QUESTÕES VESTIBULAR Efomm 2017 - COMENTADAS

           

1.  Dado f(x) = x + a, f(g(x)) = ( senx + a² + a ) / ( a + 1 ) e g(¶/4) = √2/8.

Determine o valor de a .

a) 0   

b) 1   

c) 2   

d) 3   

e) 4   

Resposta da questão 1:
 [D]

Se f(g(x)) = ( senx + a² + a ) / ( a + 1 ) então g(x) + a  = ( senx + a² + a )/(a +1)

Fazendo x = ¶/4, temos:

g(¶/4) + a  = ( sen¶/4 + a² + a )/(a +1) → √2/8 + a  = ( √2/2 + a² + a )/(a +1)

√2/8 . a + a² + √2/8 + a = √2/2 + a² + a  → √2/8 . a = √2/2 - √2/8 →  a = 3

                                                                                                                      

2. Determine uma matriz invertível P que satisfaça a equação P^-1. A = Q , onde Q(2x2) é tal que q₁₁ = 5, q₁₂ = q₂₁= 0 e q₂₂ = -2; sendo A(2x2) tal que a₁₁ = 1, a₁₂ = -2, a₂₁ = a₂₂  = 3.   

                                                           

a) P(2x2), tal que p₁₁ = 5/3, p₁₂ = 10/9, p₂₁= 2/3 e p₂₂ = -2/9   

b) P(2x2), tal que p₁₁ = 2, p₁₂ = 10, p₂₁= 6 e p₂₂ = -15      

c) P(2x2), tal que p₁₁ = 1/5, p₁₂ = 1, p₂₁= 3/10 e p₂₂ = -3/10      

d) P(2x2), tal que p₁₁ = -2/9, p₁₂ = -2/3, p₂₁= -10/9 e p₂₂ = 5/3      

e) P(2x2), tal que p₁₁ = 1/5, p₁₂ = 1, p₂₁= 3/5 e p₂₂ = -3/2   

Resposta da questão 2:
 [E]

                                                                             x    y

Admitindo que a matriz P seja dada por P =             , e que:

                                                                             z   w

                5    0          x    y        5    0       1    -2

P^-1.A =              →              .               =

                0   -2         z    w        0   -2       3     3

         

Temos então a equação matricial.

5x   -2y     1   -2

              =            → x = 1/3, y = 1, z = 3/5 e w = -3/2

5z   -2w     3    3

                                                                       1/5     1

Portanto a matriz P será dada por: P =

                                                                       3/5   -3/2

 

3. Dado o sistema linear abaixo, analise as seguintes afirmativas:

   3x + 4y – 6z = -3

   16y + bz = a

   x – 4y + 2z = 3

I. Se b ≠ - 12, o sistema linear terá uma única solução.

II. Se a = b = - 12, o sistema linear terá infinitas soluções.

III. Se b = -12, o sistema será impossível.

a) Todas as afirmativas são corretas.    

b) Todas as afirmativas são incorretas.    

c) Somente as afirmativas I e III são corretas.   

d) Somente as afirmativas I e II são corretas.    

e) Somente as afirmativas II e III são corretas.   

Resposta da questão 3:
 [D]

Faremos, agora, a discussão do sistema em função dos parâmetros a  e b

O primeiro passo será o cálculo do determinante dos coeficientes:

Δ = 192 +16b

O sistema Linear terá solução única se:

Δ ≠ 0 → 192 +16b ≠ 0 → b ≠ -12

Verificando o que acontece com o sistema quando b = -12 temos:

3x + 4y – 6z = -3      

16y - 12z = a        

 x – 4y + 2z = 3

x - 4y + 2z = 3 

3x + 4y – 6z = -3    

16y - 12z = a        

O próximo passo é o escalonamento do sistema, vamos multiplicar a primeira equação por -1 e somar com a segunda, trocando a segunda equação pela equação obtida.

x - 4y +2z = 3      

0 +16y - 12z = -12        

 0 +16y -12z = a

Multiplicando, agora, a segunda equação por -1 e somando com a terceira, temos:

x - 4y +2z = 3      

0 +16y - 12z = -12        

 0 + 0 + 0 = a + 12

O sistema terá infinitas soluções se b = a = -12 e será impossível se b = -12 e a ≠ - 12.

Portanto, somente as afirmativas [I] e [II] são corretas.  

  

4. Seja g(x) = 4 - cosx e f '(x) = 4x – e^2x . Sabendo-se que f(0) = g(0), determine f(x).

a) f(x) = 3 – 2x   

b) f(x) = 2x² – 0,5e^2x + 7/12   

c) f(x) = e^-2x – 6x – 2/3   

d) f(x) = e^2x – x² + 2     

e) f(x) = e^2x + senx – 3      

Resposta da questão 4:
 [B]

f(x) = ∫ f '(x) dx = ∫ (4x – e^2x) dx = ∫ 4xdx - ∫ 2^x dx = 4∫xdx – 1/2∫ e^x2dx =

2.x² + C₁ – e^2x/2 + C₂ = 2x² - e^2x/2 + C₁ + C₂

Considerando que C₁ + C₂  = C, temos: f(x) = 2x² + e^2x/2 + C

Como f(0) = g(0), podemos escrever que: 2.0² – e^2.0/2 + C = 4 – cos0

-1/2 + C = 4 – 1 → c = 3 + 1/2 = 7/2. Portanto, f(x) = 2x² + e^2x/2 + 7/2

  

 

5. Seja A o ponto de intersecção entre as retas

r₁ : x = z + 3 e y = -2z – 1

r₂ : x = 1 – 5t ; 2y = -3 + 2t e z = 5 + 9t

e seja B o ponto de intersecção entre as retas

r₃ : (x+2)/4 = (y-1)/-3 = z + 1

r₄ : 2x = 15 + 5t ; 2y = 8 + 3t e 2z = 2 + t

Defina a equação do plano mediador entre os pontos A e B.

a) 3x – 2y – 2z – 6 = 0   

b) 1,5x + 5y – 0,75z – 1 = 0   

c) 55x – 37y + 12z = 1   

d) 2x – 3y + z – 12 = 0   

e) -28x + 12y – 8z + 64 = 0   

Resposta da questão 5:
 [E]

Determinando, inicialmente o ponto A,

r₁ : x = z + 3 e y = -2z – 1 → x = k + 3 ; y = -2k – 1 e z = k

r₂ : x = 1 – 5t ; 2y = -3 + 2t e z = 5 + 9t → x = 1 – 5t ; 2y = -3 + 2t e z = 5 + 9t

Das equações paramétricas acima , podemos escrever que:

k + 3 = 1 – 5t e 5 + 9t = k → 5t + k = -2 e 9t – k = -5

Resolvendo o sistema, temos: t = -1/2 e k = 1/2

Logo, o ponto A será dado por A = ( 7/2, -2, 1/2 )

O próximo passo será a determinação do ponto B,

r₃ : (x+2)/4 = (y-1)/-3 = z + 1 → x = 4k – 2, y = -3k + 1 e z = k - 1

r₄ : 2x = 15 + 5t ; 2y = 8 + 3t e 2z = 2 + t

Temos então o seguinte sistema linear:

8k – 4 = 15 + 15t  e -6k + 2 = 8 + 3t → 8k – 5t = 19 e 10k + 5t = -10

Resolvendo o sistema, temos: k = 1/2 e t = -3

Temos, então o ponto B = ( 0, -1/2, -1/2 )

Determinando agora o vetor com origem em A e extremidade em B,

AB = ( -7/2, 3/2, -1 ) que é paralelo ao vetor ( 7, -3, 2 )

Calculando também o ponto médio do segmento AB, temos:

M = ( (7/2 +0)/2 , (-2-1/2)/2 , (-1/2+1/2)/2 ) = ( 7/4, -5/4, 0 )

Portanto, a equação do plano mediador do segmento AB será dada por:

7.(x – 7/4 ) – 3.( y + 5/4 ) + 2z = 0→ -28x + 12y -8z +64 = 0  

  

6. Um paralelepípedo formado pelos vetores u = (a,a,a), v = (2a,2a,3a)  e

w = (2a,a,a), com a ϵ R, tem volume igual a 8. Determine o valor de a.

a) 1

b) 2   

c) 3/2   

d) 3   

e) 5/2   

Resposta da questão 6:
 [B]

O volume V do paralelepípedo, através do produto misto, será dado por:

         a     a     a

V =   2a   2a   3a   = | a³ | = 8

        2a    a     a

7. Seis alunos da EFOMM – três paranaenses, dois cariocas e um alagoano – são colocados em uma fila aleatoriamente. Qual é a probabilidade, então, de que nenhum conterrâneo fique ao lado do outro?

a) 3/31   

b) 1/36   

c) 1/4   

d) 1/12   

e) 1/6   

  

Resposta da questão 7:[E]

Temos ao todo 10 formações possíveis para a sequência, considerando

que P seja um aluno paraibano, C seja um aluno carioca e A seja o aluno

alagoano, temos:

PCPAPC

PCPACP

PCPCPA

PCPCAP

PCAPCP

PACPCP

PAPCPC

CPCPAP

CPAPCP

APCPCP

Para cada uma dessas sequências possíveis temos 3!.2.1 = 12

possibilidades, ou seja, 12.10 = 120 filas possíveis.

Logo a probabilidade pedida será dada por: P = 120/6! = 1/6

  

8. Analise as afirmações que se seguem.

I. Se x, y, z são números reais positivos, então (x+y+z) / 3  ≥  ³√x.y.z

II. Se z é um número complexo de módulo unitário que satisfaz a condição z²ⁿ ≠ -1, sendo n um número inteiro positivo, então zⁿ / (1+z²ⁿ) é um número real.

III. Se A_4,3 representa a matriz dos coeficientes de um sistema linear com quatro equações e três incógnitas, esse sistema será possível e determinado sempre que o posto desta matriz A for menor ou igual a 3.

Então, pode-se dizer que :

a) todas as afirmativas são verdadeiras.   

b) todas as afirmativas são falsas.   

c) somente as afirmativas I e II são verdadeiras.   

d) somente as afirmativas I e III são verdadeiras.   

e) somente as afirmativas II e III são verdadeiras.   

Resposta da questão 8:[C]

[I] A média Aritmética é sempre maior que a média geométrica para

qualquer número n de termos. Portanto, a afirmação é verdadeira.

[II] Considerando zⁿ = a + bi, onde a e b são números reais, podemos

escrever que: zⁿ/(1+z²ⁿ) = (a+bi)/[1+(a+bi)² = (a+bi)/(1+a+2abi-b²)

Como |z | = 1 → √(a²+b²) = 1 → a²+b² = 1 → a²=1-b² .Temos então:

zⁿ/(1+z²ⁿ) = (a+bi)/(1+a+2abi-b²) = (a+bi)/(2a²+2abi) = (a+bi)/2a(a+bi) = 1/2ª

Como a é um número real concluímos que  zⁿ/(1+z²ⁿ)  é um número real

para z²ⁿ≠-1  portanto a afirmação é verdadeira.

[III] O sistema será possível e determinado quanto o posto da matriz A for

3. Portanto a informação é falsa.  

  

9.Sobre uma equação linear de grau n é INCORRETO afirmar que :

a) terá n raízes complexas.   

b) se n for ímpar, sempre terá, ao menos, uma raiz real.   

c) se um número complexo z = a + bi¸ b ≠ 0  for raiz, então seu conjugado também o será.   

d) a equação não pode ter raízes repetidas.   

e) uma equação acima de grau 4 pode ter todas as raízes reais.   

Resposta da questão 9:ANULADA

Questão anulada no gabarito oficial.

[A] Verdadeira: O teorema fundamental da Álgebra nos garante isso.

[B] Falsa: Seria verdadeira se a equação tivesse apenas coeficientes reais.

[C] Falsa: A equação deverá ter coeficientes reais.

[D] Falsa: Algumas equações apresentam raízes com multiplicidade maior

que 1, Ex: (x-1)⁴ = 0, o número 1 é raiz quatros vezes desta equação.

[E] Verdadeira: A equação (x-1)⁴  possui as 4 raízes iguais a 1.

A questão foi anulada, pois há duas opções corretas, A e E  

  

10. Considere a equação x⁴ – 2ax³ + 9ax² – 6ax +9a = 0. Sabendo que a é raiz dupla dessa equação e não é nulo, determine o valor de a.

a) -1   

b) 1   

c) 2   

d) 3   

e) 4   

Resposta da questão 10:ANULADA

Questão anulada no gabarito oficial.

Se a é raiz dupla podemos dividir o polinômio x⁴ – 2ax³ + 9ax² – 6ax +9a  

consecutivamente por (x-a).

 

Resolvendo a equação, temos:

18 a² -2 a³ – 6a = 0 → -2a . ( a² - 9a + 3 ) = 0

Resolvendo a equação, temos: a=0 ou ( a² - 9a + 3 ) = 0 → a = (9±√69)/2

Portanto, não há alternativa correta.  

  

11. Calcule o determinante da matriz A de ordem n:

 

Resposta da questão11: [A]

 

  

12.Sobre a função f(x) = (1+x) / x², analise as afirmativas:

I. f(x) é contínua em todo x ε R

II. lim_x→-∞f(x) = lim_x→+∞f(x)

III. lim_x→0 = +∞

Então, pode-se dizer que

a) todas as afirmativas são verdadeiras.   

b) todas as afirmativas são falsas.   

c) somente as afirmativas I e II são verdadeiras.   

d) somente as afirmativas I e III são verdadeiras.   

e) somente as afirmativas II e III são verdadeiras.   

Resposta da questão 12:[E]

[I] Falsa: A função não é contínua para x=0.

[II] Verdadeira: lim_x→+∞ = (1+x)/x² =  lim_x→+∞ = 1/x² + lim_x→+∞ = 1/x = 0 + 0 = 0

                          lim_x→-∞ = (1+x)/x² =  lim_x→-∞ = 1/x² + lim_x→-∞ = 1/x = 0 + 0 = 0

[III] Verdadeira: lim_x→0 = (1+x)/x² =  lim_x→0 = 1/x² = +∞

  

13. Para que a função seja f(x) = (5x³ – 10x²) / (x-2) , para x ≠ 2 e k para x = 2 contínua, para todo valor de x, qual será o valor de k ?

a) 2   

b) 10   

c) 20   

d) 40   

e) 50   

  

Resposta da questão 13:[C]

lim_x→2 (5x³ – 10x²) / (x-2) = lim_x→2 5x²(x – 2) / (x-2) = lim_x→2 5x² = 20

Para que a função seja contínua para x=2, devemos ter:

f(2) = (5x³ – 10x²) / (x-2), ou seja: k=20.  

14. A equação da reta tangente ao gráfico da função  

f(x) = 5^senx no ponto x = 0 é:

a) y = (ln5)x + 1   

b) y = (-ln5)x - 1      

c) y = 5x + 1      

d) y = x + 1      

e) y = -x + 1      

  

Resposta da questão 14: [A]

Calculando, inicialmente, o valor da função para x=0 e obtendo o ponto de

tangência: f(0) = 5^sen0 = 5⁰  = 1.

Logo, o ponto de tangência será dado por T(0,1).

O próximo passo será o cálculo da derivada da função f(x) = 5^senx ,

f ^'(x) = 5^senx . ln5 . cosx.

O valor do coeficiente angular da reta tangente será f ^'(0) . Portanto

f ^'(0) = 5^sen0 . ln5 . cos0 = ln5.

Utilizando a equação fundamental de uma reta, podemos escrever que:

y – 1 = ln5(x-0) → y = (ln5)x + 1.

Portanto, a equação da reta tangente será dada por y = (ln5)x + 1.   

15. Calcule a integral indefinida ʃ tgx.[1 +(senx.secx)²]dx.

a) (sec²x)/2 + c   

b) tgx.secx + 2x + c   

c) cosx + 2senx – secx + c   

d) (2cosx – sen2x) / 3 + c   

e) (cos²x)/2 + c   

Resposta da questão 15:[A]

ʃ tgx.[1 +(senx.secx)²]dx = ʃ tgx.(1+tg²x)dx.

Lembrando que a derivada de tgx é 1+tg²x temos:

ʃ tgx.[1 +(senx.secx)²]dx = ʃ tgx.(1+tg²x)dx. = (tg²x)/2 + c^' = (-1+sec²x)/2 + c'

= (sec²x)/2 - 1/2 + c' = (sec²x)/2 + c'

Resolvendo a equação, temos: a³ = -8 ou a³ = 8 → a = -2 ou a = 2

Portanto, a alternativa correta é a [B], a = 2  

16. Sejam as circunferências C₁ : x² + y² – 16 = 0 e C₂ : (x-2)² + (y+2)² = 4. Considere A e B os pontos de intersecção dessas circunferências. Determine a distância entre A e B.

a)  2√7   

b) √14   

c) 2√14   

d) √7   

e) √7 /2   

Resposta da questão 16: [B]

Resolvendo um sistema com as equações das circunferências.

x² + y² = 16  e  x² - 4x + 4 + y² + 4y + 4 = 4

 

Fazendo a diferença entre a primeira e a segunda equações, temos:

 y = x - 5

Substituindo o resultado acima na primeira equação, temos: 2x²-10x+9=0

x = (5 + √7)/2 ou x = (5 - √7)/2.

Entao : A = ( (5 + √7)/2 , (- 5 + √7)/2 ) e B = ( (5 - √7)/2 , (- 5 - √7)/2 )

Logo, a distância entre os pontos A e B será dada por:

d_AB = √ [(5 + √7)/2 -  (5 - √7)/2 )]² + [( - 5 + √7)/2 - (- 5 - √7)/2]² = √14

  

  

17.  O volume da pirâmide delimitada pelos planos coordenados e pelo plano π : 5x – 2y + 4z = 20 é:

a) 20/3 uv   

b) 50/3 uv   

c) 100/3 uv   

d) 100 uv   

e) 200 uv   

  

Resposta da questão 17:[C]

Determinando, inicialmente, os pontos de intersecção com os eixos coordenados:

Intersecção com o eixo x : ( y = 0 e z = 0 ) , 4x = 20 → x = 5

Intersecção com o eixo y : ( x = 0 e z = 0 ) , - 2y = 20 → y = - 10

Intersecção com o eixo z : ( x = 0 e y = 0 ) , 4z = 20 → z = 5

Construímos, então, a seguinte pirâmide (tetraedro trirretângulo):

 

Portanto o volume pedido será dado por: V = 1/3 . 10.4/2 .5 = 100/3