QUESTÕES VESTIBULAR UERJ 2017 – COMENTADAS

1.Considere a matriz A_nx9 de nove colunas com números inteiros consecutivos, escrita a seguir.

                          1      2     3     4     5     6     7    8     9

                         10   11   12   13   14   15   16   17   18  

            A_nx9 =  19   20   21   22   23   24   25   26   27  

                         28   29   30   31   32   33   34   35   36

                        ...    ...    ...    ...    ...    ...    ...    ...    ...

Se o número 18109 é um elemento da última linha, linha de ordem n, o número de linhas dessa matriz é:

a) 2011   

b) 2012   

c) 2013   

d) 2014   

Resposta da questão 1:[C]

Tem-se que os elementos de uma mesma coluna estão em progressão aritmética de razão 9. Logo, sendo 18109 = 9.2013 – 8, podemos concluir que tal número está situado na primeira coluna e na linha n = 2013

 2. . No plano cartesiano a seguir, estão representados o gráfico da função definida por f(x) = x² + 2, com x ϵ R e os vértices dos quadrados adjacentes ABCD e DMNP.

Observe que B e P são pontos do gráfico da função f e que A, B, D e M são pontos dos eixos coordenados. Desse modo, a área do polígono ABCPNM, formado pela união dos dois quadrados, é:

a) 20   

b) 28   

c) 36   

d) 40   

Resposta da questão 2: [D]

Sendo f(0) = 2, vem B=(0,2). Ademais, como ABCD é um quadrado, temos D=(2,0). Finalmente, como f(2) = 6, vem P=(6,2) e, portanto, o resultado é 2² + 6² = 40.  

3.Uma urna contém uma bola branca, quatro bolas pretas e x bolas vermelhas, sendo x > 2. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, é observada e recolocada na urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Se 1/2 é a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam da mesma cor, o valor de x é:

a) 9   

b) 8   

c) 7   

d) 6   

 

Resposta da questão 3:[A]

Sendo x²/(x+5)² , 16/(x+5)² e 1/(x+5)² respectivamente, a probabilidade de retirar duas bolas vermelhas, duas bolas pretas e duas bola brancas, temos  

x²/(x+5)² + 16/(x+5)² + 1/(x+5)² = 1/2→ 2x² + 34 = x² + 10x + 25

x² – 10x + 9 = 0 → x = 9

4.Dois cubos cujas arestas medem 2cm são colados de modo a formar o paralelepípedo ABCDA'B'C'D'. Esse paralelepípedo é seccionado pelos planos ADEF e BCEF, que passam pelos pontos médios F e E das arestas A'B' e C'D' respectivamente. A parte desse paralelepípedo compreendida entre esses planos define o sólido ABCDEF, conforme indica a figura a seguir.

O volume do sólido ABCDEF em cm³ é igual a:

a) 4   

b) 6   

c) 8   

d) 12   

Resposta da questão 4:[C]

O sólido ABCDEF é um prisma triangular de bases ABF e DCE Portanto, a resposta é dada por  1/2 . AB . AA' . AD = 1/2 . 2 . 4 . 2 = 8 cm³  

 

5.Uma pirâmide com exatamente seis arestas congruentes é denominada tetraedro regular. Admita que a aresta do tetraedro regular ilustrado a seguir, de vértices ABCD mede 6cm e que o ponto médio da aresta BC é M.

O cosseno do ângulo AMD equivale a:

a) 1/2   

b) 1/3   

c) 2/3   

d) 2/5

Resposta da questão 5:[B]

Seja l a medida da aresta do tetraedro. Desde que as faces do tetraedro são triângulos equiláteros congruentes, vem DM = AM = l√3/2. Por conseguinte, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo AMD, temos  

AD² = AM² + DM² – 2 . AM . DM . cos AMD

l²  = (l√3/2)² + (l√3/2)² - 2(l√3/2) ^. (l√3/2). cosAMD

3l²/2 . cosAMD = l²/2 → cosAMD = 1/3

  

6.Considere o gráfico a seguir, em que a área S é limitada pelos eixos coordenados, pela reta r, que passa por A(0,4) e B(2,0) e pela reta perpendicular ao eixo x no ponto P(x₀,0), sendo 0 £ x₀ £ 2.

Para que a área S seja a metade da área do triângulo de vértices C(0,0), A e B, o valor de x₀ deve ser igual a:

a) 2 - √2    

b) 3 - √2    

c) 4 - √2    

d) 5 - √2    

Resposta da questão 6:[A]

S_Δ = 4.2/2 = 4 → metade de S_Δ = 2

Reta r → a = (0-4)/(2-0) = -2 → y = -2x + 4

Ponto D = (x₀,y) → y = -2x₀ + 4 com x₀ < 2

S_trapézio = (4 – 2x₀ + 4).x₀/2 = 2 → -2x₀² + 8x₀ – 4 = 0 →x₀² – 4x₀+2 = 0

Δ=8 → x₀ = 2+√2 (não convém pois é > 2) ou x₀ = 2-√2

 

7. Observe a matriz A(2x2)/a₁₁ = 3+t, a₁₂ = -4, a₂₁ = 3 e a₂₂ = t-4.

Para que o determinante dessa matriz seja nulo, o maior valor real de t  deve ser igual a:

a) 1   

b) 2   

c) 3   

d) 4   

Resposta da questão 7:[A]

Tem-se que : (t+3).(t-4) + 12 = 0 → t(t-1) = 0 → t=0 ou t=1

Portanto, como 1>0, segue que a resposta é 1.  

  

8. Um anel contém 15 gramas de ouro 16 quilates. Isso significa que o anel contém 10g de ouro puro e 5g  de uma liga metálica. Sabe-se que o ouro é considerado 18 quilates se há a proporção de 3g de ouro puro para 1g de liga metálica. Para transformar esse anel de ouro 16 quilates em outro de 18  quilates, é preciso acrescentar a seguinte quantidade, em gramas, de ouro puro:

a) 6   

b) 5   

c) 4   

d) 3   

Resposta da questão 8: [B]

Seja x a quantidade de ouro puro desejada.

Tem-se que (10+x)/(15+x) = 3/4 → 4x + 40 = 45 + 3x → x = 5g

  

  

9. No esquema abaixo, estão representados um quadrado ABCD e um círculo de centro P e raio r, tangente às retas AB e BC. O lado do quadrado mede 3r.

 

A medida ɵ do ângulo CAP pode ser determinada a partir da seguinte identidade trigonométrica: tg(α-β) = (tgα-tgβ)/1+tgα.tgβ

O valor da tangente de ɵ  é igual a:

a) 0,65   

b) 0,60   

c) 0,55   

d) 0,50   

  

  Resposta da questão 9:[B]

Como tg α = 3r/3r = 1 , tgβ r/4r = 1/4 e ɵ = α – β, então tgɵ = tg(α -β)=

(1 - 1/4 ) / (1 +1.1/4) = 3/4 . 4/5 = 3/5 = 0,6

  

10. Em uma atividade com sua turma, um professor utilizou 64 cartões, cada um com dois algarismos x e y, iguais ou distintos, pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8}. A imagem abaixo representa um tipo desse cartão.

 

Um aluno escolheu um único cartão e efetuou as seguintes operações em sequência:

I. multiplicou um dos algarismos do cartão escolhido por 5,

II. acrescentou 3 unidades ao produto obtido em I;

III. multiplicou o total obtido em II por 2,

IV. somou o consecutivo do outro algarismo do cartão ao resultado obtido em III.

Ao final dessas operações, obteve-se no sistema decimal o número 73.

O cartão que o aluno pegou contém os algarismos cuja soma x + y  é:

a) 15   

b) 14   

c) 13   

d) 12   

Resposta da questão 10: [D]

Tomando arbitrariamente o algarismo x vem :

(5x +3).2 +(y+1)=73→ y = 66 – 10x

Logo, como 1 ≤ y ≤ 8, só pode ser x = 6 e, assim, temos y = 6. 

A resposta é x + y = 12.