pontos adjacentes dessa malha são, ambas, iguais

a 1 cm.

Nessa figura, a área da região destacada em azul é igual a :

(A) 1,60 cm².

(B) 1,50 cm².

(C) 1,75 cm².

(D) 1,40 cm².

(E) 1,25 cm²

Vejamos :

Observando a figura, podemos notar que a área em azul é a diferença

entre a área de um triângulo, de base e altura medindo 2 cm, e o

paralelogramo de base 0,5 cm e altura 1 cm, ou seja :

A_Azul = A_Triangulo – A_{Paralelogramo} = b.h/2 – b.h = 2.2/2 – 0,5.1 = 2 – 0,5 = 1,5 cm²

3. As medidas dos ângulos internos de um triângulo, em graus,

são números inteiros positivos iguais a α, β e γ. Sabendo-se

que α < β < γ, o menor valor possível de γ é :

(A) 61º

(B) 42º

(C) 89º

(D) 91º

(E) 93º

Vejamos :

Como os números inteiros positivos α, β e γ, são ângulos internos de  um

triângulo então α + β + γ = 180⁰.

Como α < β < γ , então γ necessariamente deverá ser maior que 60⁰,

cabendo como menor valor possível 61⁰ .

4. Ana, Bianca e Carolina compraram uma mesma mercadoria,

na mesma loja. As condições de pagamento incluem certa

porcentagem de desconto para pagamento à vista. Também

incluem isenção da taxa fixa de entrega em domicílio para

quem retira a mercadoria na própria loja.

A tabela a seguir indica as opções de compra feitas individualmente

pelas mulheres e o valor total pago por elas.

                   Compra    Compra    Retirada    Entrega         Total

                    à vista     a prazo      na loja    em domicílio

Ana                  X                                                   X             R$ 97,00

Bianca                              X                                  X             R$ 101,10

Carolina                            X              X                                 R$ 86,10

Analisando a tabela, o valor do desconto dado pela loja para

pagamento à vista corresponde a uma porcentagem do preço

à vista da mercadoria igual a :

(A) 4,8%.

(B) 5,4%.

(C) 5,0%.

(D) 6,0%.

(E) 5,7%

Vejamos :

Ana → compra à vista(x) + entrega em domicílio(y) → x + y = 97(eq. I)

Bianca → compra prazo(z) + entrega em domicílio(y) → z + y = 101,1(eq.II)

Carolina → compra a prazo(z) + retirada na loja(t) → z + t = 86,1(eq.III)

Substituindo eq.II em eq.III → 101,1 - y + t = 86,1 → y - t  =  15

y = R$ 15,00 → taxa de entrega

x = 97 – 15 → x = R$ 82,000 → preço à vista

z = 101,1 – 15 → z = R$ 86,10 →  preço a prazo

Portanto :

z – i% de z  = x  → (1 – i%)z = x → 1 – i% = x/z → i% = 1 - x/z →

i% = 1 - 82/86,1 → i% = 1 – 0,95238 → i% = 0,0476 → i = 4,8%

5. Observe a sequência numérica em que um número 9 separa

cada grupo de números 1, e cada grupo de números 1 contém

um número 1 a mais do que o grupo anterior.

                      (1, 9, 1, 1, 9, 1, 1, 1, 9, 1, 1, 1, 1, 9, ....)

A soma de todos os termos anteriores ao 99o número 9 dessa

sequência é igual a :

(A) 5 733.

(B) 6 030.

(C) 5 841.

(D) 5 931.

(E) 5 832.

Vejamos :

Analisando a sequência (1, 9, 1, 1, 9, 1, 1, 1, 9, 1, 1, 1, 1, 9, ... ) podemos

observar que antes do 1⁰ número 9 existe um 1, antes do 2⁰ número 9

existem dois 1, antes do 3⁰ número 9 existem três 1, e assim

sucessivamente.

Portanto antes do 99⁰ número 9 existirão noventa e nove 1.

Como a questão pede a soma dos números da sequência, anteriores ao

99⁰ número 9, então teremos :

● 98 números 9 → 98x9 = 882 

●(1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99) PA de razão 1, que representam as somas dos

números 1 → S₉₈ = (a₁ + a₉₉).99/2 = (1 + 99).99/2 = 4950  

Finalmente a soma pedida será 882 + 4950 = 5832

6. Analise a representação gráfica de uma função polinomial do

1^o grau e de uma função do 2^o grau, indicadas na figura.

Na situação descrita, (f o g)(–1) = f(g(–1)) é igual a :

(A) –2.

(B) –3.

(C) –3,5.

(D) 2,5.

(E) 3.

Vejamos :

Analisando o gráfico podemos afirmar que :

● f(x) = ax + b, contém os pontos (0, - 3) → - 3 = a.0 + b → b = - 3 e (5, -1) → 

- 1 = a.5 - 3 → a = 2/5, portanto a função f(x) = 2x/5 – 3.

● g(x) = ax² + bx + c, contém os pontos (0, - 1)→ - 1 = a.0² + b.0 + c→

c = - 1 ;  (-1, 0) → 0 = a(-1)² + b(-1) – 1 → a – b = 1 e (1, 0) →

0 = a.1² + b.1 – 1 → a + b = 1  

Resolvendo o sistema por adição obtemos a = 1 e b = 0, portanto

a função g(x) = x² – 1.

Finalmente fog(-1) = f(g(-1)) = f(0) = - 3

7. A equação geral da reta que passa pelo ponto de coordenadas

(5, 1) e divide a circunferência de equação (x – 8)² + y² = 25

em duas semicircunferências é :

(A) x – 3y + 8 = 0.

(B) 3x – y – 8 = 0.

(C) 3x + y – 8 = 0.

(D) x + 3y – 8 = 0.

(E) 3x – y + 8 = 0.

Vejamos :

A equação da reta, y = ax + b que passa pelo ponto (5, 1), é tal que

 1 = 5a + b.

Se esta reta divide a circunferência (x - 8)² + y² = 25 em duas

semicircunferências, então contém seu centro C(8, 0), ou seja

C(8, 0) ɛ y = ax + b → 0 = 8a + b.

Resolvendo o sistema obtemos 1 = 5a – 8a → 1 = - 3a → a = -1/3 e b = 8/3,

portanto y = -x/3 + 8/3 → 3y = - x + 8 → x + 3y – 8 = 0

8. Sabendo que uma das raízes da equação algébrica

x³ – 15x² + 73x – 115 = 0 é um número inteiro entre 2 e 20,

a maior raiz dessa equação é igual a :

(A) 5 + √2

(B) 4 + √3

(C) 2 + √15

(D) 15 + √3

(E) 6 - √2

Vejamos :

Se uma das raízes, da equação x³ – 15x² + 73x – 115 = 0 é um número inteiro entre 2 e 20, então será um divisor relativo de -115, ou seja ± 5 e ± 23.

Por tentativas: x = 5 , x = - 5 , x = 23 , x = - 23, observamos de imediato que

para x = 5 → 5³ – 15.5² + 73.5 – 115 = 0 → 125 – 375 + 365 – 115 = 0 →

490 – 490 = 0, portanto 5 é uma das 3 raízes.

Agora através do dispositivo prático de  Briot-Ruffini, vem :

                        

portanto x² – 10x + 23 = 0 → x = (10 ± √100-4.1.23)/2 → x = (10 ± √8)/2 →

x = (10 ± 2√2)/2 → x = 5 ± √2 → x = 5 - √2  ou x = 5 + √2.

Finalmente a maior raíz é 5 + √2.

9. Renato possui apenas duas moedas de 50 centavos, três

notas de 2 reais e duas notas de 5 reais. Usando seu

dinheiro, ou parte dele, Renato pode pagar diversos valores

diferentes de contas sem a necessidade de receber troco.

O total de valores diferentes de contas que ele pode pagar

sem receber troco é igual a :

(A) 25.

(B) 26.

(C) 29.

(D) 27.

(E) 28.

 Vejamos :

Com duas moedas de 50 centavos, três notas de 2 reais e duas notas de

5 reais, poderemos formar usando os sete valores ou parte, as quantias :

● com os 7 valores → 0,50; 0,50; 2; 2; 2; 5; 5 → R$ 17,00

● com os 6 valores → 0,50; 0,50; 2; 2; 2; 5 → R$ 12,00

● com os 6 valores → 0,50; 0,50; 2; 2; 5; 5 → R$ 15,00

● com os 6 valores → 0,50; 2; 2; 2; 5; 5 → R$ 16,50

● com os 5 valores → 0,50; 0,50; 2; 2; 2 → R$ 7,00

● com os 5 valores → 0,50; 0,50; 2; 2; 5 → R$ 10,00

● com os 5 valores → 0,50; 0,50; 2; 5; 5  → R$ 13,00

● com os 5 valores → 0,50; 2; 2; 2; 5  → R$ 11,50

● com os 5 valores → 0,50; 2; 2; 5; 5  → R$ 14,50

● com os 4 valores → 0,50; 0,50 ; 2; 2 → R$ 5,00

● com os 4 valores → 0,50; 0,50; 2; 5 → R$ 8,00

● com os 4 valores → 0,50; 0,50; 5; 5 → R$ 11,00

● com os 4 valores → 0,50; 2; 2; 2 → R$ 6,50

● com os 4 valores → 0,50; 2; 2; 5 → R$ 9,50

● com os 4 valores → 0,50; 2; 5; 5 → R$ 12,50

● com os 4 valores → 2; 2; 2; 5 → R$ 11,00 (repetido)

● com os 4 valores → 2 ; 2; 5; 5 → R$ 14,00

● com os 3 valores → 0,50; 0,50; 2 → R$ 3,00

● com os 3 valores → 0,50; 0,50; 5 → R$ 6,00

● com os 3 valores → 0,50; 2; 2 → R$ 4,50

● com os 3 valores → 0,50; 2; 5 → R$ 7,50

● com os 3 valores → 0,50; 5; 5 → R$ 10,50

● com os 3 valores → 2; 2; 2 → R$ 6,00 (repetido)

● com os 3 valores → 2; 2; 5 → R$ 9,00

● com os 3 valores → 2; 5; 5 → R$ 12,00 (repetido)

● com os 2 valores → 0,50; 0,50 → R$ 1,00

● com os 2 valores → 0,50; 2 → R$ 2,50

● com os 2 valores → 0,50; 5 → R$ 5,50

● com os 2 valores → 2; 2 → R$ 4,00

● com os 2 valores → 2; 5 → R$ 7,00 (repetido)

● com os 2 valores → 5; 5 → R$ 10,00 (repetido)

● com os 1 valor → 0,5 → R$ 0,50

● com os 1 valor → 2 → R$ 2,00

● com os 1 valor → 5 → R$ 5,00

Total de 29 valores diferentes.

10. A figura mostra um hexágono regular ABCDEF de lado igual

a 4 cm. M e N são pontos médios de AF e BC , respectivamente.

A reta tracejada MN é um eixo de simetria do hexágono

ABNGHM.

A área da região destacada na figura é igual a :

(A) 15√3 cm²

(B) 18√3 cm²

(C) 16√3 cm²

(D) 14√3 cm²

(E) 20√3 cm²

Vejamos :

Cálculo da área do hexágono regular ABCDEF de lado 4 cm → A =

6.a²√3/4 →A = 6.4².√3/4 → A = 24√3 cm².

Cálculo da área do hexágono irregular ABNGHM, equivalente ao dobro da

área do trapézio ABNM.

   

Note que como o ângulo FAB mede 120⁰, interno de um hexágono regular,

então o ângulo MAP mede 30⁰.

Portanto, sen 30⁰ = x/2 = 1/2 → x = 1 cm e cos 30⁰ = y/2 = √3/2 → y = √3 cm.

Como a área de ABNGHM = 2.ABNM = 2.(B _maior + b _menor).altura/2 =

2.(2x + 4 + 4).√3/2 = (2 + 4 + 4).√3 = 10√3 cm²

A área da região assinalada será igual a diferença entre as áreas do

hexágono ABCDEF e o hexágono ABNGHM = 24√3 - 10√3 = 14√3 cm²

11. Um cubo de aresta igual a 6 cm foi totalmente perfurado entre

duas faces opostas. A forma do furo é a de um paralelepípedo

reto-retângulo de bases quadradas de lado igual a 2 cm, como

mostra a figura.

Se o custo para pintar totalmente esse cubo perfurado com

uma tinta especial é de R$ 0,05 por cm², então o valor total

gasto nessa pintura será igual a :

(A) R$ 10,60.

(B) R$ 12,80.

(C) R$ 12,20.

(D) R$ 10,40.

(E) R$ 13,20.

Vejamos :

Cálculo da área lateral do cubo = 4.6² = 144 cm²

Cálculo da área das duas faces perfuradas do cubo  = 2.(6² - 2²) =

2(36 - 4) =  64 cm²

Cálculo da área lateral perfurada do cubo  = 4.(2.6) = 48 cm²

Cálculo da área a ser pintada 144 + 64 + 48 = 256 cm²

Custo total da pintura 256. 0,05 = R$ 12,80

12. Paulo possui um carro que faz 12 km por litro de gasolina à

velocidade média de 90 km/h. Quando o tanque de seu carro

estava com 34 litros de gasolina, Paulo iniciou uma viagem

percorrendo as primeiras 4 horas à velocidade média de

90 km/h. Seja f(t) o total de litros de gasolina no tanque do

carro de Paulo durante t horas dessa viagem, com 0 ≤ t ≤ 4.

Apenas com os dados apresentados, um modelo apropriado

para a função f é :

(A) f(t) = 34 - t

(B) f(t) = 34 - 90t/12

(C) f(t) = (14 - 12t)/90

(D) f(t) = (14 – 90t)/12

(E) f(t) = 34 - 12t/90

Vejamos :

Sendo f(t) a função que relaciona o total de litro de combustível no tanque

em t horas, com 0 ≤ t ≤ 4.

Com 34 litros inicialmente, a 90 km/h e um consumo de 12 km/litro, a

função em destaque será f(t) = 34 – 90t/12.

Repare que, para t = 0 hora → f(t) = 34 litros e para t = 4 horas →

f(4) = 34 - 90.4/12 = 4 litros.

13. Uma escada reta está apoiada em uma parede, em um ponto

a h metros do chão. O ângulo formado entre a escada e o chão

é igual a αº. P é um ponto na escada que está a k metros da

parede.

                  

Considerando que a parede e o chão estejam em planos perpendiculares,

a distância, em metros, que o ponto P está do chão é igual a :

(A) (h – k) cos αº

(B) h – k sen αº

(C) (h – k) sen αº

(D) h – k tg αº

(E) (h – k) tg αº

Vejamos :

 

 

Observando a figura podemos definir que tg α⁰ = h/x = d/(x - k)

x = h/tg α⁰  e  x – k = d/tg α⁰ → h/tg α⁰  – k = d/tg α⁰ → d = h – k tg α⁰ 

14. Em uma festa com 50 meninas e 50 meninos, todas as meninas cumprimentaram todos os meninos com um beijo, e todas as meninas cumprimentaram-se entre si, também com um beijo. Nenhum menino cumprimentou outro menino com um beijo. Sendo assim, o número de beijos de cumprimentos que foram dados nessa festa foi :

(A) 3 725.

(B) 3 840.

(C) 4 280.

(D) 4 840.

(E) 2 475.

Vejamos :

Numa festa com 50 meninos e 50 meninas, toda menina cumprimenta

toda menina e  todo menino, e todo menino cumprimenta somente toda

menina, então qtos cumprimentos foram dados na festa ?

Menina cumprimenta menina → C_50,2 = 50!/(50-2)!.2! = 50.49.48!/48!.2 =

50.49/2 = 1225.

Menina cumprimenta menino → 50.50 = 2500

Total de cumprimentos → 1225 + 2500 = 3725

15. Os valores reais positivos de p e q para os quais a equação

logarítmica log (8x³ + 4x² – 2x – 1) = log (2x – 1) + 2 log (px + q)

existe e tem solução real são :

(A) p = 2 e q = 1/2

(B) p = 1/2 e q = 2

(C) p = 2 e q = 1

(D) p = 1 e q = 1/2

(E) p = 2 e q = 2

Vejamos :

Para que a equação log (8x³ + 4x² - 2x - 1) = log (2x - 1) + 2log (px + q),

exista e tenha solução real.

log (8x³ + 4x² - 2x - 1) = log (2x - 1) + log (px + q)²

log (8x³ + 4x² - 2x - 1) = log (2x - 1).(px + q)²

8x³ + 4x² - 2x - 1 = (2x - 1).(px + q)² 

8x³ + 4x² - 2x - 1 = (2x - 1).(p²x² + 2pxq + q²)

8x³ + 4x² - 2x - 1 = 2p²x³ + 4px²q + 2q²x - p²x² - 2pxq - q²

8x³ + 4x² - 2x - 1 = 2p²x³ + (4pq - p² )x² + (2q² - 2pq)x - q²

Por identidade de polinômios, 8 = 2p² → p² = 4 → p = ± 2 → p = 2  e

- 1 = - q² → q² = 1 → q = ± 1 → q = 1