QUESTOES VESTIBULAR Ufrgs 2017 – COMENTADAS

1. (Ufrgs 2017)  Quadrados iguais de lado 1 são justapostos, segundo padrão representado nas figuras das etapas abaixo.

                          

Mantido esse padrão de construção, o número de quadrados de lado 1 existentes na figura da etapa 100 é :

a) 1331   

b) 3050   

c) 5050   

d) 5100   

e) 5151   

Resposta da questão 1: [E]

Na etapa 1 temos: (1 + 2) quadrados.

Na etapa 2 temos: (1 + 2 + 3) quadrados.

Na etapa 3 temos: (1 + 2 + 3 + 4) quadrados.

Na etapa 100 temos: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100 + 101 = (1 + 101).101/2 = 5151 quadrados.

2. (Ufrgs 2017)  Dadas as funções f e g, definidas por f(x) = x² + 1 e g(x) = x, o intervalo tal que f(x) > g(x) é :

a) ](-1-√5)/2 , (-1+√5)/2[   

b) ]-∞, (-1-√5)/2[ U ](-1+√5)/2, +∞[   

c) ]-∞, (-1-√5)/2[ U ](-1+√5)/2, +∞[   

d) ](-1-√5)/2 , (-1+√5)/2[      

e) (-∞ , +∞)   

 

Resposta da questão 2:[E]

Como f(x) > g(x) → x² + 1 > x → x² – x + 1 > 0 → ∆ = (-1)² – 4.1.1 = - 3.

Portanto a  equação x² – x + 1 = 0  não possui raízes reais, logo                

x² – x + 1 > 0,  para todo o x, concluímos que a solução desta inequação é

o conjunto dos números reais que também poderá ser representado por 

(- ∞, + ∞).  

3. (Ufrgs 2017)  Considere o polinômio definido por p(x) = x² + 2(n+2)x+9n.

Se as raízes de p(x) = 0 são iguais, os valores de n são :

a) 1 e 4 

b) 2 e 3   

c) -1 e 4   

d) 2 e 4   

e) 1 e -4

 

Resposta da questão 3: [A]

Fazendo P(x) = 0, temos: x² + 2(n + 2)x + 9n = 0

Para que as duas raízes sejam iguais devemos considerar o discriminante

Nulo → ∆ = 0 → [2(n+2)]² – 4.1.9n = 0 → n² – 5n + 4 = 0 → n = 1 ou n = 4

  

4. (Ufrgs 2017)  Considere a função y = f(x) representada no sistema de coordenadas cartesianas abaixo.

                                   

O gráfico que pode representar a função y = |f(x+2)| + 1 é :

Resposta da questão 4:[B]

5. (Ufrgs 2017)  Na figura abaixo, encontram-se representados quadrados de maneira que o maior quadrado Q1  tem lado 1. O quadrado Q2 está construído com vértices nos pontos médios dos lados de Q1; o quadrado Q3 está construído com vértices nos pontos médios dos lados de Q2 e, assim, sucessiva e infinitamente.

                                

A soma das áreas da sequência infinita de triângulos sombreados na figura é :

a) 1/2    

b) 1/4   

c) 1/8 

d) 1/16   

e) 1/32   

Resposta da questão 5:[B]

A área de cada quadrado, a partir do segundo, é metade da área do quadrado anterior. Portanto, as áreas dos triângulos retângulos assinalados formam um PG infinita de razão 1/2.

                        

A sequência A₁, A₂, A₃, ... é uma PG infinita de razão 1/2

Calculando a área A₁, temos: A₁ = (1/2 . 1/2)/2 = 1/8.

Portanto, a soma de todas as áreas dos triângulos retângulos será dada

por: S = A₁ + A₂ + A₃, ... = 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ... = (1/8)/(1 - 1/2) = 1/4

  

 

6. (Ufrgs 2017)  Considere um hexágono convexo com vértices A, B, C, D, E e F. Tomando dois vértices ao acaso, a probabilidade de eles serem extremos de uma diagonal do hexágono é :

a) 1/5   

b) 2/5   

c) 3/5   

d) 4/5   

e) 1   

 

Resposta da questão 6:[C]

Número de diagonais de um hexágono: d = 6(6 - 3)/2 = 9

Número de maneiras distintas de se escolher dois dos vértices do

hexágono: C6,2 = 6!/2!4! = 15

Portanto, a probabilidade pedida será dada por: P = 9/15 = 3/5

  

7. (Ufrgs 2017)  As figuras abaixo representam dez cartões, distintos apenas pelos números neles escritos.

                

Sorteando aleatoriamente um cartão, a probabilidade de ele conter um número maior do que 1 é :

a) 1/5   

b) 3/10   

c) 2/5   

d) 1/2   

e) 3/5   

 

Resposta da questão 7:[B]

Das cartas acima temos apenas três com números maiores que 1. Observe o esquema.

           

Portanto, a probabilidade pedida será: P = 3/10.  

8. (Ufrgs 2017)  Considere a planificação de um tetraedro, conforme a figura abaixo.

Os triângulos ABC e ABD são isósceles respectivamente em B  e D. As medidas dos segmentos AC, BC, BD e DF estão indicadas na figura.

A soma das medidas de todas as arestas do tetraedro é :

a) 33   

b) 34   

c) 43   

d) 47   

e) 48   

Resposta da questão 8:[A]

De acordo com os dados do enunciado, podemos concluir que:

DB = DA = 7  e BA = BC = 5.

Construindo o tetraedro, temos:

Portanto, a soma das arestas será dada por: 3 + 5 + 6 + 7 + 7 + 5 = 33

9. (Ufrgs 2017)  Considere ABCDEFGH paralelepípedo reto-retângulo, indicado na figura abaixo, tal que AB = 4, AE = 3 e BC = 2.

                                

O volume do tetraedro AHFC  é :

a) 4   

b) 8   

c) 12   

d) 16   

e) 18   

 

Resposta da questão 9: [B]

O volume do tetraedro será a diferença entre o volume do paralelepípedo

e os volumes dos quatro tetraedros trirretângulos, como segue:

V = V_{Paralelepipedo} – V_EHFA – V_BAFC – V_GHFC – V_{DAHC →}

V = 4 . 3. 2 - (1/3).(4.3.2)/2 - (1/3).(4.3.2)/2 - (1/3).(4.3.2)/2 - (1/3).(4.3.2)/2

V = 24 – 4 – 4 – 4 – 4 → V =  24 – 16 → V = 8

10. (Ufrgs 2017)  Considere um cubo de aresta a. Os pontos I, J, K, L, M e N são os centros das faces ABCD, BCFG, DCGH, ADHE, ABFE e EFGH, respectivamente, conforme representado na figura abaixo.

                          

O octaedro regular, cujos vértices são os pontos I, J, K, L, M e N, tem aresta medindo :

a) a√3   

b) a√2   

c) a√3/2   

d) a√5/2   

e) a√2/2   

 

Resposta da questão 10:[E]

                        

Admitindo x  a medida do lado do octaedro da figura podemos escrever

que: x² = (a/2)² + (a/2)² → x² = 2a²/4 → x = a√2/2

  

11. (Ufrgs 2017)  Os pontos A, B, C, D, E e F determinam um hexágono regular ABCDEF de lado 1, tal que o ponto A tem coordenadas (1, 0) e o ponto D tem coordenadas (-1, 0), como na figura abaixo.

                        

A equação da reta que passa pelos pontos B e D é :

a) y = √3x   

b) y = √3x/3 + √3/3   

c) y = √3x/2 + √3/2      

d) y = √3x/3 - √3/3      

e) y = √3x/2 - √3/2      

 

Resposta da questão 11: [B]

                                     

Considerando a circunferência circunscrita no hexágono regular,

podemos escrever que a medida α  do ângulo ADB será dada por

α = 60⁰/2 = 30⁰.

Portanto, o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos B e D será

dado por m = tg 30⁰ = √3/3

A reta pedida passa pelo ponto D(-1, 0) e tem coeficiente angular m = √3/3.

Então sua equação será y – 0 = √3/3.(x - (-1)) = √3/3.(x +1)→y = √3x/3 +√3/3.

  

12. (Ufrgs 2017)  As retas de equações y = ax e y = -x + b  interceptam-se em um único ponto cujas coordenadas são estritamente negativas. Então, pode-se afirmar que :

a) a > 0 e b > 0

b) a < 0 e b < 0

c) a < -1 e b > 0   

d) a > 0 e b < 0 

e) a < -1 e b < 0

 

Resposta da questão 12: [D]

Determinando o ponto de intersecção das retas através do sistema

y = ax e y = - x + b → ax = - x + b → ax + x = b → x(a + 1) = b →

x = b/(a + 1) e y = a.b/(a + 1)

Considerando que x < 0 e y < 0, podemos escrever que: y/x > 0 →

[a.b/(a + 1)]/[b/(a + 1)] > 0 → a > 0

Se a > 0 e x = b/(a + 1) < 0, concluímos que b < 0.

13. (Ufrgs 2017)  No estudo de uma população de bactérias, identificou-se que o número N de bactérias, t horas após o início do estudo, é dado por N(t) = 20.2^1,5t. Nessas condições, em quanto tempo a população de mosquitos duplicou?

a) 15 min   

b) 20 min   

c) 30 min   

d) 40 min   

e) 45 min   

 

Resposta da questão 13:[D]

Calculando o número inicial de bactérias, temos: N(0) = 20.2^1,5.0 = 20

Vamos determinar o valor de t  em horas de modo que o número de

bactérias seja 40 → 40 = 20.2^1,5.t → 2 = 2^1,5.t → 1,5t = 1→ t = 1/1,5 →

t = 10/15 → t = 2/3 horas → t = 40 minutos     

  

14. (Ufrgs 2017)  Se log₅ x = 2 e log₁₀ y = 4, então log₂₀ y/x é :

a) 2   

b) 4   

c) 6   

d) 8   

e) 10   

 

Resposta da questão 14:[A]

log₅ x = 2 → x = 5² →x = 25

log₁₀ y = 4 → y = 10⁴ →y = 10000

log₂₀ y/x = log₂₀ 10000/25 = log₂₀ 400 = 2

15. (Ufrgs 2017)  Sendo a  e b  números reais, considere as afirmações a seguir.

I. Se a < b então – a > - b

II. Se a > b então 1/a < 1/b

III. Se a < b  então a² < b²

Quais estão corretas?

a) Apenas I.   

b) Apenas II.   

c) Apenas III.    

d) Apenas I e II.    

e) I, II e III.   

 

Resposta da questão 15:[A]

[I] Verdadeira → a < b . (-1) → - a > - b

[II] Falsa → 3 > - 2 → 1/3 > 1/(-2)

[III] Falsa → - 5 < 2 → ( - 5)² > 2²  

16. (Ufrgs 2017)  Em um triângulo ABC, BAC é o maior ângulo e ACB é o menor ângulo. A medida do ângulo BAC é 70⁰ maior que a medida de ACB. A medida de BAC é o dobro da medida de ABC.

Portanto, as medidas dos ângulos são :

a) 20⁰, 70⁰ e 90⁰

b) 20⁰, 60⁰ e 100⁰

c) 10⁰, 70⁰ e 100⁰

d) 30⁰, 50⁰ e 100⁰   

e) 30⁰, 60⁰ e 90⁰

 

Resposta da questão 16: [D]

De acordo com as informações do problema e considerando que ACB = x, temos:

                                

x + 70⁰ + (x + 70⁰)/2 + x = 180⁰ → 2x + 140⁰ + x + 70⁰ + 2x = 360⁰ →

5x + 210⁰ = 360⁰ → 5x = 150⁰ → x = 30⁰

Portanto, as medidas dos ângulos são: 30⁰, 50⁰ e 100⁰.

17. (Ufrgs 2017)  Considere AB um segmento de comprimento 10 e M um ponto desse segmento, distinto de A e de B, como na figura abaixo. Em qualquer posição do ponto M, AMDC é quadrado e BME é triângulo retângulo em M.

                                 

Tomando x como a medida dos segmentos AM e EM, para que valor(es) de x as áreas do quadrado AMDC e do triângulo BME são iguais?

a) 0 e 10/3.   

b) 0,2 e 3. 

c) 10/3   

d) 0, 10/3 e 10.

e) 5   

 

Resposta da questão 17:[C]

                             

Como S₁ = S₂ → x² = x.(10 - x)/2 → 2x² = 10x - x² → 3x² = 10x = 0

x = 0 (não convém) ou x = 10/3

  

18. (Ufrgs 2017)  Uma pessoa desenhou uma flor construindo semicírculos sobre os lados de um hexágono regular de lado 1, como na figura abaixo.

                            

A área dessa flor é :

a) 3(√3 + π/2)/2   

b) 3(√3 + π)/2   

c) 3(√3 + π/2)/4   

d) 3(√3 + π)/4   

e) 3(√3 + 2π)/2   

  

  Resposta da questão 18: [A]

A área A da figura é igual a soma das áreas de um hexágono de lado 1

com 3 círculos de raio 1/2 → A = 6.(1².√3)/4 + 3.π.(1/2)² → A = 3(√3 + π/2)/2

  

19. (Ufrgs 2017)  Considere um quadrado de lado 1. Foram construídos dois círculos de raio R com centros em dois vértices opostos do quadrado e tangentes entre si; dois outros círculos de raio r com centros nos outros dois vértices do quadrado e tangentes aos círculos de raio R, como ilustra a figura abaixo.

                           

A área da região sombreada é :

a) (√2/2 + 1)π   

b) (√2 - 1)π   

c) 1 + (√2 - 1/2)π   

d) 1 + (√2 - 1)π   

e) 1 + (√2/2 - 1)π   

  

  Resposta da questão 19: [E]

Como 2R = diagonal do quadrado → 2R = l√2 → 2R = √2 → R = √2/2 e

r = 1 - √2/2.

A área medida é dada pela diferença entre a área do quadrado e as áreas

dos quartos de círculos indicados por A₁, A₂, A₃, A₄ .

                              

A = l² - (A₁ + A₂) – (A₃ + A₄) = 1² - 1/2 . π . [(2 - √2)/2]² - 1/2 . π . (√2/2)²

A = 1 - 1/2 . π . [(4 - 4√2√2 + 2)/4] - 1/2 . π . 2/4

A = 1 - π(6 - 4√2)/8 + π/4 → A = 1 - π(6 - 4√2 + 2)/8 → A = 1 - π(1 - √2/2) ou

A = 1 + (√2/2 - 1)π

20. (Ufrgs 2017)  Considere um pentágono regular ABCDE de lado 1. Tomando os pontos médios de seus lados, constrói-se um pentágono FGHIJ, como na figura abaixo.

  

                                 

A medida do lado do pentágono FGHIJ é :

a) sen 36⁰   

b) cos 36⁰   

c) (sen 36⁰)/2   

d) (cos 36⁰)/2   

e) 2cos 36⁰   

 

Resposta da questão 20:[B]

                             

Considerando a circunferência circunscrita no pentágono regular,

concluímos que GHC = 72⁰/2 = 36⁰.

Admitindo que x  seja a medida do lado pedido e considerando o

triângulo HMC, podemos escrever que cos 36⁰ = (x/2)/(1/2) = x

Portanto, x = cos 36⁰

  

21. (Ufrgs 2017)  Considere as igualdades abaixo.

I. (1 – 2i).(1 + 2i) 5, sendo i a unidade imaginária.

II. 2⁰  +  2^{- 1} +  2^{- 2}  + 2^{- 3} ... = 2.

III. 1 –  2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ... + 99 – 100 = 50

Quais igualdades são verdadeiras?

a) Apenas I.   

b) Apenas III.   

c) Apenas I e II.    

d) Apenas II e III.   

e) I, II e III.    

 

Resposta da questão 21:[C]

[I] Verdadeira → (1 – 2i).(1 + 2i) = 1² - (2i)² = 1 - (-4) = 5

[II] Verdadeira → 2⁰  +  2^{- 1} +  2^{- 2}  + 2^{- 3} ... = 1/(1 - 1/2) = 2 (PG infinita de   

razão meio).

[III] Falsa → 1 –  2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ... + 99 – 100 = (1 –  2) + (3 – 4) + (5 – 6) +

... + (99 – 100) = (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + ... + (- 1) = 50. (- 1) = - 50

22. (Ufrgs 2017)  Considere dois círculos concêntricos em um ponto O e de raios distintos; dois segmentos de reta AB e CD perpendiculares em O,  como na figura abaixo.

                                    

Sabendo que o ângulo ADB mede 30⁰ e que o segmento AD mede 12, pode-se afirmar que os diâmetros dos círculos medem :

a) 12 sen 15⁰ e 12 cos 15⁰

b) 12 s3en 75⁰ e 24 cos 75⁰

c) 12 sen 75⁰ e 24 sen 75⁰

d) 24 sen 15⁰ e 24 cos 15⁰

e) 24 sen 75⁰ e 12 cos 75⁰

  

  Resposta da questão 22: [D]

Sendo r e R as medidas dos raios menor e maior, respectivamente,

temos: ∆ ADO é congruente ao ∆BDO, portanto o ângulo ADO = BDO = 15⁰

                               

No triângulo ADO, temos:

cos 15⁰ = R/12 → R = 12cos 15⁰ → 2R = 24cos 15⁰

sen 15⁰ = r/12 → r = 12sen 15⁰ → 2r = 24sen 15⁰

23. (Ufrgs 2017)  As estimativas para o uso da água pelo homem, nos anos 1900 e 2000, foram, respectivamente, de 600 km e 4000 km³ por ano. Em 2025, a expectativa é que sejam usados 6000 km³  por ano de água na Terra.

O gráfico abaixo representa o uso da água em km³ por ano de 1900 a 2025.

                   

Com base nos dados do gráfico, é correto afirmar que,

a) de 1900 a 1925, o uso de água aumentou em 100 %   

b) de 1900 a 2000, o uso da água aumentou em mais de 600 %. 

c) de 2000 a 2025, mantida a expectativa de uso da água, o aumento será de 66,6 %.

d) de 1900 a 2025, mantida a expectativa de uso da água, o aumento será de 900 %.   

e) de 1900 a 2025, mantida a expectativa de uso da água, o aumento será de 1000 %. 

 

Resposta da questão 23:[D]

[A] Falsa, pois 600(1 + 100%) = 1200 (maior que 1000)

[B] Falsa, pois 600(1 + 600%) = 4200  ( maior que 4000).

[C] Falsa, pois 4000(1 + 66,6%) = 6664  (maior que 6000)

[D] Verdadeira, pois 600(1 + 900%) = 6000

[E] Falsa, pois 600(1 + 1000%) = 6600  

24. (Ufrgs 2017)  Na última década do século XX, a perda de gelo de uma das maiores geleiras do hemisfério norte foi estimada em 96 km³. Se 1 cm³ de gelo tem massa de 0,92g, a massa de 96 km³ de gelo, em quilogramas, é :

a) 8,832 . 10¹²   

b) 8,832 . 10¹³ 

c) 8,832 . 10¹⁴   

d) 8,832 . 10¹⁵   

e) 8,832 . 10¹⁶   

  

Resposta da questão 24:[B]

Como 96 km³ = 9,6.10¹⁶ cm³  e  0,92g = 0,92.10^-3 kg, então a massa

de 96 km³ de gelo em kg corresponde a 9,6.10¹⁶.0,92.10^-3 = 8,832.10¹³ kg

   

25. (Ufrgs 2017)  Se x – y = 2 e x² + y² = 8, então x³ – y³  é igual a :

a) 12 

b) 14 

c) 16

d) 18 

e) 20

Resposta da questão 25:[E]

Como x – y = 2 → (x - y)² = 4 → x² + y² – 2xy = 4 →8 – 2xy = 4 → xy = 2

Logo, x³ - y³ = (x - y).(x² + y² + xy) = 2.(8 + 2) = 20