QUESTÕES VESTIBULAR FTT 2017.2 - COMENTADAS

1. A figura a seguir identifica o Centro Educacional Fundação Salvador Arena e o Hospital de Clínicas Municipal José Alencar, ambos na cidade de São Bernardo do Campo.

Se traçássemos na figura um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas planas, no qual cada unidade correspondesse a 100 metros reais, e fixássemos o Centro Educacional como origem desse sistema, teríamos o Hospital como um ponto de coordenadas (7; 4).

Nesse caso, é correto afirmar que a distância, em metros, do Centro Educacional ao Hospital, em linha reta, seria de, aproximadamente,

(A) 600.

(B) 700.

(C) 800.

(D) 900.

(E) 1 000.

Vejamos :

Centro Educacional como origem → C(0, 0)

Hospital como um ponto de coordenadas → H(7; 4)

Distancia →d_CH = √[(x_H – x_C)² + (y_H – y_C)²] = √[(7 – 0)² + (4 – 0)²] =

√[(7)² + (4)²] = √(49 + 16) = √65 ≈ 8,06 → ≈ 800 metros

2. Números binários são aqueles escritos na base 2, muito utilizados em circuitos digitais, como os computadores. Para escrever um determinado número na base 2, utilizam­se apenas os algarismos 0 e 1.

A seguir, é apresentado um procedimento para transformar o valor de um número escrito na base 2, para a base 10: 1010111₍₂₎ = 1×2⁶ + 0×2⁵ + 1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰  = 64 + 0 + 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 87₍₁₀₎.

Outro sistema também utilizado em informática é o octal, no qual os números são escritos na base 8, com a utilização dos algarismos de 0 a 7.

O procedimento para transformar o valor de um número escrito na base 8 para a base 10, é idêntico ao apresentado, porém utilizando 8 como base das potências.

Logo, na base 10, o número 135₍₈₎ corresponde a :

(A) 25.

(B) 93.

(C) 128.

(D) 246.

(E) 352.

Vejamos :

Transformando 135₍₈₎ para a base 10→ 1x8² + 3x8¹ + 5x8⁰ = 64 + 24 + 5 = 93

3. Após a interpretação de um problema, André o traduziu no seguinte sistema linear:

Para agilizar a resolução, ele utilizou um software, inserindo as seguintes informações:

Após a utilização de um comando, o software retornou como resultado a seguinte matriz, que representa um sistema equivalente ao sistema original:

Dessa forma, André chegou à correta conclusão de que x + y + z + t é igual a :

(A) 1.

(B) 2.

(C) 3.

(D) 4.

(E) 5.

Vejamos :

Após a utilização do comando, o software retornou com a matriz

escalonada, então : - 2t = 4 → t = - 2  ;  z + t = 0 → z = - t → z = 2  ;

5y + z + t = 5 → 5y + 2 + (- 2) = 5 → y = 1  e  x + 2y – z – t = 4 →

x + 2.1 – 2 + 2 = 4 → x = 2.

Finalmente x + y + z + t = 2 + 1 + 2 + (- 2) = 3

4. O Castelo de Chillon, famoso ponto turístico na Suíça, tem o topo de uma de suas torres em formato de pirâmide de base quadrada, com cada uma de suas faces laterais, que formam o telhado da torre, no formato de triângulo equilátero.

Supondo que a área da base dessa pirâmide seja 25 metros quadrados, a área do telhado dessa torre, em metros quadrados, é :

(A) 25√3/6

(B) 25√3/4

(C) 25√3/2

(D) 25√3

(E) 50√3

Vejamos :

Como a base dessa pirâmide é quadrada e de área 25 m², então sua aresta  mede a = 5 m.

Como as 4 faces laterais são triângulos equiláteros, então sua área será

A_L = 4. (a²√3/4) = a²√3 = 5²√3 = 25√3 m²

5. Carlos comprou um cofre cuja senha é composta por 3 pares de algarismos, escolhidos dentre os 10 algarismos de 0 a 9, que devem ser inseridos em ordem determinada, sendo que não pode haver repetição de algarismo em cada par, mas pode haver repetição do par escolhido em uma mesma senha.

São exemplos de senhas distintas (23; 20; 01), (01; 20; 23), (23; 23; 32), (23; 23; 23).

O número total de senhas que podem ser definidas por Carlos é :

(A) 270.

(B) 2700.

(C) 37800.

(D) 72900.

(E) 729000.

Vejamos : 

... escolhidos dentre os 10 algarismos de 0 a 9, Arranjo simples de 10  

elementos 2 a 2 → A_n,p  = n!/(n - p)! →  A_10,2 = 10!/8! = 90

... sendo que não pode haver repetição de algarismo em cada par, mas

pode haver repetição do par escolhido em uma mesma senha, ou seja

Arranjo com repetição, A_{(n, p)} = n^p → A_(90,3) = 90³ = 729000          

6. A função f: N → R , dada por y = f(x) = 5x – 12500, sendo y dado em →reais, e x, em unidades produzidas de determinado produto, representa o lucro mensal da venda do referido produto pela casa comercial A.

O mesmo produto comercializado pela casa B tem como lucro mensal a função        g:  N → R , dada por y = g(x) = 4,5x – 10500, sendo y dado em reais, e x, em unidades produzidas.

Nessas condições, a casa comercial B tem lucro real, ou seja, y > 0, maior que o lucro real da casa comercial A quando :

(A) 0 < x < 2334.

(B) 0 < x < 2500.

(C) 0 < x < 4000.

(D) 2334 < x < 4000.

(E) 2 500 < x < 4000.

Vejamos :

Lucro real da casa A → f(x) = 5x – 12500 > 0 → 5x > 12500 → x > 2500

Lucro real da casa B > Lucro real da casa A → 4,5x – 10500 > 5x – 12500

4,5x – 5x > 10500 – 12500 → - 0,5x > - 2000 .(-1) → 0,5x < 2000 → x < 4000

Portanto 2500 < x < 4000.

7. Uma chapa metálica no formato de trapézio isósceles, ou seja, lados não paralelos com a mesma medida, foi projetada de maneira que estivesse inscrita em uma circunferência de centro A, como representado na figura a seguir.

Sabendo­ se que as bases menor e maior do trapézio medem 12 e 16 centímetros, e que o raio da circunferência mede 10 centímetros, o perímetro dessa chapa, em centímetros, é :

(A) 28 + 5√2

(B) 28 + 10√2

(C) 28 + 15√2

(D) 28 + 20√2

(E) 28 + 25√2

Vejamos :

                  

Observando o desenho ( fora de escala ) é possível determinar que a altura ''h'' deste 

trapézio é igual soma de x com y, ou seja h = x + y.

10² = x² + 6² → 100 = x² + 36 → x² = 100 – 36 → x² = 64 → x = 8

10² = y² + 8² → 100 = y² + 64 → y² = 100 – 64 → y² = 36 → y = 6

z² = (8 - 6)² + h² → z² = 2² + (8 + 6)² → z² = 2² + 14² → z² = 4 + 196 → z² = 200

→ z = √200 → z = 10√2

Como a base menor mede 12 cm, a base maior 16 cm e os lados não

paralelos medem 10√2 cm, então seu perímetro mede 12 + 16 + 2.10√2 =

(28 + 20√2) cm

8. Marcelo fez uma aplicação de R$ 1.000,00 e sabe que o valor total M que irá retirar no final dessa aplicação é calculado da seguinte forma, sendo x o número de meses em que o dinheiro ficará aplicado:  

  

                                               M = 1 000 · (1,004)^x

O objetivo de Marcelo é sacar M não menor que R$ 1.200,00 e, para tanto, ele quer saber por quantos meses, no mínimo, ele tem que deixar o dinheiro aplicado.

Se Marcelo tem uma calculadora científica com as funções log (x) e ln (x), que são os logaritmos de x na base 10 e na base e, respectivamente, ele poderá obter o valor de x calculando: 

(A) log 1,2 ÷ log 1,004

(B) log 1,004 ÷ log 1,2

(C) log 1,2 ÷ ln 1,004

(D) ln 1,004 ÷ ln 1,2

(E) ln 1,2 ÷ log 1,004

Vejamos :

Como a aplicação é calculada através de  M = 1 000 · (1,004)^x , então para

sacar M não menor que R$ 1.200,00 → M ≥ 1200 .

Como devemos saber por quantos meses, no mínimo, ele tem que deixar

o dinheiro aplicado, então M = 1200 → 1 000 · (1,004)^x = 1200 →

(1,004)^x = 1,2 → x = log_1,0041,2 → x = log1,2 ÷ log 1,004