QUESTÕES VESTIBULAR FUVEST 2018 - TIPO ANALÍTICA - COMENTADAS

1. (Fuvest 2018)  Considere a sequência a₁ = 6, a₂ = 4, a₃ = 1, a₄ = 2 e

a_n = a_{n - 4} para n ≥ 5. Defina S_n^k = a_n + a_n+1  + ... + a_{n + k} para k ≥ 0 isto é,

S_n^k é a soma de k + 1 termos consecutivos da sequência começando

do n-ésimo, por exemplo, S₂¹ = 4 + 1 = 5.

a) Encontre n e k tal que S_n^k = 20.

b) Para cada inteiro j, 1 ≤ j ≤ 12, encontre n e k tal que S_n^k = j.

c) Mostre que, para qualquer inteiro j, j ≥ 1, existem inteiros n ≥ 1 e k ≥ 0 tais que S_n^k = j.

                          Resposta da questão 1:

 a) A sequência a_n é igual a (6, 4, 1, 2, 6, 4, 1, 2, ...). Logo, é fácil ver que a_n

   

   é periódica. Ademais, teremos S_nk = 20 sempre que tomarmos a

   subsequência de termos consecutivos (4, 1, 2, 6, 4, 1, 2,).  

Portanto, o menor valor de n para o qual ocorre S_nk = 20  é 2, com k = 6

(pois a subsequência possui sete termos).

b) ●Se j = 1, então S_nk = 1 → a_3+4α = 1, com α ɛ N, logo n = 3 + 4α e k = 0.

 

    ●Se j = 2, então S_nk = 2 → a_4+4α = 2, com α ɛ N, logo n = 4 + 4α e k = 0.

    ●Se j = 3, então S_nk = 3 → a_3+4α + a_4+4α = 3, com α ɛ N, logo n = 3 + 4α

      e k = 1.

    ●Se j = 4, então S_nk = 4 → a_2+4α = 4, com α ɛ N, logo n = 2 + 4α e k = 0

    ●Se j = 5,então S_nk = 5 → a_2+4α + a_3+4α  = 5, com α ɛ N, logo n = 3 + 4α

     e k = 0.

   ● Se j = 6, então S_nk = 6 → a_1+4α = 6, com α ɛ N, logo n = 1 + 4α e k = 0.

    ●Se j = 7, então S_nk = 7 → a_2+4α  + a_3+4α + a_4+4α = 7,  com α ɛ N, logo

      n = 2 + 4α e k = 2.

    ●Se j = 8, então S_nk = 8 → a_4+4α + a_5+4α = 8, com α ɛ N, logo n = 4 + 4α e

     k = 1.

    ●Se j = 9, então S_nk = 9 → a_3+4α  + a_4+4α + a_5+4α = 9, com α ɛ N, logo

    n = 3 + 4α e k = 2.

    ●Se j = 10, então S_nk = 10 → a_1+4α + a_2+4α = 10, com α ɛ N, logo n = 1 + 4α

    e k = 1.

    ●Se j = 11, então S_nk = 11 → a_1+4α + a_2+4α + a_3+4α = 11, com α ɛ N, logo

    n = 1 + 4α e k = 2.

    ●Se j = 12, então S_nk = 12 → a_4+4α + a_5+4α + a_6+4α = 12, com α ɛ N, logo

     n = 4 + 4α e k = 2.

c) Sabendo que a sequência é periódica, com a_n + a_n+1 + a_n+2 + a_n+3 = 13,

para todo n inteiro positivo, podemos escrever S_n^k = 13q + r, com n ≥ 1,

k ≥ 0, r ɛ N  e r ≤ 12. Portanto, pelo item (b) e sabendo que todo inteiro

positivo j pode ser escrito sob a forma 13.q + r segue o resultado.  

  

2. (Fuvest 2018)  Considere a função real definida por

                 f(x) = √( x - 1/x) + √( 1 - 1/x) – x.

a) Qual é o domínio de f ?

b) Encontre o(s) valor(es) de x para o(s) qual(is) f(x) = 0.

                         Resposta da questão 2:
 

a) O maior subconjunto dos números reais para o qual a função f está

    definida é tal que :

● x - 1/x ≥ 0 → (x² - 1)/x ≥ 0 → (x - 1)(x +1)/x ≥ 0 → -1 ≤ x < 0 ou x ≥ 1

● 1 - 1/x ≥ 0 →(x - 1)/x ≥ 0  → x < 0 ou x ≥ 1

Então (-1 ≤ x < 0 ou x ≥ 1)  ∩  (x < 0 ou x ≥  1) = -1 ≤ x < 0 ou x ≥ 1

Portanto, temos D_f = [-1, 0[ U [1, ∞[.

b) Sendo x ǂ 0;√(x -1/x) ≥ 0 e √(1 - 1/x) ≥ 0,   podemos concluir que a

 igualdade √(x -1/x) + √(1 - 1/x) – x = 0 se verifica apenas se x for positivo.

Logo, vem √(x -1/x) = x - √(1 - 1/x) → [√(x -1/x)]² = [x - √(1 - 1/x)]² →

x -1/x = x² – 2x√(1 - 1/x) + 1 - 1/x → 2√(x² - x) = x² – x + 1

fazedo x² – x = y , obtemos 2√y = y + 1 → 4y = y² + 2y + 1 → y² - 2y + 1 = 0

∆ = 0 → y = 1 → x² – x = 1 → x² – x -1 = 0 →x = (1 + √5)/2, pois x > 0.

Fazendo a verificação, temos

             

A resposta é x = (1 + √5)/2  

  

3. (Fuvest 2018)  Em uma competição de vôlei, estão inscritos 5 times.

Pelo regulamento, todos os times devem se enfrentar apenas uma vez e,

ao final da competição, eles serão classificados pelo número de vitórias.

Dois ou mais times com o mesmo número de vitórias terão a mesma

classificação. Em cada jogo, os times têm probabilidade 1/2 de vencer.

a) Explique por que 2 times não podem empatar na classificação com  vitórias cada um.

b) Qual é a probabilidade de que o primeiro classificado termine a competição com 4 vitórias?

c) Qual é a probabilidade de que os 5 times terminem empatados na classificação?  

  

                       Resposta da questão 3:
 

a) Cada time fará 5 – 1 = 4  jogos e, portanto, se um time possui quatro

    vitórias não pode haver outro time com o mesmo número de vitórias, já

    que todos os outros possuem no mínimo uma derrota.

b) Se a probabilidade de vencer um jogo é 1/2 então a probabilidade de

    perder é 1 - 1/ = 1/2. Logo, a probabilidade de que um time qualquer

    vença quatro jogos é dada por C_4,4 .(1/2)⁴.(1/2)⁰ = 1/16.

 

    Ademais, como dois times não podem terminar a competição com     

   

   quatro vitórias, segue que a resposta é 5 . 1/16 = 5/16.

c) Sejam A, B, C, D e E os times. Desde que o número total de jogos é

    C_{5, 2} = 5!/!3! = 10, necessariamente haverá 10 vitórias. Logo, cada time

   deve vencer dois jogos e perder dois jogos.  

A probabilidade do time A ter exatamente duas vitórias é dada por

  

   C_4,2 .(1/2)².(1/2)² = 3/8.

 

   Suponhamos, sem perda de generalidade, que A venceu B e C e perdeu

   de D e E.  Ademais, podemos ainda supor que B venceu C e D venceu E.

   Desse modo, temos:

   C perdeu de A e B, assim deve vencer D e E, o que ocorre com

    probabilidade 1/2 . 1/2 = 1/4.

a)       

D venceu A e E e perdeu de C. Portanto, deve perder de B, o que ocorre

com probabilidade 1/2.

    B venceu C e D e perdeu de A. Logo, deve perder de E, o que ocorre   

  

    com probabilidade 1/2.

    E venceu A e B e perdeu de C e D. Tais possibilidades já foram

    analisadas.   

           

    A resposta é 3/8 . 1/4 . 1/2 . 1/2 = 3/128  

4. (Fuvest 2018)  Em um torneio de xadrez, há 2n participantes.

a) Na primeira rodada, há n jogos. Calcule, em função de n, o número de possibilidades para se fazer o emparceiramento da primeira rodada, sem levar em conta a cor das peças.

b) Suponha que 12 jogadores participem do torneio, dos quais 6 sejam homens e 6 sejam mulheres. Qual é a probabilidade de que, na primeira rodada, só haja confrontos entre jogadores do mesmo sexo?

  

                           Resposta da questão 4:

   a) Existem C_{2n, 2} modos de definir o primeiro jogo, C_2n-2,2 maneiras de

      os jogadores da segunda partida, e assim por diante. Logo,

      considerando que a ordem dos n emparceiramentos não importa,

      segue que o resultado é igual a :

             

   b) De (a), sabemos que o número de casos possíveis é dado por

      12!/2⁶.6!.  Além disso, o número de casos favoráveis é igual a :

                  

Em consequência, a resposta é dada por (3².5²)/(12!/2⁶.6!) = 5/231

  

5. (Fuvest 2018)  Para responder aos itens a) e b), considere a figura correspondente.

a) Num tetraedro OABC os ângulos AOB, BOC e COA medem 90⁰. Sendo α e β as medidas dos ângulos ACO e BCO, respectivamente, expresse o cosseno do ângulo ACB em função de α e β.

                                   

b) Um navio parte do ponto de latitude 0⁰ e longitude 0⁰ e navega até chegar a um ponto de latitude 45⁰ sul e longitude 45⁰ oeste, seguindo a trajetória que minimiza a distância percorrida. Admita que a Terra seja esférica de raio R = 6000 km. Qual foi a distância percorrida pelo navio?

                           

                             Resposta da questão 5:

 a) Dos triângulos retângulos ACO, BCO e ABO obtemos, pelo Teorema de

    Pitágoras, respectivamente, AC² = AO² + CO², BC² = BO² + CO² e

    AB² = AO² + BO²

Além disso, temos AC = CO/cosα e BC = CO/cosβ

   Em consequência, do triângulo ABC, pela Lei dos Cossenos, vem

  AB² = AC² + BC² – 2.AC.BC.cosACB →

  AO² + BO² = AO² + CO² + BO² + CO² – 2. CO/cosα . CO/cosβ . cosACB →

  Cos ACB = cosα . cosβ

b) Considere a figura, em que O é o centro da Terra, A é o ponto de

    latitude 0⁰ e longitude 0⁰, B é a projeção ortogonal de A sobre a reta que

   passa por O e pelo ponto de latitude 0⁰ e longitude 45⁰ oeste e P é o

   ponto de latitude 45⁰ sul e longitude 45⁰ oeste.      

                            

Como B também é projeção ortogonal de P sobre a reta que passa por

O e pelo ponto de latitude 0⁰ e longitude 45⁰ oeste, segue que o

tetraedro OBPA corresponde ao tetraedro do item (a). Logo, sendo

BOP = 45⁰ e BOA =45⁰ temos  cos AOP = cos 45⁰ . cos 45⁰ = 1/2

    Portanto, vem AOP = 60⁰ = π/ rad e, assim, o resultado é dado por

   

    π/3 . 6000 = 2000π km.  

6. (Fuvest 2018)  No plano cartesiano real, considere o triângulo ABC, em que A = (5, 0), B = (8, 0), C =(5, 5), e a reta de equação y = αx, 0 < α < 1. Seja f(α) a área do trapézio ABED em que D é a intersecção da reta y = αx com a reta de equação x = 5, e o segmento DE é paralelo ao eixo Ox.

                          

a) Encontre o comprimento do segmento DE em função de α.

b) Expresse f(α) e esboce o gráfico da função f.

                    

  

                               Resposta da questão 6:

 a) Sendo α o coeficiente angular da reta y = αx, temos tg AOD = α. Logo,

    como a abscissa do ponto D é x_D = 5, segue que a sua ordenada pode

    ser escrita sob a forma y_D = 5α. Ademais, a equação da reta BC é dada

    por y – 0 = -5/8(x - 8) → y = -5/8(x - 8)

    Sabendo que DE é paralelo a AB, vem 5α = y = -5/8(x - 8) → x_E = 8 - 3α

    Por conseguinte, a resposta é DE = x_E – x_D = 8 - 3α – 5 = 3 - 3α

  b) Tem-se que f(α) = 1/2 . (DE+ AB)AD = -15/2 . α . (α - 2), com 0 < α < 1.

    Logo, o gráfico de f é um arco de parábola, cujas interseções com o   

  

    eixo x são os pontos de abscissa zero e 2, e vértice em (1, 15/2).

                                              

7. (Fuvest 2018)  Sejam C um subconjunto não vazio e P um ponto, ambos em um mesmo plano, tais que P não pertencente a P. Diz-se que "P enxerga C sob um ângulo α" se α for a medida do menor ângulo com vértice em P que contenha C. Por exemplo, na figura, o ponto P enxerga o quadrado C sob o ângulo α indicado.

                           

a) Se C for um círculo de raio r, centrado na origem de um plano cartesiano real, determine o lugar geométrico dos pontos que enxergam C sob um ângulo de 60^0.

b) Se C for a união dos segmentos OA e OB, em que O = (0, 0), A = (a, 0) e B = (0, b), com a, b > 0, determine o lugar geométrico dos pontos que enxergam C sob um ângulo de 90⁰.

  

  Resposta da questão 7:
 

a)    Considere a figura.

                              

As retas tangentes a C conduzidas por P formam um ângulo MPN cuja

é 60⁰. Desse modo, sendo OP bissetriz de MPN, temos MPO = 30⁰. Logo,

segue que  senMPO = OM/OP → 1/2 = r/OP → OP = 2r.     

   Em consequência, o lugar geométrico procurado é a circunferência de

   centro na origem e raio 2r, cuja equação é x² + y² = 4r² 

   b) Considere a figura.

                                 

 O lugar geométrico dos pontos P que enxergam a união dos segmentos

OA e OB sob um ângulo de 90⁰ corresponde à reunião de três

semicircunferências com centros em (a/2, 0), (0, b/2) e (a/2, b/2), com

raios respectivamente iguais a a/2, b/2   e √(a²+b²)/2.

Portanto, o lugar geométrico dos pontos P = (x, y) é dado por 

( x - a/2)² + y² = a²/4, y > 0 ou  x² + ( y - b/2)² = b²/4, x > 0 ou

( x - a/2)² + (y - b/2)² = (a² + b²)/4, x > 0 e y > 0

  

8. (Fuvest 2018)  Uma cerca tem formato de um polígono regular de  lados, cada lado com comprimento l, A égua Estrela pasta amarrada à cerca por uma corda, também de comprimento l, no exterior da região delimitada pelo polígono. Calcule a área disponível para pasto supondo que:

a) a extremidade da corda presa à cerca está fixada num dos vértices do polígono;

b) a extremidade da corda pudesse deslizar livremente ao longo de todo o perímetro da cerca.  

  

                         Resposta da questão 8:

   a) A área disponível para pasto corresponde à área de um setor circular

      de raio l, cujo ângulo central é o replemento do ângulo interno do

     polígono regular. Portanto, a resposta é :

     [360⁰ - 180⁰(n - 2)/n]πl²/360⁰ = [ 1 - (n - 2)/2n]πl² = (n + 2)πl²/2n

   b) Considere a figura.

                       

Caso a extremidade da corda pudesse deslizar livremente ao longo de

todo o perímetro da cerca, o resultado seria dado pela soma das áreas

de n quadrados congruentes de lado l com as áreas de n setores

circulares de raio l e ângulo central igual a 360⁰/n.      

Em consequência, a resposta é nl² + nπl²/n = l²(n + π).

  

9. (Fuvest 2018)  Considere as funções f : [-π/2, π/2] → [ - 1, 1]  e

g : [0, π] → [- 1, 1] definidas por f(x) senx e g(x) = cosx. Sendo f e g

bijetoras, existem funções f^-1 e g^-1  tais que f^-1 o f = f o f ^-1 = id e

g^-1 o g = g o g ^-1 = id, em que id é a função identidade.

a) Para 0 ≤ α ≤ 1, mostre que (g o f ^-1)(α) = √(1 – α²).

b) Mostre que f^-1(1/2) + g^-1 [(√6 + √2)/4 = π/4.         

                              

                    Resposta da questão 9:

 a) Tem-se que f^-1(x) = arcsenx, com - 1 ≤ x ≤ 1 . Logo, encontramos

  g(f^-1(α)) = cosarcsenα.

   

     Se arcsenα = β, então senβ = α. Daí, vem sen² β = α², com - π/2 ≤ β ≤

     π/2, -1 ≤ α ≤ 1 e cos β ≥ 0. Portanto, desde que sen²β + cos²β = 1, temos

     cos²β = 1 – sen²β → cosβ = √(1 – α²)

     Em consequência, podemos escrever g(f^-1(α)) = cos√(1 – α²)

 b) Sabendo que f^-1(x) = arcsenx, com -1 ≤ x ≤ 1, temos  f^-1(1/2) =

   

    arcsen1/2 = π/6

    Ademais, como g^-1(x) = arccosx, com -1 ≤ x ≤ 1 e

    (√6 + √2)/4 = √3/2 . √2/2 + 1/2 . √2/2 = cosπ/4. cosπ/6  + senπ/4 . sen/6 =

    cos(π/4 - π/6) = cosπ/12, segue que g^-1(√6+ √2)/4 =

    arccos (√6+ √2)/4 = π/2.

Portanto, temos f^-1(1/2) + g^-1(√6+ √2)/4 = π/6 + π/12 = π/4