QUESTOES Unifesp - 2017 (TIPO ANALITICA) – COMENTADAS

 

1. (Unifesp 2017)  Em um experimento, uma população inicial de 100 bactérias dobra a cada 3 horas. Sendo y o número de bactérias após x horas, segue que y = 100.2^x/3.

a) Depois de um certo número de horas a partir do início do experimento, a população de bactérias atingiu 1677721600. Calcule esse número de horas. (dado: 16777216 = 256³).

b) Sabendo-se que da 45ª para a 48ª hora o número de bactérias aumentou de 100.2^k, calcule o valor de k.

 Resposta da questão 1:
 a) Tem-se que 100.2^x/3 = 1677721600 → 2^x/3 = 16777216 → 2^x/3 = 256³

      2^x/3 = 2²⁴ → x/3 = 24 → x = 72. Portanto, a resposta é 72 horas.

b) O aumento no número de bactérias é tal que 100.2^48/3 - 100.2^45/3 = 100.2^k

      2^k = 2 . 2¹⁵ – 2¹⁵ → 2^k = 2¹⁵( 2 – 1 ) → 2^k = 2¹⁵ → k = 15

       Em consequência, temos k = 15.  

  

2. (Unifesp 2017)  Sofia deveria ter estudado 10 temas de biologia para fazer uma avaliação, porém só estudou 2. Nessa avaliação, ela poderá ser reprovada (R) aprovada com ressalvas (AR) ou aprovada (A). Antes de iniciar a avaliação, a professora de Sofia dá a ela o direito de escolher uma das seguintes estruturas de avaliação:

Avaliação 1 – composta por apenas 2 questões, cada uma tratando de um dos 10 temas (sem repetir os temas), sendo que errar duas implica R, acertar apenas uma implica AR, e acertar as duas implica A.

Avaliação 2 – composta por apenas 3 questões, cada uma tratando de um dos 10 temas (sem repetir os temas), sendo que errar duas ou mais questões implica R, acertar apenas duas implica AR, e acertar as três implica A.

Considere que Sofia sempre acerta questões dos temas que estudou, e que sempre erra questões dos temas que não estudou.

a) Calcule as probabilidades de R, AR e A para o caso de Sofia ter escolhido a avaliação 1.

b) Se Sofia pretende ser aprovada, independentemente de ser com ressalvas (AR) ou diretamente (A), em qual das avaliações ela terá maior chance? Justifique matematicamente sua conclusão por meio de cálculos de probabilidade.

  

Resposta da questão 2:
 a) A probabilidade de R é dada por C_8,2  / C_10,2 = 8!/2!6! ÷ 10!/2!8! = 28/45

A probabilidade de AR é igual a C_2,1 . C_8,1 / C_10,2 = 2.8 ÷ 10!/2!8! = 16/45

    Desde que o único caso favorável para A ocorre quando os dois temas      sorteados são os que Sofia estudou, podemos concluir que a probabilidade de A é 1/45 

b) Conforme (a), Sofia é aprovada na avaliação 1 com probabilidade igual a 17/45. Por outro lado, ela é aprovada na avaliação 2 com probabilidade

C_2,2 . C_8,1 / C_10,3 = 8 ÷ 10!/3!7! = 3/45

Em consequência, como 17/45 > 3/45, podemos afirmar que ela terá mais chance na avaliação 1.   

3. (Unifesp 2017)  Um sólido é formado por 24 cubos idênticos, conforme a figura. O contato entre dois cubos contíguos sempre se dá por meio da sobreposição perfeita entre as faces desses cubos. Na mesma figura também estão marcados A, B, C e D, vértices de quatro cubos que compõem o sólido.

                           

a) Admitindo-se que a medida de AB seja 2√7 cm, calcule o volume do sólido.

b) Calcule a medida de CD, admitindo-se que a medida da aresta de cada cubo que compõe o sólido seja igual a 2 cm.

  

Resposta da questão 3:

 a) Seja l a medida da aresta de cada um dos 24 cubos. Logo, observando que AB é a diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões l, 2l e 3l, vem l² + (2l)² + (3l)² = (2√7)² →14l² + 28 → l = √2cm

    Portanto, o volume do sólido é igual a 24.(√2)³ = 48√2 cm³.

   b) Analogamente ao item (a), CD é a diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 8cm, 10cm e 14cm. Em consequência, temos

    CD² = 8² + 10² + 14² → CD = √360 → CD = 6√10 cm

4. (Unifesp 2017)  Os pontos T e U deslocam-se sobre retas paralelas r₁ e r₂ de tal forma que TU passe sempre pelo centro C de um quadrado PQRS, de lado 2, e forme um ângulo de medida α com r₁, conforme indica, como exemplo, a sequência de cinco figuras.

a) Calcule as medidas de TU nas situações em que α = 45⁰ e α = 90⁰.

b) Denotando TU por y, determine y em função de α e o respectivo domínio dessa função no intervalo de α em que a posição de T varia de P até Q.

Resposta da questão 4:

 a) Quando α = 45, TU corresponde à diagonal do quadrado PQRS Logo, temos TU = 2√2. Por outro lado, quando α = 90⁰,  TU torna-se paralelo aos lados PS e QR. Daí, é imediato que TU = 2.     

     b) Tem-se que sen α = 2/y → y = 2cossecx, com α ε [ π/4, 3π/4]