QUESTOES VESTIBULAR UFSC 2017 - COMENTADAS

1. (Ufsc 2017)  Em relação às proposições abaixo, é correto afirmar que:

01) Os juros médios no cartão de crédito chegaram, em fevereiro de 2016, ao maior patamar desde outubro de 1995, segundo levantamento da Anefac. A taxa mensal atingiu 14,72%. Logo, o montante a ser pago por um consumidor que usou R$ 2.000,00 no rotativo do cartão de crédito por 30 dias é de  R$2294,40, sem que se levem em conta os outros encargos referentes ao atraso no pagamento da dívida financiada.   

02) Em 1987, o governo criou a Unidade Referencial de Preços (URP), que corrigia o salário dos três meses seguintes a partir de uma taxa prefixada com base na média geométrica da inflação dos três meses anteriores. Para os trabalhadores, teria sido mais vantajoso se o governo tivesse utilizado como base a média aritmética da inflação dos três meses anteriores, tendo em vista que a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica, para quaisquer números positivos dados.   

04) Σ_n=1^k (2n+2) é uma forma de representar a soma dos números que calculamos na expressão 2n + 2 quando substituímos n por 1, depois por 2, depois por 3 e assim sucessivamente, até n = k. O valor de k para que Σ_n=1^k (2n+2) = 130 é 10.   

08) Considere uma sucessão infinita de círculos concêntricos em que cada círculo tem diâmetro igual ao dobro do diâmetro do círculo seguinte. Se o primeiro círculo tem raio de 3 cm, então a soma das áreas desses círculos é 8π cm².   

16) Suponha que na tabela estejam as estaturas da Mafalda e da sua turma (personagens da Mafalda).

             

Com base nos dados acima, é correto afirmar que a estatura média dos personagens da Mafalda é de 129 cm.

  

Resposta da questão 1: 01 + 02 + 04 +16 = 23.

[01] Verdadeira. De fato, pois 2000.1,1472 = R$ 2294,40.

[02] Verdadeira. Com efeito, de acordo com a desigualdade das médias.

[04] Verdadeira. Desde que k ε Z₊^*, temos Σ_n=1^k (2k+2) = 130 →

        4 + 6 + ... + (2k+2) = 130 → (4 + 2k + 2)k/2 = 130 → k(k + 3) = 130

        K² + 3k – 130 = 0 → kʹ = 10 e kʹʹ = - 13(não convem)

[08] Falsa. As área dos círculos, em cm², constituem a sequência (9π, 9π/4, 9π/16, ... ). Como tal sequência é uma progressão geométrica infinita de razão 1/4, segue que a soma de seus termos é igual a 9π/(1-1/4) = 12 cm².

[16] Verdadeira. Com efeito, pois sendo 1161 a soma das alturas de todos os personagens, vem que a média é 1161/9 = 129 cm.  

  

2. (Ufsc 2017)  Em relação às proposições abaixo, é correto afirmar que:

01) Se R(x) é o resto da divisão de A(x) = x⁴ - 2x³ + 2x² – x + 4 por B(x) = x³ – 2x² + 1, então R(1/2) = 7/2.   

02) Observe a figura, que representa parte do gráfico da função f(x) = x³ + ax² + bx + 3. Com base nos dados abaixo, é correto afirmar que (b-a) = 0.

                                

  

04) Se a forma fatorada do polinômio T(x) = x⁴ – 7x³ + 13x² + 3x - 18 é T(x) = (x-a)².(x+1).(x-2), então a é um número par.   

08) Se (4x-2)/(x³-4x) Ξ A/x + B/(x-2) + C/(x+2) para todo x tal que x ǂ 2 e x ǂ -2, então A + B + C = 0   

16) Sabe-se que 2 + i e 3 – 2i são raízes do polinômio P(x) que é de grau 5. Ao escolher, ao acaso, uma das raízes desse polinômio, a probabilidade de essa raiz ser um número real é de 60%.   

  

Resposta da questão 2: 01 + 08 = 09.

[01] Verdadeira. De fato, temos A(x) = x.B(x) + 2x² – 2x + 4.(x). Logo, segue que R(x) = 2x² – 2x + 4 e, portanto, vem R(1/2) = 2(1/2)² – 2(1/2) + 4 = 7/2

[02] Falsa. De acordo com o gráfico, as raízes de f são -1;1 e 3. Assim,     temos f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 3) = x³ – 3x² – x + 3.

Em consequência, vem a = -3 e b = -1, o que implica em b – a = 2.

[04] Falsa. Se a forma fatorada de T(x) é T(x) = (x - a)².(x + 1)(x - 2), então, pelas Relações de Girard, segue que 2a – 1 + 2 = 7, ou seja, a = 3.

                                                                                                    

[08] Verdadeira. De fato, pois 4x – 2 Ξ A(x² - 4) + Bx(x + 2) +Cx(x - 2)

Ξ (A + B + C) x² + (2B – 2C)x – 4A, implicando em A + B + C = 0.

[16] Falsa. Se 2 + i e 3 – 2i são raízes de P, então 2 - i e 3 + 2i também são. Logo, sendo o grau de P igual a 5, podemos concluir que P possui uma única raiz real. A probabilidade de escolher uma raiz real ao acaso é, portanto, igual a 1/5 = 20%.  

3. (Ufsc 2017)  Em relação às proposições abaixo, é correto afirmar que:

01) Com 45 metros quadrados de lajotas é possível fazer, sem perdas, uma moldura de 1,5 m de largura em volta de uma piscina cujas dimensões são 8 m de comprimento por 4 m de largura.   

02) O conjunto solução da inequação (2x+1)/(4x-1) < 1 no conjunto R é S = {x ε R / x < 1 }.

  

04) Considere a operação a © b = a + b + 2ab definida para a e b reais, então o conjunto solução da equação (1 © 3) © x = 220, no conjunto R é S = {22}.   

08) Devido à crise econômica, o dono de um restaurante observou que, com o preço do “prato feito” a R$21,00, ele servia 600 refeições por dia e que, para cada real de redução no preço, ele servia 100 refeições a mais. Com base nesses dados, é correto afirmar que o preço do “prato feito” deve ser de R$13,50 para que a receita do restaurante seja máxima.   

16) Sendo f(x) = 6x - 1 e fog(x) = 30x + 29, então g(-1) = 0.   

  

Resposta da questão 3: 01 + 08 + 16 = 25.

[01] Verdadeira. Com efeito, pois (8 + 2.1,5).(4 + 2.1,5) – 8.4=77 – 32= 45 m²

[02] Falsa. Basta mostrar que existe pelo menos um elemento de S que não satisfaz a desigualdade. Assim, tomando arbitrariamente x = ½, obtemos (2.1/2 + 1)/(4.1/2- 1) = 2 > 1.

[04] Falsa. Tem-se que (1 © 3) © 22 = (1 + 3 + 2 . 1. 3) © 22 = 10 © 22 = 472

[08] Verdadeira. Se x é o desconto dado, então a receita, R(x), do restaurante é igual a  R(x) = (600 + 100x).(21 - x) = -100(x + 6)(x - 21)

Portanto, quando o preço do prato for 21 - (-6+21)/2 = R$ 13,50, a receita atingirá seu valor máximo.

[16] Verdadeira. Sendo f(g(x)) = 6g(x) – 1, vem g(x) = 5x + 5 e, assim, temos g(-1) = 0.  

4. (Ufsc 2017)  Em relação às proposições abaixo, é correto afirmar que:

01) O novo Estádio Nacional de Brasília Mané Garrincha conta com 24 portões de acesso e foi palco de dez jogos durante o torneio olímpico. Com base nessas informações, é correto afirmar que o número de possibilidades existentes de um torcedor entrar por um portão e sair por outro diferente, considerando que haja livre acesso a todos os portões tanto para entrada como para saída, é de 576.   

02) O número de anagramas da palavra ATLETA é 720.   

04) A partir de 2017 as placas de veículos mudarão no Brasil. O novo modelo de placas, no padrão do Mercosul, terá sempre quatro letras e três algarismos distribuídos de forma aleatória, conforme mostra a figura. Com o novo modelo, considerando um alfabeto de 26 letras e 10 algarismos numéricos, serão possíveis mais de 450 milhões de combinações.

  

08) Uma urna contém 3 bolas brancas, numeradas de 1 a 3, e 6 bolas pretas, numeradas de 1 a 6. Uma bola é extraída ao acaso. Se for sorteado um número ímpar, então a probabilidade de ter saído uma bola branca é de 2/9.   

16) A probabilidade de um casal com quatro filhos ter dois meninos e duas meninas é menor do que a probabilidade de dois casais com dois filhos terem, cada casal, um menino e uma menina.   

  

Resposta da questão 4: 04.

[01] Falsa. Pelo Princípio Multiplicativo, segue que o número de possibilidades de um torcedor entrar por um portão e sair por outro diferente é 24.23 = 552.

[02] Falsa. O número de anagramas da palavra ATLETA é igual a P₆^(2,2) = 6!/2!2! = 180.

[04] Verdadeira. Com efeito, existem P₇^(4,3) = 7!/4!31 = 35 modos de definir as posições dos dígitos. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, segue que existem 35.26⁴.10³ = 15994160000 combinações possíveis.

[08] Falsa. A probabilidade de ter saído uma bola branca, sabendo que o número é ímpar, é igual a P(branca/impar) = n(branca e impar)/n(impar) = 2/5

[16] Falsa. A probabilidade de que um casal tenha dois meninos e duas      meninas, é dada por P(k=2) = C_4,2 . (1/2)².(1/2)² = 3/8

A probabilidade de que dois casais tenham um par de filhos cada um, sendo um menino e uma menina em cada par, é igual a

P²(k=1) = (C_2,1 . (1/2).(1/2))² = 2/8

  

5. (Ufsc 2017)  Em relação às proposições abaixo, é correto afirmar que:

01) Um designer de joias, motivado pelo lançamento das medalhas comemorativas dos Jogos Olímpicos Rio 2016, resolveu fazer uma medalha de ouro maciço na forma de um cilindro circular reto com diâmetro de 28 mm e espessura de 2 mm para comemorar suas bodas de ouro em 2016. Considerando a massa específica do ouro como 20g/cm³ e π ≈ 3 então serão necessários 23,52g de ouro para confeccionar a medalha.   

02) Uma lanchonete vende sucos em copos completamente cheios com a forma de um cone circular reto. Um cliente solicitou um copo de suco de morango. O atendente serviu o suco até atingir 80% do nível do copo cheio, como mostra a figura abaixo. Nesse caso, é correto afirmar que o cliente já terá sido lesado em mais do que a metade do volume de suco do copo.

                                 

  

04) A expressão matemática, em função de x(x > 1), para o cálculo da capacidade do prisma reto de base hexagonal regular representado na figura abaixo, é C = √3/4 x³ + √3/4 x² + √3/4 x.

                                                 

  

08) Numa pirâmide de base quadrada cujo lado mede 8 cm e cujas arestas laterais medem 9 cm, a altura mede 7 cm.   

  

Resposta da questão 5: 01 + 08 = 09.

[01] Verdadeira. Com efeito, o volume de ouro necessário é igual a

π(28/2)².2 ≈ 1176 mm³ = 1,176 cm³.

      Portanto, serão necessários 20 . 1,176 = 23,52 g de ouro.  

[02] Falsa. Sejam r e h, respectivamente, o raio e a altura do copo. Logo, o volume de suco no copo inicialmente é igual a π.r².h.

      Portanto, se o nível servido corresponder a 80% da altura do nível do    copo cheio, segue que o cliente terá sido lesado em

π.r².h - π.(0,8r)².(0,8h) = 0,488π.r².h,  ou seja, 48,8% do volume de suco do copo.           

[04] Falsa. A capacidade do prisma é dada por

       3x.(x-1)².√3/2 = 3√3x³/2 - 3√3x² +  3√3x/2

[08] Verdadeira. Seja h a medida da altura da pirâmide. Sabendo que a aresta da base mede 8 cm, é imediato que a medida do raio do círculo circunscrito à base da pirâmide vale 4√2 cm. Em consequência, pelo Teorema de Pitágoras, segue que h² = 9² - (4√2)² → h = 7 cm

6. (Ufsc 2017)  A figura abaixo representa parte do mapa de uma cidade em que uma unidade linear do plano cartesiano corresponde a 1 km.

           

   

Com base nos dados da figura, é correto afirmar que:

01) A equação da reta que passa pela praça e pela igreja também passa pelo banco.   

02) A reta que passa pelo banco e é perpendicular à reta que passa pela igreja e pelo hotel tem equação y = 8.   

04) A equação da circunferência com centro na praça e que passa pela escola é x² + y² – 10x – 6y + 24 = 0.   

08) A distância da escola ao hotel é de √73 km.   

16) A área do quadrilátero convexo formado pela escola, pelo banco, pelo hotel e pela igreja tem 23,5 km².   

32) O ponto da circunferência, com centro na praça e que passa pela escola, que fica mais próximo da igreja é (3,4).   

  

Resposta da questão 6: 04 + 08 + 16 = 28.

[01] Falsa. Tem-se que

Portanto, a reta não passa pelos três pontos.

[02] Falsa. A reta que passa pela igreja e pelo hotel tem por equação y = 5. Por outro lado, a reta que passa pelo banco e é perpendicular à reta

      y = 5 é a reta de equação x = 8.

[04] Verdadeira. O quadrado da distância entre a praça e a escola é igual a

d²(P,E) = (5 - 2)² + (3 - 2)² = 10 km².  Desse modo, a equação da circunferência com centro na praça e que   passa pela escola é (x - 5)² + (3 - 2)² = 10 → x² + y² – 10x – 6y + 24 = 0.

[08] Verdadeira. De fato, temos d(E,H) = √(10 - 2)² + (5 - 2)² = √73 km.

[16] Verdadeira. Com efeito, segue que

[32] Falsa. O ponto que está mais próximo da igreja corresponde ao ponto de interseção da reta que passa por P(5,3) e I(3,5) com a circunferência de equação (x - 5)² + (y - 3)² = 10, de tal sorte que a abscissa desse ponto seja um número real menor do que 3.    

      Portanto, não pode ser (3,4).  

7. (Ufsc 2017)  Em relação às proposições abaixo, é correto afirmar que:

01) A catedral de Brasília foi projetada pelo arquiteto Oscar Niemeyer. Sua estrutura se destaca pela beleza e pela forma, um hiperboloide de rotação. A figura abaixo destaca os principais elementos da hipérbole associada à forma da catedral e é possível perceber que ela tem como base um círculo de diâmetro d. Supondo que a equação dessa hipérbole seja x²/225 – y²/400 = 1  e que a medida do diâmetro tenha 10 metros a mais que a distância focal, então a medida d será igual a 60 metros.

                            

  

02) A excentricidade da elipse de equação x²/25 – y²/4 = 1  é 1/3.   

04) O valor de K na matriz A, para que se tenha A^-1 = A^t é k = 0.

                                      

08) Sejam A e B abaixo, então o det(A.B^t) não existe.   

                    

                               

                              

16) Se em uma loja de moda masculina Júlio comprar um par de sapatos, duas calças e três camisas, ele pagará R$ 520,00. Se comprar, na mesma loja, um par de sapatos, três calças e cinco camisas, pagará R$ 760,00. Logo, na compra de um par de sapatos, de uma calça e de uma camisa, nessa mesma loja, Júlio pagará R$ 280,00.   

  Resposta da questão 7: 01 + 04 + 16 = 21.

[01] Verdadeira. Desde que c² = 225 + 400, vem c = 25. Logo, temos d = 2 . 25 + 16 = 60 m.    

[02] Falsa. Sendo c² = 25 – 4, temos c = √21. Portanto, a excentricidade é igual a √21/5.

[04] Verdadeira. De fato, pois se A^-1 = A^t , então

                

Portanto, para que ocorra a igualdade deve-se ter k = 0. 

[08] Falsa. Desde que a ordem de A é 2x3 e a ordem de B^t é 3x2, podemos concluir que a ordem da matriz A.B^t é 2x2. Como tal matriz é quadrada, segue que o seu determinante existe.

[16] Verdadeira. Sejam x, y e z, respectivamente, os preços de um sapato, de uma calça e de uma camisa (supondo que peças do mesmo tipo tenham o mesmo preço). Queremos mostrar que x + y + z = 280.

      De fato, temos :

                          

8. (Ufsc 2017)  Em relação às proposições abaixo, é correto afirmar que:

01) Se duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos colaterais internos em que o maior ângulo excede o menor em 32⁰30ʹ então a medida do menor ângulo é de 73⁰ 45^ʹ. 

02) Na figura abaixo, o segmento MN é paralelo ao segmento BC. Se as medidas dadas na figura estão expressas em centímetros, então o perímetro do triângulo ABC é de 40 cm.

                                          

04) Uma mesa possui duas opções para tampo:

1ª Forma de hexágono regular cujo lado mede 50 cm.

2ª Forma de um quadrado cujo lado mede ⁴√3 m.

Então, o tampo de maior área é o hexagonal.   

08) Na figura, sejam A, Aʹ  e Aʹʹ triângulos equiláteros, construídos respectivamente sobre a hipotenusa a e sobre os catetos b e c de um triângulo retângulo, então a área A é igual à soma das áreas de Aʹ e Aʹʹ.

Resposta da questão 8: 01 + 08 = 09.

[01] Verdadeira. Sabendo que dois ângulos colaterais internos sãosuplementares, chamemos de α e (180⁰ - α) tais ângulos, com

      α < 180⁰ – α. Desse modo, vem 180 – α = α + 32⁰30^ʹ→ α = 73⁰45ʹ.   

[02] Falsa. O perímetro do triângulo ABC será igual a 40 cm se, e somente se, M e N forem os pontos médios de AB e AC, respectivamente.

[04] Falsa. A área do tampo hexagonal é 3.50².√3/2 = 3750√3 cm², enquanto que a área do tampo quadrangular é igual a (100⁴√3)² = 10000√3 cm².

[08] Verdadeira. Com efeito, as áreas de A, Aʹ e Aʹʹ são, respectivamente, iguais a a²√3/4, b²√3/4 e c²√3/4. Por outro lado, tomando o Teorema de Pitágoras, vem a² = b² + c² → a²√3/4 = (b² + c²)√3/4 → A = Aʹ + Aʹʹ

  

9. (Ufsc 2017)  Em relação às proposições abaixo, é correto afirmar que:

01) O menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 3h 25 min é 47,5⁰.   

02) Dado qualquer número real t ǂ 0, a função real de variável real definida por f(x) = cos(2πx/t) satisfaz à identidade f(x+t) = f(x).   

04) Se x ǂ kπ/2, sendo K um número inteiro, então sec²x + cossec²x = sec²x.cosse²x.   

08) A equação secx = √2 apresenta duas soluções no intervalo 0 ≤ x ≤ 4π.   

Resposta da questão 9: 01 + 02 + 04 = 07.

[01] Verdadeira. De fato, o deslocamento do ponteiro das horas em 25 minutos é igual a 25/2 = 12⁰30^ʹ. Ademais, como o ângulo entre as posições 3 e 5 é 2.30⁰ = 60⁰, segue que o menor ângulo é 60⁰ - 12⁰30^ʹ = 47⁰30^ʹ.

[02] Verdadeira. Com efeito, sendo t ǂ 0 e lembrando que cos(2π + α) = cosα, para todo α real, temos: f(x + t) = cos(2π(x+t)/t) = cos(2π + 2πx/t) = cos(2πx/t) = f(x).

[04] Verdadeira. De fato, pois se x ǂ kπ/2, com k ε Z então

sec²x + cossec²x = 1/cos²x + 1/sen²x = (cos²x + sen²x)/ cos²x.sen²x =

1/(cos²x.sen²x) = sec²x.cossec²x.

[08] Falsa. Em cada volta no círculo trigonométrico a equação possui duas soluções. Logo, como o intervalo 0 ≤ x ≤ 4π corresponde a duas voltas, segue que a equação possui exatamente quatro soluções.