QUESTOES Unesp 2017 (TIPO ANALITICA) - COMENTADAS

1. (Unesp 2017)  Um cone circular reto de geratriz medindo 12 cm e raio da base medindo 4 cm foi seccionado por um plano paralelo à sua base, gerando um tronco de cone, como mostra a figura 1. A figura 2 mostra a planificação da superfície lateral S desse tronco de cone, obtido após a secção.

Calcule a área e o perímetro da superfície S. Calcule o volume do tronco de cone indicado na figura 1.

Resposta da questão 1:

O perímetro da superfície S é 2.6 + 2π/3 . 6 + 2π/3 . 12 = 12.(π+1) cm.

A área da superfície S é igual a π/360⁰ . 120⁰ . (12² - 6²) = 36π cm².

A altura, h, do cone de raio 4 cm e geratriz 12 cm é dada por 

h² = 12² - 4² → h = 8√2 cm.

Logo, o volume, V, desse cone é V = 1/3 . π . 4² . 8√2 = 128π√2/3 cm³

Por outro lado, sendo k = 6/12 = 1/2 a razão de semelhança entre os dois cones e v o volume do cone menor, temos v/V = (1/2)³ → v = V/8

Portanto, o volume do tronco de cone, V_t, é V_t = V – v = 7/8V→

V_t = 7/8 . 128π√2/3 → V_t  = 112π√2/3 cm³

  

  

2. (Unesp 2017)  Leia a matéria publicada em junho de 2016.

Energia eólica deverá alcançar 10 GW nos próximos dias

O dia mundial do vento, 15 de junho, terá um marco simbólico este ano. Antes do final do mês, a fonte de energia que começou a se tornar realidade no país há seis anos alcançará 10 GW, sendo que o potencial brasileiro é de 500 GW. A perspectiva é a de que, em metade deste tempo, o Brasil duplique os 10 GW.

(www.portalabeeolica.org.br. Adaptado.)

Considerando que a perspectiva de crescimento continue dobrando a cada três anos, calcule o ano em que o Brasil atingirá 64% da utilização do seu potencial eólico. Em seguida, calcule o ano aproximado em que o Brasil atingirá 100% da utilização do seu potencial eólico, empregando um modelo exponencial de base 2 e adotando log2 ≈ 0,3 no cálculo final.

Resposta da questão 2:

Seja p o percentual do potencial eólico utilizado t anos após junho de

2016. Tem-se que p = 10/500 . 2^t/3 , com t ≥ 0. Logo, vem :

10/500 . 2^t/3 = 0,64 → 2^t/3 = 2⁵ → t = 15.

Donde podemos concluir que o Brasil atingirá 64% da utilização do seu potencial eólico em 2016 + 15 = 2031.

Ademais, lembrando que log_ab^c = c . log_ab , com a, b ε R₊^* e a ≠ 1, temos  

10/500 . 2^t/3 = 1 →  2^t/3 = 50 → log 2^t/3 = log 100/2 → t/3 . log 2 = 2.log 10 –

 log2 → t/3 . 0,3 ≈ 2 – 0,3 → t ≈ 17

Portanto, segue que o Brasil atingirá 100% da utilização do seu potencial eólico em 2016 + 17 = 2033.

Observação: O GW é uma unidade de potência, e não de energia.  

  

3. (Unesp 2017)  Uma lancha e um navio percorrem rotas lineares no mar plano com velocidades constantes de 80 e 30 respectivamente. Suas rotas, como mostra a figura, estão definidas por ângulos constantes de medidas iguais a α e β, respectivamente. Quando a lancha está no ponto L e o navio no ponto N, a distância entre eles é de 10 km.

Sendo P o ponto em que a lancha colidirá com o navio, demonstre que o ângulo obtuso LPN será igual a α+β. Em seguida, calcule a distância entre N e P, considerando cos(α+β) = - 9/16.

Resposta da questão 3:

 Considere a figura.

Os ângulos LPM e (α+β) são opostos pelo vértice e, portanto, são congruentes.

Se t é o tempo, em horas, decorrido até o instante do encontro, então

NP = 30t e LP = 80t.  

Daí, vem  Finalmente, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo LNP, encontramos : LN² = NP² + LP² – 2.NP.LP.cos(α+β) →

10² = NP² + (8/3.NP)² – 2.NP. 8/3.NP.(-9/16)→ 100/9 . NP² = 100 → NP = 3 km

  

4. (Unesp 2017)  A figura representa, em vista superior, a casinha de um cachorro (retângulo BIDU) e a área externa de lazer do cachorro, cercada com 35 metros de tela vermelha totalmente esticada.

                           

Calcule a área externa de lazer do cachorro quando x = 6m, Determine, algebricamente, as medidas de x e y que maximizam essa área, mantidos os ângulos retos indicados na figura e as dimensões da casinha.

  

Resposta da questão 4:

a)    Calculando:

x + y + (y - 2) + (x - 1) = 35 → x + y = 19 → 6 + y = 19 → y = 13.

S_externa  = 6 . 13 - (2 . 1) → S_externa  = 76 m²

b)   Calculando:

Como S(x) = x . y - (2 . 1) e x + y =19 → y = 19 – x, então

S(x) = x . (19 - x) - 2 = - x² + 19x – 2 → x_Máx = -19/-2 = 9,5 → y = 9,5

  

5. (Unesp 2017)  Admita que um imposto sobre a renda mensal bruta fosse cobrado da seguinte forma:

Renda mensal bruta (R)	Taxa de imposto sobre a renda mensal bruta (T)
Até R$ 2000,00	Isento
Acima de R$ 2000,00 e até R$ 5000,00	10%
Acima de R$ 5000,00 e até R$ 8000,00	15%
Acima de R$ 8000,00	25%

Nos planos cartesianos abaixo:

 

- esboce o gráfico de T (em %) em função de R (em milhares de reais);

- esboce o gráfico do imposto mensal cobrado C (em centenas de reais) em função da renda mensal bruta R (em milhares de reais) no intervalo de R que vai de R$ 0,00 a R$ 8000,00.

Resposta da questão 5:

Considerando a função C(R) = 0, se 0 ≤ R ≤ 2  ; C(R) = 0,10R, se 2 < R ≤ 5 ;

C(R) = 0,15R, se 5 < R ≤ 8  e C(R) = 0,25R, se  R > 8

6. (Unesp 2017)  Uma peça circular de centro C e raio 12 cm está suspensa por uma corda alaranjada, perfeitamente esticada e fixada em P. Os pontos T e Q são de tangência dos segmentos retilíneos da corda com a peça, e a medida do ângulo agudo TPQ é 60⁰.

                                

Desprezando-se as espessuras da corda, da peça circular e do gancho que a sustenta, calcule a distância de P até o centro C da peça. Adotando π = 3,1 e √3 = 1,7 nas contas finais, calcule o comprimento total da corda.

Resposta da questão 6:

 a) Calculando:

   sen 30⁰ = CQ/CP → 1/2 = 12/CP → CP = 24 cm

   tg 60⁰ = PQ/CQ → √3 = PQ/12 → PQ = PT = 12√3 ≈ 20,4    cm

b) Calculando:

  

    Arco QT → (240/360).2πR = (240/360).24π = 16π

    

    C_CORDA = PQ + PT Arco QT = 12√3 + 12√3 + 16π ≈ 90,4 cm