QUESTÕES VESTIBULAR Espcex (Aman) 2016-2017 - COMENTADAS

1. Os gráficos de f(x) = 2 e g(x) = x² - |x| têm dois pontos em comum. O valor da soma das abscissas dos pontos em comum é igual a

a) 0   

b) 4   

c) 8   

d) 10   

e) 15   

Resposta da questão 1:[A]

Igualando as duas funções, temos:

x² - |x| = 2 → x² - |x| - 2 = 0→ |x| = (1±3)/2→

|x| = -1 (não convém) ou |x| = 2 → x = 2 ou x = -2

Portanto, a soma das abscissas dos pontos em comum será 0  

 

2. A sequência (a₁, a₂, ... , a₁₀ ), onde a₁ = 3/2, a₂ = 5/2, a₃ = 9/2, ... , a₁₀ = 1025/2 é de tal forma que para cada n ϵ { 1, 2, ..., 10 } temos que a_n = b_n +c_n, onde (b₁, b₂, ... , b₁₀ ) é uma PG com b₁ ≠ 0 e de razão q ≠ ±1 e (c₁, c₂, ... ,c₁₀ ) é uma PA constante. Podemos afirmar que a₁ + a₂ + ... + a₁₀  é igual a :

a) 98   

b) 172   

c) 260   

d) 516   

e) 1028   

Resposta da questão 2:[E]

a₁ + a₂ + ... + a₁₀ = (1/2 +1) + (1/2 + 2) + (1/2 + 4) + ... + (1/2 + 512) =

(1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2)+(1+2+4+8+...+512) =

10 . 1/2 + 1.(2¹⁰ -1)/2-1 = 5 + 1023 = 1028

                                         

3. Considere a matriz

           a     a³ – b³     b

M =    a        a³           0                                            

          2        5           3

Se a e b são números reais não nulos e det(M) = 0 então o valor de 14a² – 21b² é igual a :

a) 15   

b) 28   

c) 35   

d) 49   

e) 70   

Resposta da questão 3: [C]

                 a     a³ – b³     b

det M =    a         a³          0     =  3a⁴  + 5ab – 2a³b – 3a⁴ + 3ab³  =                            

                 2        5           3

ab(5 – 2a² + 3b²) = 0 → a = 0 ou b = 0 ou 5 – 2a² + 3b² = 0

Como a e b não são nulos, devemos considerar que:

5 – 2a² + 3b² = 0 →  2a² - 3b² = 5 .

Portanto, 14a² – 21b² = 7(2a² - 3b²) = 7 . 5 = 35

  

 

4. Um grupo é formado por oito homens e cinco mulheres. Deseja-se dispor essas oito pessoas em uma fila, de modo que as cinco mulheres ocupem sempre as posições 1, 2, 3, 4 e 5, e os homens as posições 6, 7 e 8. Quantas formas possíveis de fila podem ser formadas obedecendo a essas restrições?

a) 56   

b) 456   

c) 40320   

d) 72072   

e) 8648640   

Resposta da questão 4:[C]

Permutando as mulheres nas cinco primeiras posições, temos:

P₅ = 5! = 120

Calculando todas as sequências de três homens possíveis, escolhidos em um total de 8, temos: 8 . 7 . 6 = 336

Portanto, o número de formas possíveis de fila que podem ser formadas e obedecendo a essas restrições são:

P = 120 . 336 = 40320  

 

 

5. Determine o algarismo das unidades da seguinte soma

S = Ʃ_n=1²⁰¹⁶ n!, em que n! é o fatorial do número natural n.

a) 0   

b) 1   

c) 2   

d) 3   

e) 4   

Resposta da questão 5:[D]

S = Ʃ_n=1²⁰¹⁶ n! = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + ...

O último algarismo da soma acima é igual ao último algarismo da soma: 1 + 2 + 6 + 24 = 33, já que a partir do fatorial de cinco todos os últimos algarismos valem zero. Portanto, o último algarismo da soma pedida é 3.  

 

6.O valor da expressão E = (999)⁵ + 5.(999)⁴ + 10.(999)³ + 10.(999)² + 5.(999) + 1 é igual a :

a) 9 . 10³   

b) 9 . 10¹⁵   

c) 10¹⁵   

d) 999999   

e) 999 . 10¹⁵   

Resposta da questão 6:[C]

E = (999)⁵ + 5.(999)⁴ + 10.(999)³ + 10.(999)² + 5.(999) + 1 = (1 + 999)⁵ =

(10³)⁵ = 10¹⁵

 

7. A probabilidade de um casal ter um filho de olhos azuis é igual a 1/3. Se o casal pretende ter 4 filhos, a probabilidade de que no máximo dois tenham olhos azuis é :

a) 1/9   

b) 7/9   

c) 8/9   

d) 2/3   

e) 1/2   

Resposta da questão 7:[C]

Probabilidade do casal não ter filhos com os olhos azuis:         2/3.2/3.2/3.2/3 = 16/81

Probabilidade do casal ter apenas um filho com os olhos azuis: C4,1 . 1/3 .( 2/3)³ = 32/81

Probabilidade do casal ter exatamente dois filhos com os olhos azuis: C4,2 . (1/3)².(2/3)² = 24/81

Portanto, a probabilidade pedida será dada por:

 P = 16/81 + 32/81 + 24/81 = 72/81 = 8/9

  

 

8.Seja C a circunferência de equação x² + y² + 2x + 4y + 2 = 0 Considere em C a corda MN cujo ponto médio é P(-1,-1). O comprimento de MN (em unidade de comprimento) é igual a:

a) √2   

b) √3   

c) 2√2   

d) 2√3   

e) 2   

Resposta da questão 8:[C]

Determinando o centro A e o raio r da circunferência:

x² + y² + 2x + 4y + 2 = 0 → (x + 1)² + (y + 2)² = 3

Portanto, A(-1,-2) e r = √3

Sabemos que AP = 1, pois são pontos que estão na mesma reta vertical.

Utilizando o Teorema de Pitágoras podemos determinar o valor de PN:

PN² + 1² = (√3)²→ PN = √2, Logo, MN = 2√2  

 

9.  O número N de bactérias de uma cultura é dado em função do tempo t (em minutos), pela fórmula N(t) = (2,5)^1,2t. Considere log2 = 0,3, o tempo (em minutos) necessário para que a cultura tenha 10⁸⁴ bactérias é :

a) 120   

b) 150   

c) 175   

d) 185   

e) 205   

Resposta da questão 9:[C]

N(t) = (2,5)^1,2t → 10⁸⁴ = (2,5)^1,2t → log10⁸⁴ = log(2,5)^1,2t

84 . log10 = 1,2 . t . log(10/4) → 84 = 1,2t.(log10 – log4)

70 = t . (1 – 2log2) → 70 = t . ( 1 – 2 . 0,3 ) → t = 70/0,4 → t = 175

  

10. A soma das soluções da equação cos 2x – cos x = 0, com x ε [0, 2π), é igual a :

a) 5π/3   

b) 2π   

c) 7π/3   

d) π   

e) 8π/3   

  

Resposta da questão 10:[B]

cos 2x – cos x = 0→cos²x – sen²x – cosx = 0→cos²x –(1-cosx²x) – cosx = 0

2cos²x – cosx – 1 = 0 → cosx = 1 ou cosx = -1/2

 

Logo, x = 2π/3 ou x = 4π/3 ou x = 0.

Portanto, a soma das raízes da equação será dada por: 2π/3+4π/3+0 = 2π