QUESTÕES VESTIBULAR UNICAMP 2018 – TIPO ANALÍTICA COMENTADAS

1. (Unicamp 2018)  Sendo c um número real, considere a função afim f(x) = 2x + c, definida para todo número real x.

a) Encontre todas as soluções da equação [f(x)]³ = f(x³), para c = 1.

b) Determine todos os valores de c para os quais a função g(x) = log(xf(x) + c) esteja definida para todo número real x.

  

a) Para c = 1, temos [f(x)]³ = f(x³) → (2x + 1)³ = 2x³ + 1 →

    8x³ + 12x² + 6x + 1 = 2x³ + 1 → 6x³ + 12x² + 6x  = 0 →

    x³ + 2x² + x  = 0 → x(x² + 2x + 1)  = 0 → x(x + 1)² = 0 →

  

    x = 0 ou x = - 1.

    Portanto, a resposta é x = 0 ou x = - 1

b) Sendo xf(x) + c = x(2x + c) + c = 2x² + cx + c, deve-se ter

    2x² + cx + c > 0 para todo x real. Tal condição é satisfeita

    se, e somente se, c² – 4.2.c < 0 → 0 < c < 8.

  

2. (Unicamp 2018)  Considere a sequência de números reais (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅) tal que (a₁, a₂, a₃) é uma progressão geométrica e (a₃, a₄, a₅) é uma progressão aritmética, ambas com a mesma razão w.

a) Determine a sequência no caso em que a₃ = 3 e w = 2.

b) Determine todas as sequências tais que a₁ = 1 e a₅ = 8.

  

a) Se (a₁, a₂, a₃) é uma progressão geométrica, a₃ = 3 e w = 2, então

    (a₁, a₂, a₃) = (3/2² , 3/2, 3) = (3/4, 3/2, 3)

    Ademais, se (a₃, a₄, a₅)  é uma progressão aritmética, então

    (a₃, a₄, a₅)  = (3, 3 + 2, 3 + 2.2) = (3, 5, 7).

    Portanto, temos (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅) = (3/4, 3/2, 3, 5, 7)

b) Se a₁ = 1 então (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅) = (1, w, w², w² + w, w² + 2w).

     Mas a₅ = 8 e, portanto, vem w² + 2w = 8 → (w + 1)² = 9 →

     w + 1 = ± 3 → w = - 4 ou w = 2

     Em consequência, temos (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅) = (1, - 4, 16, 12, 8) ou

  (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅) = (1, 2, 4, 6, 8)

3. (Unicamp 2018)  Sabendo que p e q são números reais, considere as matrizes

                           

a) Prove que para quaisquer p e q teremos B^T. AB ≥ 0.

b) Determine os valores de p e q para os quais o sistema linear nas

                                             

variáveis reais x, y e z, abaixo,  tenha infinitas soluções.  

                                

a) Sendo B^t = (p   0   q), temos :

                          

Portanto, como (p + q)² ≥ 0 para quaisquer p, q ɛ R, segue o resultado.

b) Tem-se que :

                            

Logo, tomando a matriz ampliada do sistema e escalonando, vem :

                       

Portanto, se p = 0 e q = 0 ou se p = 1 e q = 1/2 o sistema será possível e indeterminado.  

4. (Unicamp 2018)  A figura abaixo exibe, no plano cartesiano, um quadrilátero com vértices situados nos pontos de coordenadas A = (-5, 0), B = (5, 0), C = (4, 3) e D = (-3, 4).

        

a) Determine a área desse quadrilátero.

b) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto A e é perpendicular à reta que passa pelos pontos B e C.

  

a) A área do quadrilátero ABCD é dada por :

                 

b) Desde que o coeficiente angular da reta que passa por B e C é

    (3 - 0)/(4 - 5) = - 3, podemos concluir que a resposta é dada por

    y = 0 = - 1/(-3) . (x - ( 5)) → y = x/3 + 5/3

5. (Unicamp 2018)  A figura abaixo exibe um triângulo com lados de comprimentos a, b e c e ângulos internos ϴ, 2ϴ e β.

                            

a) Supondo que o triângulo seja isósceles, determine todos os valores possíveis para o ângulo ϴ.

b) Prove que, se c = 2a , então β= 90⁰.

  

a) O triângulo é isósceles se β = ϴ ou β = 2ϴ. Logo, no primeiro caso,

   temos 4ϴ = 180⁰ o que implica em ϴ = 45⁰. Já no segundo caso, temos

   5ϴ = 180⁰ o que implica em ϴ = 36⁰.

b) Considere a figura, em que P é o pé da bissetriz do ângulo ABC.

                                

Sendo os ângulos MBP e MAP congruentes, podemos concluir que o

triângulo ABP é isósceles de base AB. Ademais, se M é o ponto médio de

AB, então BM = 2a/2 = a e MP é perpendicular a AB. Daí, como BC = a, BP

é lado comum e MBP ≡ CBP, segue que os triângulos MBP e CBP são

congruentes por LAL, portanto β = 90⁰

6. (Unicamp 2018)  A tabela abaixo exibe o valor das mensalidades do Ensino Fundamental em três escolas particulares nos anos de 2017 e 2018.

ANO	Escola A	Escola B	Escola C
2017	R$ 1000,00	R$ 1200,00	R$ 1500,00
2018	R$ 1150,00	R$ 1320,00	R$ 1680,00

a) Determine qual escola teve o maior aumento percentual nas mensalidades de 2017 para 2018.

b) Uma família tem três filhos matriculados na Escola B. Suponha que essa escola ofereça um desconto de 10% na mensalidade para o segundo filho e de 20% para o terceiro filho. Calcule o valor a ser gasto mensalmente com os três filhos em 2018. 

a) Desde que os aumentos percentuais foram

   [(1150 - 1000)/1000] . 100% = 15% ;

                 

   [(1320 - 1200)/1200] . 100% = 10% e

   [(1680 - 1500)/1500] . 100% = 12%

   podemos concluir que a Escola A teve o maior aumento.

b) O resultado é dado por

 

   1320 + 1320.0,9 + 1320.0,8 = R$ 3564,00