QUESTOES VESTIBULAR UNICAMP 2016 - COMENTADAS

1. (Unicamp 2016)  Seja (a, b, c) uma progressão geométrica de números reais com a ≠ 0. Definindo s = a + b + c, o menor valor possível para s/a é igual a :

a) 1/2   

b) 2/3   

c) 3/4   

d) 4/5   

  

Resposta da questão 1:[C]

Tem-se que (a, b, c) = (a, aq, aq²), com a ≠ 0 e q sendo a razão da

progressão geométrica. Desse modo, vem :

s/a = (a + aq + aq²) / a = q² + q + 1 = (q + 1/2)² + 3/4

Portanto, o valor mínimo de s/a é 3/4, ocorrendo para q = - 1/2  

2. (Unicamp 2016)  O gráfico abaixo exibe o lucro líquido (em milhares de reais) de três pequenas empresas A, B e C, nos anos de 2013 e 2014.

   

Com relação ao lucro líquido, podemos afirmar que

a) A teve um crescimento maior do que C.   

b) C teve um crescimento maior do que B.   

c) B teve um crescimento igual a A.   

d) C teve um crescimento menor do que B.   

Resposta da questão 2:[B]

É fácil ver que A teve um decrescimento, enquanto que B e C tiveram um crescimento. Além disso, o crescimento de B foi de 100 milhares de reais e o crescimento de C foi de 200 milhares de reais. Portanto, C teve um crescimento maior do que o de .  

  

3. (Unicamp 2016)  Considere a função afim f(x) = ax + b definida para todo número real x, onde a e b são números reais. Sabendo que f(4) = 2, podemos afirmar que f(f(3)) + f(5) é igual a :

a) 5   

b) 4   

c) 3   

d) 2   

  

Resposta da questão 3:[D]

Tem-se que f(4) = 2 → 4a + b = 2. Além disso, como f(3) = 3a + b e

f(5) = 5a + b, vem f(3) + f(5) = 3a + b + 5a+ b = 8a + 2b = 2(4a + b) = 4

Portanto, segue que f(f(3)) + f(5) = f(4) + 2.  

4. (Unicamp 2016)  Considere o gráfico da função y = f(x) exibido na figura a seguir.

                             

O gráfico da função inversa y = f^-1(x) é dado por :

     

Resposta da questão 4: [C]

Lembrando que o gráfico de uma função e o de sua inversa são simétricos em relação à reta y = x segue-se que o gráfico de y = f^-1(x) é o da alternativa [C].  

5. (Unicamp 2016)  Em uma matriz, chamam-se elementos internos aqueles que não pertencem à primeira nem à última linha ou coluna. O número de elementos internos em uma matriz com 5 linhas e 6 colunas é igual a :

a) 12   

b) 15   

c) 16   

d) 20   

  

  Resposta da questão 5: [A]

O resultado pedido é igual a (5 - 2).(6 - 2) = 12.  

6. (Unicamp 2016)  Considere o sistema linear nas variáveis reais x, y, z  e w, tal que x – y = 1 ; y + z = 2 ; w – z = 3.

Logo, a soma x + y + z + w é igual a :

a) -2   

b) 0   

c) 6   

d) 8   

Resposta da questão 6:[D]

Somando todas as equações do sistema, vem x + w = 6. Logo, somando essa equação à segunda, obtemos x + y + z + w = 6 + 2 = 8  

  

7. (Unicamp 2016)  Uma moeda balanceada é lançada quatro vezes, obtendo-se cara exatamente três vezes. A probabilidade de que as caras tenham saído consecutivamente é igual a :

a) 1/4   

b) 3/8   

c) 1/2   

d) 3/4   

  

Resposta da questão 7: [C]

Existem P₄³ = 4!/3! modos de obter exatamente 3 três caras em 4 lançamentos. Por outro lado, existem apenas duas maneiras de obter 3 caras consecutivamente: ccck e kccc. Em consequência, a probabilidade pedida é 2/4 ou seja, 1/2.  

8. (Unicamp 2016)  Um cilindro circular reto, cuja altura é igual ao diâmetro da base, está inscrito numa esfera. A razão entre os volumes da esfera e do cilindro é igual a :

a) 4√2/3   

b) 4/3   

c) 3√2/4   

d)√2   

  

  Resposta da questão 8:[A]

Sejam r e R, respectivamente, o raio da esfera e o raio do cilindro.

Sabendo que a relação entre o raio da esfera circunscrita ao cilindro equilátero e o raio do cilindro é r = R√2, temos :

(4πr³/3) / (2πR³) = 2/3 . (r/R)³ = 2/3 . (√2)³ = 4√2/3

9. (Unicamp 2016)  Considere o círculo de equação cartesiana x² + y² = ax + by, onde a e b são números reais não nulos. O número de pontos em que esse círculo intercepta os eixos coordenados é igual a :

a) 1   

b) 2   

c) 3   

d) 4   

  

Resposta da questão 9: [C]

É fácil ver que a circunferência x² + y² = ax + by intersecta a origem dos eixos cartesianos. Ademais, tomando x = 0, obtemos y = 0 ou y = b. Por outro lado, fazendo y = 0, encontramos x = 0 ou x = a.  Em consequência, podemos afirmar que a resposta é 3.  

10. (Unicamp 2016)  A solução da equação na variável real x,  log_x^{(x + 6)} = 2, é um número :

a) primo.   

b) par.   

c) negativo.   

d) irracional.   

  

Resposta da questão 10:[A]

Sabendo que log_a^b = c ↔ a^c = b, para quaisquer a e b reais positivos, e

a ≠ 1, temos log_x^{(x + 6)} = 2 → x² – x – 6 = 0 → x = 3, que é um número primo.  

11. (Unicamp 2016)  A figura abaixo exibe um quadrilátero ABCD, onde AB = AD e BC = CD = 2 cm.

             

A área do quadrilátero ABCD é igual a :

a) √2 cm²   

b)  2 cm²   

c)  2√2 cm²   

d) 3 cm²   

  

Resposta da questão 11:[B]

Considere a figura.

                          

Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo BCD, temos :

BD² = BC² + CD² – 2.BC.CD.cosBED → BD² = 2² + 2² – 2.2.2.√2/2 →

BD = 2√(2-√2) cm.

Como AC é bissetriz de BAD e BED, segue que os triângulos retângulos ABE e ADE são congruentes.

Logo, podemos concluir que AE = 2√(2-√2) cm.

A resposta é dada por ABD + BCD = 1/2 . BD . AE + 1/2 . BC . CD . senBED

= [2√(2-√2). √(2-√2)]/2 + 1/2 . 2 . 2.√2/2 = 2 - √2 + √2 = 2 cm²

  

12. (Unicamp 2016)  Considere o número complexo z = (1 + ai) / (a - i), onde a é um número real e i é a unidade imaginária, isto é, i² = -1 O valor de z²⁰¹⁶ é igual a :

a) a²⁰¹⁶   

b) 1   

c) 1 + 2016i   

d) i   

Resposta da questão 12:[B]

Tem-se que z = (1 + ai) / (a - i) = z = [(1 + ai) / (a - i)] . [ (a + i) / (a + i) =

(a + i + a²i - a) / (a² + 1) = i

Portanto, o valor de z²⁰¹⁶ é i²⁰¹⁶ = i⁰ = 1  

13. (Unicamp 2016)  Considere o polinômio cúbico p(x) = x³ + x² –ax – 3, onde a é um número real. Sabendo que r e -r são raízes reais de p(x) podemos afirmar que p(1) é igual a :

a) 3   

b) 1   

c) -2   

d) -4   

  

Resposta da questão 13:[D]

Se r e -r são raízes de p, então p(r) = p(-r) = 0. Logo, segue que

r³ + r² –ar – 3 = 0 e -r³ + r² –ar – 3 = 0. Somando essas equações, obtemos

2r² – 6 = 0, ou seja, r² = 3. 

Por outro lado, sendo α a outra raiz real de p, pelas Relações de Girard,

vem r + (-r) + α = -1/1 → α = - 1.

 Em consequência, tem-se p(x) = (x² – r²).(x - α) = (x² – 3)(x + 1) e, portanto,

podemos afirmar que p(1) é igual a p(1) = (1² – 3)(1 + 1) = -4

14. (Unicamp 2016)  Considere a matriz quadrada de ordem 3 onde x é um número real.

                           

Podemos afirmar que :

a) A não é invertível para nenhum valor de x.   

b) A é invertível para um único valor de x   

c) A é invertível para exatamente dois valores de x.   

d) a é invertível para todos os valores de .   

  

Resposta da questão 14:[D]

Calculando o determinante da matriz A, encontramos

                

Portanto, como det A ≠ 0, para todo x real, segue-se que A é invertível para todos os valores de x.