Razão
Chamamos razão de um número a para um
número b, com b ¹ 0, nessa ordem, ao quociente de a para
b.
a / b ou a : b ( onde a é o antecedente e b o consequente )
Exemplo:
Em uma sala de aula de 48 alunos, 30 são
meninas.
Qual a razão entre o nº de meninas e
meninos? Resp.: 30 / 18
Qual a razão entre o nº de meninas e o nº
de alunos? Resp.: 30 / 48
Qual a razão entre o nº de alunos e o nº de
meninos? Resp.: 48 / 18
Proporção
Chamamos proporção a igualdade entre duas razões.
a / b =
c / d ou a : b
:: c : d
( a esta para b assim
como c esta para d ), onde b e c são os meios e
a e d os extremos.
Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao
produto dos meios.
Portanto:
a . d = b . c
Exemplo:
Determine
o valor de x na proporção 6 / 5 = 48 / x .
6 / 5 = 48 / x → 6 . x = 48 . 5 → 6x = 240 → x = 240 / 6
→ x = 40
Propriedades da Proporção
a / b
= c / d = (a + c) / (b + d) = (a - c) / (b - d)
Porcentagem
Chamamos porcentagem ou percentagem toda razão centesimal
(o consequente é 100) que é representada pelo símbolo %,
que significa
por cento.
Exemplo:
Quanto
corresponde 20% de 1200?
20 / 100
de 1200 = 20 / 100 . 1200 = 240
Note:
Geralmente um problema de porcentagem ou é
de acréscimo ou de desconto.
Se for de acréscimo: 1200 + 240 = 1440
Se for de desconto: 1200 – 240 = 960
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:
1.A razão entre dois números é 3/8. Se a soma do maior com
o dobro do menor é 42, então qual o maior deles
?
Resolvendo
o sistema x/y = 3/8 e y + 2x = 42, vem : x = 3y/8 e y +2x = 42→ y + 2.3y/8 = 42
→8y + 6y = 336 →14y = 336→y = 24 e x = 9. Portanto o maior é 24
2. O número 1,35
corresponde a 15% de x . Determine o valor de x2 + 20.
Como 1,35 = 15% de x → 1,35 = 15x/100→ 135 = 15x →x = 135/15 → x = 9.
Portanto x2
+ 20 = 92 + 20 = 101
3. Descontos
sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto de a% ,
determine o valor de a .
Para
facilitar a resolução vamos admitir um valor inicial, por exemplo 100.
Então, 20% de 100 = 20 ( 10 desconto ) ;
30% de 80 = 24 ( 20 desconto ).
Portanto os
dois descontos equivalem a um único de 44%, a = 44.
4. Num lote de
1000 peças , 65% são do tipo A e 35% são do tipo B. Sabendo-se que 8% do tipo A
e 4% do tipo B são defeituosas, quantas peças defeituosas deve haver no lote?
Vejamos :
65% do tipo A → 65% de 1000 = 650 peças e
35% do tipo
B → 355 de 1000 = 350 peças.
Defeituosas
; 8% do tipo A = 8% de 650 = 52 e
4% do tipo
B → 4% de 350 = 14.
Portanto o
total de peças defeituosas é 52 + 14 = 66.
6. Numa turma, 80% dos alunos foram aprovados,
15% reprovados e os 6 alunos restantes desistiram do curso. Na turma haviam
quantos alunos ?
Observando que 80% foram aprovados e 15%
reprovados, então 5% desistiram do curso.
Então 5% de x = 6→ 5x/100 = 6 → 5x = 600 → x =
120.
Portanto na turma haviam 120 alunos
Grandezas
Proporcionais
A. Grandezas
Diretamente Proporcionais
Chamamos duas grandezas x e y, y ¹ 0, de diretamente
proporcionais se o quociente entre elas for constante.
x / y = k, se y ≠ 0
onde k é uma constante de proporcionalidade ( k Є R* )
Exemplo:
Consideremos um automóvel a 60Km/h,
observemos a relação entre distância e tempo:
Distancia (km) : 60
120 180 240
..........
Tempo (h) :
1 2 3 4
..........
Como o quociente, distância e
tempo, é constante, então as grandezas são diretamente proporcionais, e a
constante de proporcionalidade é 60Km/h, a velocidade do automóvel.
B. Grandezas
Inversamente Proporcionais
Chamamos duas grandezas x e y, de inversamente proporcionais se o produto
entre elas for constante.
x . y = k, se y ≠ 0
onde k é uma constante de proporcionalidade ( k Є R* )
Exemplo:
Consideremos um automóvel a
percorrer 240km, observemos a relação velocidade e tempo :
Velocidade (km/) : 40
80 120 ..........
Tempo (h) :
6 3 2
..........
Como o produto, velocidade e
tempo, é constante, então as grandezas são inversamente proporcionais, e a
constante de proporcionalidade é 240km, a distância a percorrer.
C. Aplicação:
Divisão Proporcional
Desejando-se dividir um certo número N (suponhamos: x, y
e z) em partes proporcionais aos números a, b, c, então:
Se diretamente proporcional : x/a=y/b=z/c=(x+y+z)/(a+b+c)
Se inversamente proporcional : x/1/a=y/1/b=z/1/c=(x+y+z)/(1/a+1/b+1/c)
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
:
1. Sabendo que os números
2a + 1; 4 e 2b + 5 são diretamente proporcionais a 1; 2 e 3 , então qual o
valor de a + b ?
Então (2a+1) / 1 = 4 / 2 = (2b+5) / 3
2a+1= 2 → 2a = 1→ a = 1/2 e 2b + 5 = 6 →2b = 1→ b = ½
Portanto a + b = 1/2 + 1/2 = 1
2. Uma estrada de 315 Km de extensão foi
asfaltada por 3 equipes, A, B e C, cada uma delas atuando em um trecho
diretamente proporcional aos números 2, 3 e 4 respectivamente. Qual o trecho da
estrada asfaltada pela turma C ?
Vejamos, 3
equipes ( A, B e C ) diretamente proporcionais a 2 , 3 e 4.
Portanto A/2
= B/3 = C/4 = (A+B+C) / (2+3+4) = 315 / 9 = 35 ( constante )
Então A/2 =
35 →A = 70, B/3 = 35 → B = 105 e C/4 = 35 → C = 140.
Portanto a
turma C asfaltará 140 km.
Regra de Três
Chamamos regra de três um processo prático de resolução
de problemas envolvendo grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.
Uma regra de três poderá ser simples, se apresentar apenas duas grandezas, ou
composta, se apresentar mais de duas grandezas.
EXERCÍCIOS DE
FIXAÇÃO :
- A
combustão de 30g de carbono fornece 110g de gás carbônico. Quantos gramas
de gás carbônico são obtidos com a combustão de 48g de carbono?
Como 30g de carbono fornece 110g de gás , então 48g fornecerão x.
30 g → 110
g
48 g → x
30/48 = 110/x
→ 30x = 48 . 110 → x = 48.110/30 → x = 176g.
Portanto
48g de carbono fornecerão 176g de gás carbônico.
- Com
a velocidade média de
Com a
velocidade média de 75 km
/ h um ônibus faz um percurso em 40 min, então se fizer o percurso em uma hora,
mais tempo, é porque sua velocidade diminuiu.
75km/h →40min
X →1h(60min)
75/x =
60/40 → 60 x = 75 . 40 → x = 75.40 /60→ x = 50km/h
Portanto a
velocidade no percurso de volta foi de 50km/h.
Estudo das
Médias :
A . Média Aritmética
Denominamos Média Aritmética de uma certa quantidade “n”
de números o quociente entre a soma destes números e a sua quantidade.
ma = ( a + b
+ c + ... ) / n
B . Média
Geométrica
Denominamos Média Geométrica ou Proporcional de uma certa
quantidade “n” de números positivos, a raiz enésima do produto destes números.
mg = n√a . b . c ...
C. Média
Ponderada..
Denominamos Média Ponderada de uma certa quantidade de
números, cada um associado a sua respectiva importância (normalmente chamada de
peso), o quociente entre a soma dos produtos de cada número por sua importância
e a soma destas importâncias.
Números
: a , b , c, ... Importâncias : α, β,
γ, ...
mp = ( a.α + b.β
+ c.γ + ... ) / ( α + β + γ + ... )
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO :
1. Um determinado aluno obteve em Matemática,
nas quatro unidades, em uma certa escola, 7,3; 6,8; 5,4 e 6,5. Se a média desta
escola é 6,0, o que podemos afirmar sobre o resultado deste aluno?
Vejamos, a
média do aluno será ma = (7,3 + 6,8 + 5,4 + 6,5) / 4 = 6,5.
Portanto
como a média do aluno ( 6,5 ), foi maior do que a média desta
Escola (
6,0 ), então o aluno foi aprovado.
2. A tabela abaixo apresenta as notas da
avaliação em provas de Matemática durante um ano letivo, com seus respectivos
pesos:
|
PROVA
|
I
|
II
|
III
|
IV
|
V
|
|
NOTA
|
5,0
|
3,0
|
4,5
|
5,0
|
?
|
|
PESO
|
1
|
2
|
2
|
2
|
3
|
Se o aluno foi aprovado com média final ponderada igual a
5,4, calculada entre as cinco provas, então qual a nota que obteve na prova V ?
Como a
média final, ponderada, do aluno foi 5,4, vem :
Mp
= (5.1 +3.2 + 4,5.2 +5.2 +x.3)/1+2+2+2+3 = 5,4 → 5 + 6 + 9 + 10 + 3x = 54
30 + 3x =
54 → 3x = 54 – 30 → 3x = 24 →x = 8.
Portanto a
média na quinta prova foi 8,0.
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