QUESTÕES VESTIBULARES IME e PUCCAMP 2017 – COMENTADAS

  

1. (Ime 2017)  Seja f(x) = √|x-1|+|x-2|+|x-3|+ ... + |x-2017|. O valor mínimo de f(x) está no intervalo:

a) (-∞, 1008]   

b) (1008, 1009]   

c) (1009, 1010]   

d) (1010, 1011]   

e) (1011, ∞)   

Resposta da questão 1:[B]

Supondo que x ϵ (1008, 1009]:

S(x) = ( |x-1|+|x-2|+|x-3|+ ... + |x-2017| ) = -x +   k_, S será decrescente.

Supondo que x ϵ ( 1009, 1010]:

S(x) = ( |x-1|+|x-2|+|x-3|+ ... + |x-2017| ) = -x +   k'_, S será crescente.

X = 1009 → f(x) = √(1008 + 1007 + ... + 1) + 0 + (1 + 2 + ... + 1008) =

√2.(1+1008).1008/2.

f(x)_min = √1009.1008 → 1008 < f(x)_min < 1009

2. (Ime 2017)  Seja M uma matriz real 2x2 Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se desloca para a posição seguinte no

sentido horário, ou seja, se M (2x2) tal que m₁₁ = a, m₁₂ = b, m₂₁ = c e m₂₂ = d implica que f(M)(2x2) tal que f₁₁ = c, f₁₂ = a, f₂₁ = d e f₂₂ = b.

Encontre todas as matrizes simétricas 2x2 reais na qual M² = f(M).

 

Resposta da questão 2: Como queremos M simétrica, pode-se escrever:

 

 

3. (Ime 2017)  Resolva a inequação 9x² / (1 - √3x+1)² > 4, onde x є R.

Resposta da questão 3 :
 Calculando:

9x² / (1 - √3x+1)² > 4 → 1 - √3x+1 ≠ o → 3x + 1 ≥ 0

[9x² / (1 - √3x+1)²] . [(1 - √3x+1)² / (1 - √3x+1)²] > 4→  (1 - √3x+1)²  > 4

1 - √3x+1 > 2 ou 1 - √3x+1 < -2 ( não convem )

1 - √3x+1 > 2 → √3x+1 >1 → x > 0 → S = R₊^*

4. ( Ime 2017 ) Sejam x, y e z números complexos que satisfazem ao sistema de equações abaixo:

      x + y + z  =  7   ,   x² + y² + z²  =  25   e   1/x + 1/y +1/z  =  1/4 

O valor da soma x³ + y³ + z³  é :

a) 210  

b) 235  

c) 250  

d) 320  

e) 325  

Resposta da questão :[B]

(x + y + z)² = x² + y² + z²  + 2.( xy + xz +yz ) = 49 → 25 + 2.( xy + xz +yz ) = 49

( xy + xz +yz ) =  12 ( eq. 1 )

1/x + 1/y +1/z  =  1/4 → 4.(xy + xz +yz) = xyz → 4.12 = xyz →xyz = 48 ( eq. 2 )

Utilizando polinômios e os valores das equações 1 e 2, pode-se escrever:

P(a) = (a-x).(a-y).(a-z) = a³ – a². (x +y +z) + a.(xy +xz +yz) – xyz.

P(x) = 0 → x³ – x². (x +y +z) + x.(xy +xz +yz) – xyz = 0

P(y) = 0 → y³ – y². (x +y +z) + y.(xy +xz +yz) – xyz = 0

P(z) = 0 → z³ – z². (x +y +z) + z.(xy +xz +yz) – xyz = 0

x³ + y³ + z³  = (x +y +z) . (x² + y² + z²) - ( xy + xz +yz ) . (x +y +z) + 3xyz

x³ + y³ + z³  = 7.25 – 12.7 + 3.48 - 235

  

5. (Ime 2017)  Um hexágono é dividido em 6 triângulos equiláteros. De quantas formas podemos colocar os números de 1 a 6 em cada triângulo, sem repetição, de maneira que a soma dos números em três triângulos adjacentes seja sempre múltiplo de 3 ? Soluções obtidas por rotação ou reflexão são diferentes, portanto as figuras abaixo mostram duas soluções distintas.

a) 12  

b) 24  

c) 36  

d) 48  

e) 96  

Resposta da questão 5 :[D]

Fazendo congruência em mod3 pode-se concluir:

- 3 e 6 são côngruos a 0

- 1 e 4  são côngruos a 1

- 2 e 5  são côngruos a 2

Assim, escolhendo a posição do número 6, há seis maneiras de 6.2 = 12 maneiras posicionar o resto (pois a ordem de colocação é fator de diferenciação) e cada no côngruo pode ser escolhido de 2  formas: 2.2 = 4  maneiras. Logo tem-se 6.2.4 = 48 maneiras.  

6. (Ime 2017)  Sejam uma progressão aritmética (a₁ , a₂, a₃, a₄, ...) e uma progressão geométrica (b₁ , b₂, b₃, b₄, ...) de termos inteiros, de razão r e razão q, respectivamente, onde r e q são inteiros positivos, com q > 2 e

b₁ > 0 Sabe-se, também, que a₁ + b₂ = 3,  a₄ +  b₄ = 26.  O valor de b₁ é:

a) 1  

b) 2  

c) 3  

d) 4

e) 5  

 

Resposta da questão 6:[A]

De acordo com os dados do enunciado, pode-se escrever:

PA → a_n = a₁ + (n-1)   e   PG → b_n = b₁ . q^{n – 1}

a₁ + b₂ = 3 → a₁ + b₁ . q = 3 (eq. 1)

a₄ + b₃ = 26 → ( a₁ + 3r ) + b₁ . q² = 26 ( eq. 2 )

Fazendo ( eq. 2 ) - ( eq. 1 ), vem : ( a₁ + 3r ) + b₁ . q² - a₁ - b₁ . q = 26 – 3

 a₁ + 3r  + b₁ . q² - a₁ - b₁ . q = 23→3r + b₁. q.( q – 1 ) = 23→ b₁, q, r ε R₊*, q>2

Analisando os possíveis valores de r :

Caso 1 → r = 1 → b₁. q.( q – 1 ) = 20 = 4 . 5 → q = 5 e b₁ = 1

Caso 2 → r = 2 → b₁. q.( q – 1 ) = 17 → numero primo, sem soluçao

Caso 3 → r = 3 → b₁. q.( q – 1 ) = 14 = 2 . 7 → condição q > 2, sem soluçao

Caso 4 → r = 4 → b₁. q.( q – 1 ) = 11 → numero primo, sem soluçao

Caso 5 → r = 5 → b₁. q.( q – 1 ) = 8 = 2 . 4 → condição q > 2, sem soluçao

Caso 6 → r = 6 → b₁. q.( q – 1 ) = 5  → numero primo, sem soluçao

Caso 7 → r = 7 → b₁. q.( q – 1 ) = 2 → condição q > 2, sem soluçao

Caso 8 → r = 8 → b₁. q.( q – 1 ) < 0 → sem soluçao

  

7. (Ime 2017)  Sejam os pontos A(0, 0), B(-1, 1), C(1, 2), D(4, 1) e E(3, 1/2). A reta r  passa por A e corta o lado CD, dividindo o pentágono ABCDE  em dois polígonos de mesma área. Determine a soma das coordenadas do ponto de interseção da reta r  com a reta que liga C e D.

a) 25/7   

b) 51/14   

c) 26/7   

d) 53/14   

e) 27/7   

 

Resposta da questão 7: [C]

Segundo o enunciado:

Assim, pode-se escrever :

Sistema: 3x – 5y = - 2 e x + 3y = 7 → x = 29/14 e y = 23/14 → x + y = 26/7

  

8. (Puccamp 2017)  Para desbloquear a tela de um aparelho celular, o usuário deve digitar uma senha de três algarismos quaisquer. Note que também são válidas senhas, por exemplo, 088 ou 000. Se a pessoa digita duas vezes a senha errada, o mecanismo de segurança do aparelho trava a tela por uma hora. Rafael esqueceu sua senha, mas lembra que ela formava um número que era: quadrado perfeito, menor do que 900 e múltiplo de 3. Usando corretamente suas três lembranças, as chances de Rafael conseguir desbloquear a tela do seu celular, sem que ela trave por uma hora, são iguais a:

a) 2/9   

b) 2/11   

c) 3/11   

d) 1/3   

e) 1/5   

Resposta da questão 8:[A]

Os quadrados perfeitos menores que 900 e múltiplos de 3 são aqueles cujas raízes também são múltiplas de 3. Como 900 é o quadrado perfeito de 30, os possíveis quadrados perfeitos são aqueles de raízes menores que 30, portanto de 0 a 29. Destes, são serão múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24  e 27. Logo, Rafael terá um total de 9 combinações possíveis, de acordo com as informações que lembrava.

Para que Rafael não trave seu celular, ele deve acertar a senha na primeira ou na segunda tentativa, ou seja:

Acerta 1^a → 1/9

Erra 1^a/ Acerta 2^a →8/9 . 1/8 = 1/9

P_total = 1/9 + 1/9 = 2/9

 

 

9. (Puccamp 2017)  Considere dois troncos de pirâmides retas exatamente iguais. A base maior é um quadrado de lado igual a 2 metros, a base menor um quadrado de lado igual a 2 metro, e a distância entre as bases igual a 2 metro. Um monumento foi construído justapondo-se esses dois troncos nas bases menores, apoiando-se em um piso plano por meio de uma das bases maiores, formando um sólido. Desta maneira, a medida da área da superfície exposta do monumento é, em m² igual a:

a) 4 + 6√5   

b) 8   

c) 12√2 + 4   

d) 16/3   

e) 12√2 - 8   

Resposta da questão 9: [A]

Cada face lateral de cada tronco de pirâmide é um trapézio de base menor 1 e base maior 2. Sendo h a altura do trapézio, pela análise espacial do tronco e utilizando o Teorema de Pitágoras, pode-se escrever:

h² = 1² + [(2-1)/2]² → h = √5/2

A área de cada um dos trapézios será:

S_{facetrapézio} = [(2+1).√5/2]/2 = 3√5/4

A área lateral de cada tronco de pirâmide será:

S_lateral = 4. S_{facetrapézio}  = 4. 3√5/4 = 3√5

A área lateral dos dois troncos será igual a 6√5 e a área da base maior exposta (topo do monumento) será igual a 4. Assim a área total exposta será igual a 4 + 6√5  

 

10. (Puccamp 2017)  Os lados de uma folha retangular ABCD de papel medem 10cm e 6cm, como indica a Figura 1. Essa folha, que é branca de um dos lados e cinza do outro, será dobrada perfeitamente de tal forma que o vértice A irá coincidir com o vértice C, como mostra a Figura 2.

A área do trapézio cinza indicado na Figura 2, em cm², é igual a

a) 23   

b) 30   

c) 25   

d) 40   

e) 45   

Resposta da questão 10:  [B]

Abrindo-se novamente a folha de papel, tem-se:

Assim, pode-se escrever:

base_maior = 10-x , base_menor = x e altura = 6

          S = (10-x+x).6/2 = 60/2 = 30

 

11. (Puccamp 2017)  No mundo da gastronomia muitas vezes é necessário ampliar ou reduzir receitas devido a alterações no número de participantes de determinada refeição. Uma receita propõe a utilização de 280ml de leite na execução de uma sobremesa para 5 pessoas, e há a necessidade de executá-la exatamente para 54 pessoas. Se as embalagens de leite contêm 500ml cada, então, é necessário ter em mãos pelo menos :

a) 2,5l de leite.    

b) 3,5l de leite.    

c) 5,0l de leite.    

d) 4,0l de leite.    

e) 3,0l de leite.    

Resposta da questão 11[B]

Se 280ml → 5 pessoas, então x → 54 pessoas.

Portanto x = 3024ml = 3,024l

Se as embalagens vêm em múltiplos de 0,5l(500ml), então será necessário

ter em mãos, para não faltar leite, 7 caixas ou 3,5l.

  

12. (Puccamp 2017)  O tempo de um dia é medido em um período chamado hora e em número de 24 horas. Esse mesmo tempo poderia ser subdividido em 54 períodos iguais, chamados de TAS. Assim, um dia teria 54TAS. Nesta hipótese, considere subdivisões decimais da unidade de medida TAS. Decorridas 7 horas e 40 minutos de um evento, esse mesmo tempo, medido em TAS, é igual a :

a) 13,5

b) 21,25   

c) 7,25   

d) 15,1

e) 19,75   

Resposta da questão 12:[C]

Se 24h →54TAS, entao 7h → x. Portanto x = 15,75TAS

Se 60min →15,75/7 TAS, então 40min → y. Portanto y = 1,5TAS

7h 40min = 15,75TAS + 1,5TAS = 17,25TAS