TREINAMENTO LOGARÍTMO ESTILO ENEM (nível elevado) -COMENTADO

1. Sobre a Cisplatina – PtCl₂H₆N2 (droga comumente utilizada no combate a tumores, que atua sobre o DNA evitando a replicação das células), é importante considerar que a variação de sua quantidade na corrente sanguínea é usada na determinação da quantidade da droga a ser administrada ao paciente, tendo em conta sua alta toxicidade; a meia-vida da droga é definida como sendo o tempo que leva para que uma quantidade da droga decresça à metade da quantidade inicial; a variação da quantidade de droga na corrente sanguínea decresce exponencialmente com o tempo; uma certa injeção de Cisplatina gera imediatamente na corrente sanguínea uma concentração de 6µg/mL, a qual decresce para 2µg/mL após 48 min.

Com base nessa informação e com o apoio da tabela de valores do logaritmo abaixo, identifica-se que a meia-vida da Cisplatina, em minutos, é de aproximadamente:

                    X         2        3        4        5        6        7        8        9

                    lnx    0,7     1,1     1,4     1,6     1,8     1,9     2,1     2,2

a) 25   

b) 28   

c) 31   

d) 34   

e) 37   

  

Resposta da questão 1:
 [C]

A quantidade Q da substância no organismo, em µg/mL, após t  minutos, pode ser dada por  Q = Q₀.e^k.t , com e sendo o número de Euler. Logo, se a concentração inicial é 6µg/mL é 48min, depois passa a ser de 2µg/mL,

Então 2 = 6 . e^{k . 48} →e^k = 3^-1/48.

Portanto, a meia-vida da cisplatina é tal que :

Q₀/2 = Q₀ . (3^-1/48)^t →ln 2_-1 = ln 3^-t/48 → -ln 2 = -t/48 . ln 3 → t = (0,7/11).48→t ≈31min.

                                  

2. Em 2010, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realizou o último censo populacional brasileiro, que mostrou que o país possuía cerca de 190 milhões de habitantes. Supondo que a taxa de crescimento populacional do nosso país não se altere para o próximo século, e que a população se estabilizará em torno de 280 milhões de habitantes, um modelo matemático capaz de aproximar o número de habitantes (P), em milhões, a cada ano (t), a partir de 1970, é dado por:

                             P(t) = [280 – 190.e^{-0,019(t-1970)}]

Baseado nesse modelo, e tomando a aproximação para o logaritmo natural ln(14/95) ≈ -1,9, a população brasileira será 90% da suposta população de estabilização aproximadamente no ano de:

a) 2065.   

b) 2070.   

c) 2075.   

d) 2080.   

e) 2085.   

Resposta da questão 2:
 [B]

Para que a população brasileira seja 90% da suposta população de estabilização, deveremos ter

 0,9 . 280 = 280 – 190.e^{-0,019(t-1970)} → e^{-0,019(t-1970)} = 14/95

ln e^{-0,019(t-1970)} = ln 14/95 → -0,019(t-1970) = - 1,9

 t – 1970 = 1,9/0,019 = 2070

  

  

3.  Um médico, apreciador de logaritmos, prescreveu um medicamento a um de seus pacientes, também apreciador de logaritmo, conforme a seguir.

Tomar x gotas do medicamento α de 8 em 8 horas. A quantidade de gotas y diária deverá ser calculada pela fórmula log₈y = log₂6

Considerando log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, é correto afirmar que log₂xé um número do intervalo

a) [3,4[   

b) [4,5[      

c) [5,6[      

d) [6,7[  

e) [7,8[       

Resposta da questão 3:
 [D]

Mudando para a base 2, temos:

log₂y / log₂8 = log₂6  → log₂y / 3 = log₂6  →log₂y  = 3. log₂6  →log₂y  = log₂6³ → y = 6³ → y = 216

Logo x = 216 /3 = 72 gotas, então 6 < log₂72 < 7.  

4. Escalas logarítmicas são usadas para facilitar a representação e a compreensão de grandezas que apresentam intervalos de variação excessivamente grandes. O pH, por exemplo, mede a acidez de uma solução numa escala que vai de 0 a 14; caso fosse utilizada diretamente a concentração do íon H^- para fazer essa medida, teríamos uma escala bem pouco prática, variando de 0,00000000000001 a 1.

Suponha que um economista, pensando nisso, tenha criado uma medida da renda dos habitantes de um país chamada Renda Comparativa (RC), definida por RC = log(R/R₀)

em que R é a renda, em dólares, de um habitante desse país e R₀ é o salário mínimo, em dólares, praticado no país. (Considere que a notação log indica logaritmo na base 10).

As rendas, em dólares, de Paulo e Rafael, dois habitantes desse país, são respectivamente iguais a R₁  e R_2, se a Renda Comparativa de Paulo supera a de Rafael em 0,5, então a razão R₁/R₂ vale aproximadamente  

a) 5,0.   

b) 3,2.   

c) 2,4.   

d) 1,0.   

e) 0,5.   

Resposta da questão 4:
 [B]

Do enunciado, segue que

RC₁ = RC₂ + 0,5 →log(R₁/R₀) = log(R₂/R₀) + 0,5

log(R₁/R₀) -  log(R₂/R₀) + 0,5 → log(R₁/R₂) = 0,5→R₁/R₂=10^0,5=√10≈3,2

  

5. O conceito de número primo, um número natural maior que 1, divisível apenas por 1 e por ele mesmo, remonta aos matemáticos da Grécia Antiga. Por volta de 350 a.C., Euclides provou que qualquer número inteiro maior que 1 ou é primo ou pode ser escrito como o produto de números primos de forma única, exceto pela ordem em que os primos são escritos. Essa propriedade, que é formalizada por meio do teorema fundamental da aritmética, pode ser transposta à química, estabelecendo uma comparação entre números primos e átomos: blocos fundamentais a partir dos quais os números/estruturas moleculares são construídos. Assim como conhecer a estrutura molecular única de uma substância pode nos dizer muito sobre suas propriedades, conhecer a decomposição única de um número em fatores primos pode nos dizer muito sobre suas propriedades matemáticas.

Euclides provou indiretamente que existem infinitos números primos ao mostrar que não existe o maior número primo. Supondo que existisse tal número e representando-o pela letra P, Euclides provou que, ao se multiplicar todos os números primos de 2 a P, incluindo estes, e acrescentando-se 1 ao resultado, obtém-se um novo número primo, naturalmente maior que P.

Outro fato importante é que, à medida que se consideram números cada vez maiores, os primos parecem escassear. Enquanto existem 4 primos menores que 10, existem apenas 25 menores que 100, só 168 menores que 1.000 e 1.229 menores que

10.000. Podemos considerar esses dados como a taxa média segundo a qual os primos surgem: 0,4 abaixo de 10; 0,25 abaixo de 100; 0,168 abaixo de 1.000; e 0,1229 abaixo de 10.000. Essas quantidades podem ser tomadas como “densidades” (D_N) dos primos menores ou iguais ao número natural N, calculadas assim: D_N =P(N)/N,

 em que P(N) é o total de primos menores ou iguais a N. Assim, ficam as perguntas: D_N diminui à medida que N aumenta, ou chega-se a um ponto em que a situação se inverte e encontram-se agrupamentos de primos? Existe algum tipo de padrão para a maneira como os primos se localizam no conjunto dos números naturais, ou eles se distribuem de maneira caótica?

Em 1791, quando tinha apenas 14 anos de idade, Gauss percebeu que a densidade dos primos é aproximadamente igual a 1/ln(N), em que ln(N) é o logaritmo natural de N. De acordo com Gauss, quanto maior for N, melhor será essa aproximação. De acordo com o texto, Euclides provou de maneira indireta que a quantidade de números primos existentes é infinita. Um fato fundamental utilizado por ele para chegar a essa conclusão é que

a) o produto de números primos distintos maiores que um número natural P fixado resulta em um número primo.   

b) as potências inteiras de um número primo acrescidas de uma unidade resultam em um número primo.   

c) o produto de números primos distintos acrescido de uma unidade pode gerar um número primo.   

d) o acréscimo de uma unidade a um número infinitamente grande resulta em um número primo.   

  

Resposta da questão 5:
 [C]

Consideremos o número primo 7. Como 7 = 23 +1, temos que 7 pode ser escrito como o produto de dois números primos distintos (2 e 3) acrescidos de uma unidade.  

6. A magnitude de um terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, na base 10, do inverso da concentração de íons H⁺.

Considere as seguintes afirmações:

I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justifica-se pelas variações exponenciais das grandezas envolvidas.

II. A concentração de íons H⁺ de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma solução alcalina com pH 8.

III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro, de magnitude 3.

Está correto o que se afirma somente em

a) I.   

b) II.   

c) III.   

d) I e II.   

e) I e III.   

Resposta da questão 6:
 [D]

I. Correta, uma vez que função logarítmica e função exponencial são funções inversas. log_ab = k Þ a^k = b (b > 0).

II. Correta. pH = log₁₀ 1/[H^-] Þ 10^ph= [H⁺]^-1Þ[H⁺]=10^-ph

Assim: [H⁺]₁=10^-4 e [H⁺]₂=10^-8 Þ[H⁺]₁/[H⁺]₂ = 10^-4/10^-8= 10⁴= 10000.

III. Errada. O enunciado afirma que a magnitude (M) é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia liberada (E) no abalo. Transformando essa afirmação numa sentença matemática temos: M = k log₁₀E, sendo k a constante de proporcionalidade. Assim, com M₁ = 6  e  M₂ = 3, vem:

6 = k log₁₀E₁  e  3 = k log₁₀E₂ Þ 6/3 = klogE₁/klogE₂ =2ÞlogE₁/logE₂=2 Þ logE₁=2logE₂ Þ E₁=(E₂)².

Na afirmação consta que E₁ = 2 E₂^.