QUESTÕES VESTIBULAR UNIOESTE 2017 - COMENTADAS

1. (Unioeste 2017)  A função definida por f(x) = a(x - 1)² + b(x - 1) + c, onde a, b e c são constantes reais, representa quanto José tinha em sua carteira ao final de cada um dos últimos 31 dias. Assim, x é um número natural tal que 1 ≤ x ≤ 31 e f(x) é o valor, em reais, que José tinha em sua carteira no final do dia x. Da mesma forma, a função g(x) = mx + n onde m e n são constantes reais, representa quanto Paulo tinha em sua carteira ao final de cada um dos últimos 31 dias. Sabe-se que no final do:

- primeiro dia, José e Paulo não tinham dinheiro em suas carteiras.

- segundo dia, Paulo tinha R$ 7,00.

- dia 16, José tinha R$ 120,00.

- dia 31, José não tinha dinheiro em sua carteira.

Com base nestas informações, é CORRETO afirmar que :

a) ao final do dia x, a soma dos valores que José e Paulo tinham nas carteiras é S = -8(x - 1)²/15 + 23(x - 1).   

b) ao final do dia 18, José tinha R$ 5,00 a mais do que Paulo.   

c) a expressão da função que representa a soma dos valores que José e Paulo têm na carteira no dia x é um polinômio de grau 3.   

d) f(x) = - x² + 32x – 31.   

e) Paulo nunca teve em sua carteira um valor maior do que José.   

  

Resposta da questão 1:[A]

Sabendo que f(1) = 0, f(16) = 120 e f(31) = 0, temos

● f(1) = 0 → f(x) = a(x - 1)² + b(x - 1) + c → a(1 - 1)² + b(1 - 1) + c = 0 → c = 0

● f(16) = 120 → f(x) = a(x - 1)² + b(x - 1) + c → a(16 - 1)² + b(16 - 1) + c = 120

225a + 15b = 120 → 15a + b = 8

● f(31) = 0 → f(x) = a(x - 1)² + b(x - 1) + c → a(31 - 1)² + b(31 - 1) + c = 0

900a + 30b = 0 → b = - 30a

Resolvendo o sistema, 15a + b = 8 → 15a – 30a = 8 → - 15a = 8 → a = -8/15

e b = - 30. (-8/15) → b = 16 → f(x) = - 8/15(x - 1)² + 16(x - 1)

Por outro lado, se g(1) = 0 e g(2) = 7, então   

● g(1) = 0 → g(x) = mx + n → m.1 + n = 0 → m + n = 0 → m = - n

● g(2) = 7 → g(x) = mx + n → m.2 + n = 7 → 2m + n = 7

Resolvendo o sistema, 2.(-n) + n = 7 → n = - 7 → m = 7 → g(x) = 7x - 7

 [A] Verdadeira. De fato, pois f(x) + g(x) = -8/15(x - 1)² + 16(x - 1) + 7(x - 1)  

 f(x) + g(x) = -8/15(x - 1)² + 23(x - 1)

 [B] Falsa. Tem-se que f(18)  = - 8/15(18 - 1)² + 16(18 - 1) = - 2312/15 + 272 =

- 2312/15 + 272 = (-2312 + 4080)/15 = 1768/15 e  g(18) = 7.18 – 7 = 119.

 Portanto f(x) - g(x) = 1768/15 - 119 = (1768 - 1785)/15 = - 17/15

[C] Falsa. Conforme [A].

[D] Falsa. Na verdade, sabemos que f(x) = - 8/15(x - 1)² + 16(x - 1)

[E] Falsa. Suponhamos, por absurdo, que g(x) - f(x) ≤ 0, para todo natural x,  com 1 ≤ x ≤ 31. Tem-se que :

g(x) - f(x) = 7(x - 1) + 8/15(x - 1)² - 16(x - 1) ≤ 0 →

8/15(x - 1)² - 9(x - 1) ≤ 0 →  (x - 1)^.(x - 143/8) ≤ 0 → 1 ≤ x ≤ 17

Portanto, existem valores de x,  com 1 ≤ x ≤ 31, para os quais g(x) - f(x) > 0, contradição.  

2. (Unioeste 2017)  Sobre o sistema de equações lineares 3x+5y = 7 e  3x + βy = 7, é CORRETO afirmar que :

a) possui uma única solução, qualquer que seja β.   

b) possui infinitas soluções, qualquer que seja β.   

c) possui ao menos uma solução, qualquer que seja β.   

d) só tem solução se β = 5.   

e) é impossível se β ǂ - 5.   

  

Resposta da questão 2: [C]

Sobre o sistema de equações lineares 3x+5y = 7 e  3x + βy = 7, é

CORRETO afirmar que :

● se β = 5, ele é indeterminado, possui infinitas soluções .

● se β ǂ 5 ele é determinado, possui uma única solução  .

Perceba que independente do valor de β, ele possui solução, seja uma ou

várias, portanto a resposta correta é letra ''c''.

3. (Unioeste 2017)  A tabela a seguir apresenta o número de casos notificados ou prováveis de dengue, chikungunya e Zika vírus, registrados nos estados do Sul do Brasil até a semana 23 do ano de 2016, conforme boletim epidemiológico do Ministério da Saúde.

Estado	Dengue	Zika	Chikungunya
Paraná	71114	1935	1459
Santa Catarina	5344	360	324
Rio Grande do Sul	3961	97	233

Escolheu-se aleatoriamente um paciente do Sul do Brasil registrado como um caso (notificado ou provável) de uma dessas doenças. Com relação ao paciente supracitado, de acordo com a tabela acima, assinale a afirmação que é INCORRETA. 

a) A probabilidade de ser um caso de chikungunya ou de ter sido no Paraná é maior que 90%   

b) A probabilidade de que seja um caso do Rio Grande do Sul é menor que a probabilidade de

ser um caso de dengue.   

c) A probabilidade de que não seja do Paraná é menor que 15%   

d) A probabilidade de ser um caso de Zika ou de ter sido em Santa Catarina é menor que 10%   

e) A probabilidade de ser um caso no Paraná ou ser de dengue é maior que 98%   

  

Resposta da questão 3: [A]

Considere a tabela.

Estado	Dengue	Zika	Chikungunya	Total
Paraná	71114	1935	1459	74508
Santa Catarina	5344	360	324	6028
Rio Grande do Sul	3961	97	233	4291
Total	80419	2392	2016	84827

[A] Falsa. Tem-se, pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, que a

probabilidade de ser um caso de chikungunya ou de ter sido no Paraná é

dada por 2016/84827 + 74508/84827 - 1459/84827 ≈ 88,49%

[B] Verdadeira. De fato, pois 4291/84827 < 80419/84827

[C] Verdadeira. Com efeito, pois 1 - 74508/84827 ≈ 12,16%

[D] Verdadeira. De fato, pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, segue que

2392/84827 + 6028/84827 - 360/84827 ≈ 9,50%

[E] Verdadeira. Com efeito, novamente pelo Princípio da Inclusão-

Exclusão, temos 74508/84827 + 80419/84827 - 71114/84827 ≈ 98,80%

  

4. (Unioeste 2017)  Dentre as equações abaixo, qual NÃO possui solução com x e y inteiros?

a) x² + y² = 1   

b) x² + y² = 2      

c) x² + y² = 3      

d) x² + y² = 4      

e) x² + y² = 5      

  

Resposta da questão 4:[C]

Sabendo que x² ≥ 0 e y² ≥ 0 para quaisquer x e y inteiros, podemos

concluir que x² + y² = 3 se, e somente se, (x², y²) ɛ {(0, 3),(3, 0), (1, 2),        

(2, 1).} Porém, os inteiros 2 e 3 não são quadrados de nenhum inteiro e,

assim, a equação x² + y² = 3  não possui solução com x e y inteiros.  

5. (Unioeste 2017)  José quer calcular a área da região hachurada da figura abaixo, ela representa uma região localizada em seu sítio. O círculo representa um lago que tem 20 metros de diâmetro. Fixando-se um sistema de coordenadas conforme a figura, sabe-se que o segmento AD está sobre a reta cuja equação é dada por y = 2x e que o segmento BC está sobre a reta cuja equação é y = - x + 50. Sabe-se ainda que CD é igual ao diâmetro do círculo e que a coordenada x do ponto D é igual a 10.

                                    

Assim, é CORRETO afirmar que a área da região, em metros quadrados, é igual a :

a) 700   

b) 700 - 50π   

c) 700 - 100π      

d) 700 - 200π     
e) 700 - 400π    

Resposta da questão 5: [B]

Tem-se que D(10, 2.10) = D(10, 20) e C(10 + 20, -(10 + 20) + 50) = (30, 20)

Agora, sendo y_B  = 0, vem 0 = - x_B + 50 → x_B = 50

Portanto, 1/2 .(50 + 20).20 - 1/2 .π.(20/2) = (700 - 50π) m²

6. (Unioeste 2017)  Considere ϴ um número real qualquer. Sobre os números complexos z = cos 2ϴ + i.senϴ e z = cos ϴ + i.sen2ϴ, pode-se afirmar que :

a) |z| + |w| = 1.   

b) z² – w² = 0.   

c) z = w', onde w' é o conjugado de w.   

d) z – iw = 0   

e) |z|² + |w|² = 2.   

  

Resposta da questão 6: [E]

Tomando Ɵ = 0, vem z = 1 e w = 1.

Logo, segue que |z| + |w| = 2 e z – wi = 1 – i.

Por outro lado, para Ɵ = π/4 rad, temos z = i√2/2 e w = √2/2 + i. Desse

modo, é fácil ver que z² + w² = i√2  e z ≠ w', onde w' representa o conjugado de w.

Finalmente, sendo |z| = √(cos²2Ɵ + sen²Ɵ) e |w| = √(cos²Ɵ + sen² 2Ɵ)

Encontramos |z|² + |w|² = cos²2Ɵ + sen²Ɵ + cos²Ɵ + sen² 2Ɵ = 2  

  

7. (Unioeste 2017)  Considere as seguintes afirmações:

I. (x²+1)/(x+2) = (x + 1)/2, para todo x ɛ R.

II. 2x + 5 = 2(x + 5), para todo x ɛ R.

III. (x - 2)² = x² – 4x + 4, para todo x ɛ R.

Assim, é CORRETO afirmar que:

a) somente a afirmação I está correta.   

b) somente a afirmação II está correta.   

c) somente as afirmações I e II estão corretas.   

d) somente a afirmação III está correta.   

e) as três afirmações estão corretas.   

Resposta da questão 7:[D]

[I] Falsa. Para x = 1, temos 2/3 = 1, absurdo. 

[II] Falsa. Para x = 1,  vem 7 = 12, absurdo.

[III] Verdadeira. De fato, pois para todo x  real tem-se  (x - 2)² = x² – 4x + 4