QUESTÕES VESTIBULAR Uepg – 2017 - COMENTADAS

1. (Uepg 2017)  Os N alunos de uma turma realizaram uma prova com apenas duas questões. Sabe-se que 37 alunos acertaram somente uma das questões, 33 acertaram a primeira questão, 18 erraram a segunda e 20 alunos acertaram as duas questões. Se nenhum aluno deixou questão em branco, assinale o que for correto. 

01) N é um número múltiplo de 4.   

02) 30 alunos erraram a primeira questão.   

04) N > 60.   

08) 5 alunos erraram as duas questões.   

  

                     Resposta da questão 1: 04 + 08 = 12.

Considere o diagrama, em que P e S são, respectivamente, o conjunto dos alunos que acertaram a primeira questão e o conjunto dos alunos que acertaram a segunda questão.

                             

É imediato que N = 62

[01] Falsa. Tem-se que 62 = 4.15 + 2. Logo, N não é múltiplo de 4

[02] Falsa. De acordo com o diagrama, segue que 24 + 5 = 29 alunos erraram a primeira questão.

[04] Verdadeira. De fato, pois 62 > 60.

[08] Verdadeira. Com efeito, de acordo com o diagrama.  

2. (Uepg 2017)  Dados os conjuntos abaixo, assinale o que for correto.

A = {x ɛ R / (- x - 1)/(3x - 1) ≥ 0} e B = {x ɛ R / - 3 ≤ 2x + 1 < 5}

01) B – A = Ø.   

02) A U B tem 4 elementos.   

04) A ∩ B é um conjunto unitário.   

08) A está contido em B.   

16) O produto cartesiano A x B tem 4 elementos.   

  

                      Resposta da questão 2: 02 + 08 = 10

Tem-se que (-x-1)/(3x-1) ≥ 0 → (x+1)/(x-1/3) ≥ 0 → - 1 ≤ x < 1/3  e

- 3 ≤ 2x + 1 < 5 → - 4 ≤ 2x < 2.

Portanto, vem A = {- 1, 0} e B = {- 2, - 1, 0, 1}

[01] Falsa. Na verdade, temos B – A = {- 2, 1}

[02] Verdadeira. De fato, pois A U B = B.

[04] Falsa. Tem-se que A ∩ B = A.

[08] Verdadeira. Com efeito, pois {- 1, 0} está contido em {- 2, - 1, 0, 1}

[16] Falsa. O produto cartesiano A x B tem 2.4 = 8 elementos.  

3. (Uepg 2017)  Em relação à função quadrática f(x) = x² – mx + m + 3, com m ɛ R, assinale o que for correto.

01) Se – 2 < m < 6, então f(x) > 0, para todo x real.   

02) Para que f(x) admita duas raízes reais distintas e positivas, deve-se ter m > - 3.   

04) Se a reta y = 4x  é tangente à parábola que representa f(x), então

      m = - 2   

08) Se m = 5, f(x) é crescente no intervalo ] -∞, 5/2].    

16) Se m = - 1, o vértice da parábola que representa f(x) pertence ao 2º quadrante.   

  

                  Resposta da questão 3: 01 + 04 + 16 = 21.

[01] Verdadeira. Com efeito, pois sendo o coeficiente dominante de f  

igual a 1 e (-m)² – 4.1.(m + 3) < 0 → m² – 4m - 12 < 0 → ∆ = (-4)² – 4.1.(-12)

→ ∆ = 64 → m = (4 ± 8)/2 → m' = - 2 ou m'' = 6 → - 2 < m < 6, temos f(x) < 0

para todo x real.

[02] Falsa. Para Primeiramente, devemos ter (m + 3) > 0 e m² – 4m - 12 < 0 ,

ou seja, - 3 < m < - 2 ou m > 6. Ademais, sendo as raízes positivas, vem

- (- m)/2 > 0 → m > 0. Portanto, segue que m > 6.

[04] Verdadeira. Sendo as duas curvas tangentes, temos

x² – mx + m + 3 = 4x → x² – (m + 4)x + m + 3 = 0 →

Portanto, como o discriminante dessa equação deve ser nulo, vem

∆ = (– (m + 4))² – 4.1.(m + 3) = 0 → m² + 4m + 4 = 0 → m = - 2

[08] Falsa. Se m = 5, então f(x) = (x - 5/2)² + 7/4. Logo, como f  possui

mínimo em x = 5/2,  podemos afirmar que f é decrescente em (-∞, 5/2]. 

[16] Verdadeira. Se m = -1, então f(x) = (x - 5/2)² + 7/4. Desse modo, o

vértice da parábola que representa f  corresponde ao ponto (-1/2, 7/4).  

4. (Uepg 2017)  Sobre funções exponenciais e logarítmicas, assinale o que for correto.

01) Se f(x) = x^log₂^x , então f(1/4) = 16.   

02) A função f(x) = 3^x + 3^-x é uma função par.   

04) A função f : R → R, f(x) = 5^x-3  é bijetora.   

08) A função f(x) = (-5k + 2)^x é decrescente se k < 2/5.   

16) O domínio da função f(x) = log_(x+1)(x² – x - 12) é {x ɛ R / x > 4}.   

  

                    Resposta da questão 4: 01 + 02 + 16 = 19.

[01] Verdadeira. De fato, pois f(1/4) = (1/4)^log₂^1/4 → (2^-2)^log₂^1/4 → (2^-2)^-2 → 16

[02] Verdadeira. Com efeito, pois f(-x) = 3^-x + 3^-(-x) → f(x) = 3^x + 3^-x

[04] Falsa. Não existe x  real pertencente ao domínio de f para o qual se tem f(x) = - 1. Logo, f não é sobrejetora e, portanto, não é bijetora.

[08] Falsa. Se k = 0, então f(x) = 2^x. Porém, f é crescente. Contradição.

[16] Verdadeira. Primeiramente, devemos lembrar que é possível definir

tantas funções quantas quisermos com a lei f(x) = log_{(x + 1)}(x² – x - 12).

Vamos supor que queiramos encontrar o maior subconjunto dos números

reais para o qual f  está definida. Nesse caso, temos

(x² – x - 12) > 0 e 1 ǂ x + 1 > 0 → x < - 3 ou x > 4 e 0 ǂ x > - 1 → x > 4.

  

5. (Uepg 2017)  A sequência (20, x, y, 5/2, ...) é uma progressão geométrica de razão q e a sequência (q, m – 5, 11/2, ...) é uma progressão aritmética. Nesse contexto, assinale o que for correto.

01) m é um número par.   

02) Se a P.G. é infinita, o limite da soma de seus termos é 40.   

04) x + y = m + 7.   

08) A soma dos 5 primeiros termos da P.A. é maior que 27.   

16) A razão da P.A. é menor que 2.   

  

            Resposta da questão 5: 01 + 02 + 04 + 08 = 15.

Sendo (20, 20q, 20q², 20q³, ... ) = (20, x, y, 5/2, ... ) temos

20q³ = 5/2 → q³ = 5/40 → q³ = 1/8 → q = 1/2

Logo, vem (q, m – 5, 11/2, ... ) = (1/2, m – 5, 11/2, ... ) e, portanto,

2.(m - 5) = 1/2 + 11/2 → 2.(m - 5) = 6 → 2m – 10 = 6 → m = 8

[01] Verdadeira. Com efeito, pois 8 é par.

[02] Verdadeira. De fato, pois S_∞ = a₁/(1 - q) = 20/(1 - 1/2) = 40

[04] Verdadeira. Com efeito, pois x + y = m + 7 → 10 + 5 = 8 + 7

[08] Verdadeira. De fato, pois S₅ = (a₁ + a_n).n/2 = (1/2 + 21/2).5/2 =

 55/2 > 54/2 = 27.

[16] Falsa. Na verdade, a razão da progressão aritmética é 3 - 1/2 =           

5/2 > 4/2 = 2.  

6. (Uepg 2017)  Dados os sistemas S₁ : 4x + 5y = 7; 2x – 3y = 9 e S₂ = mx + 4y = 5 ; 3x – y = k, nas variáveis x e y, assinale o que for correto.

01) S₂ é possível e determinado para m = - 12 e k = -5/4.   

02) S₂ é impossível para m= - 12 e k ǂ - 5/4.   

04) Se S₁ e S₂ são equivalentes, então k + m = 13.   

08) S₂ é possível e indeterminado para m ǂ - 12 e k = - 5/4   

16) Se (x, y) é a solução de S₁, então x + y = 4.   

  

                           Resposta da questão 6: 02 + 04 = 06.

Tem-se que S₁ : 4x + 5y = 7 e 2x – 3y = 9 → x = 3 e y = - 1

O sistema S₂ é possível e determinado se m/3 ǂ 4/(-1) → m ǂ - 12.

Por outro lado, se m = - 12 então S₂ será possível e indeterminado se

4/(-1) = 5/k → k = - 5/4 e será impossível se k ǂ - 5/4.

[01] Falsa. Nesse caso o sistema é possível e indeterminado.

[02] Verdadeira. De fato, conforme mostramos.

[04] Verdadeira. Pois m.3 + 4.(-1) = 5 → m = 3 e 3.3 - (-1) = k → k = 10

Portanto, segue que k + m = 10 + 3 = 13.

[08] Falsa. Nesse caso o sistema será possível e determinado.

[16] Falsa. Sabemos que x + y = 3 + (- 1) = 2.  

7. (Uepg 2017)  A primeira fase de um campeonato de futebol é disputada por 35 times, divididos em 5 grupos, com 7 times em cada grupo, os quais disputam entre si. Dois times de cada grupo são selecionados para a segunda fase desse mesmo campeonato, num total de 10 times, os quais jogam entre si. Se p é o número de jogos a serem realizados na primeira fase e q o número de jogos a serem realizados na segunda fase, assinale o que for correto.

01) p > 100.   

02) p – q = 60.   

04) q é um múltiplo de 9.   

08) q < 50   

  

             Resposta da questão 7: 01 + 02 + 04 + 08 = 15.

Vamos supor que em ambas as fases não há returno.

[01] Verdadeira. De fato, pois p = 5.C_7,2 = 5.7!/5!.2! = 105 > 100.

[02] Verdadeira. Com efeito, pois p – q = 105 – C_10,2  = 105 – 10!/8!2! = 60

[04] Verdadeira. De fato, pois q = 45 = 5.9

[08] Verdadeira. Com efeito, pois q = 45 < 50.  

8. (Uepg 2017)  Assinale o que for correto.

01) Simplificando a expressão [(n+4)! - 20(n+2)!]/[(n+8)(n+2)! obtém-se      n – 1.   

02) No desenvolvimento do binômio (3x + a/x)⁴, o termo independente de x é 27/2. Então a² = 1/4.   

04) Permutando os algarismos 1, 1, 3, 3, 3, 5 podem ser formados 20 números maiores que 500000.   

08) C_20,3 + C_20,4 + C_20,5 + ... + C_20,20 = 2²⁰ – 211.   

16) Num estádio há 12 portas de entrada e saída. Existem 132 possibilidades de uma pessoa entrar por uma porta e sair por outra diferente.   

             Resposta da questão 8: 01 + 02 + 08 + 16 = 27.

[01] Verdadeira. De fato, sendo n ≥ - 2, com n ε Z, temos

[(n + 4)! - 20(n + 2)!]/[(n + 8).(n + 2)!] = [(n + 4).(n + 3) - 20]/(n + 8) =

[(n - 1).(n + 8)]/(n + 8) = n – 1.

[02] Verdadeira. O termo geral do desenvolvimento do binômio é

T_{p + 1} = C_4,p . (3x)^{4 – p} . (a/x)^p = C_4,p . 3^{4 – p} . a^p . x^{4 – 2p}. Logo, se o termo

independente de x, x^{4 – 2p} = x⁰ → 4 – 2p = 0 → p = 2, é 27/2, então

C_4,2 . 3^{4 – 2} . a² = 27/2 → 6 . 9. a² = 27/2 → a² = 1/4.

[04] Falsa. Fixando o algarismo 5 na casa das centenas de milhar, tem-se

que existem, com os algarismos disponíveis, P₅^{(3, 2)} = 5!/3!2! = 10 números

maiores do que 500000.

[08] Verdadeira. Com efeito, pelo Teorema das Linhas, segue que

C_20,0  + C_20,1  + C_20,2  + C_20,3  + C_20,4  + C_20,5  + .... + C_20,20  = 2²⁰ →

1 + 20  + 190 + C_20,3  + C_20,4  + C_20,5  + .... + C_20,20  = 2²⁰ →

211 + C_20,3  + C_20,4  + C_20,5  + .... + C_20,20  = 2²⁰ →

C_20,3  + C_20,4  + C_20,5  + .... + C_20,20  = 2²⁰ - 211

[16] Verdadeira. De fato, pois como existem 12 possibilidades para entrar

e 11 para sair, pelo Princípio Multiplicativo, há 12.11 = 132 maneiras de

entrar por uma porta e sair por outra diferente.  

9. (Uepg 2017)  Sobre probabilidades, assinale o que for correto.

01) Dois prêmios iguais são sorteados entre cinco pessoas, sendo três homens e duas mulheres. Admitindo que a mesma pessoa não possa ganhar os dois prêmios, a probabilidade de ser premiada pelo menos uma mulher é de 70%   

02) Numa moeda viciada, a probabilidade de ocorrer cara num lançamento é igual a três vezes a probabilidade de ocorrer coroa. Então a probabilidade de ocorrer cara num lançamento desta moeda é 60%   

04) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 são formados números de 3 algarismos distintos. Um deles é escolhido ao acaso. A probabilidade desse número ser par é maior que 50%   

08) No sorteio de um número natural de 1 a 100, a probabilidade de sair um múltiplo de 10 ou de 15 é menor que 15%.   

  

                       Resposta da questão 9: 01 + 08 = 09.

[01] Verdadeira. De fato, pois existem C_3,2 = 3 modos de distribuir os prêmios para dois homens e C_5,2 = 10  modos de distribuir os prêmios para duas pessoas quaisquer. Assim, a probabilidade de ser premiada ao menos uma mulher é igual a 1 - 3/10 = 0,7 = 70%.

[02] Falsa. Sejam P(c) e P(k), respectivamente, a probabilidade de ocorrer cara e a probabilidade de ocorrer coroa. Logo, sabendo que P(c) = 3. P(k), temos P(c) + P(k) = 1 → P(c) + P(c)/3 = 1 → P(c) = 75%.

[04] Falsa. O número será par se o algarismo das unidades for 2 ou 4. Desse modo, como existem 4 possibilidades para o algarismo das centenas e 3 possibilidades para o algarismo das dezenas, podemos concluir, pelo Princípio Multiplicativo, que a quantidade de números pares é 4.3.2 = 24. Portanto, a probabilidade do número ser par é   24/5! = 20% < 50%.

[08] Verdadeira. De 1 a 100  existem 10 múltiplos de 10, 6 múltiplos de 15 e 3 múltiplos de 10  e de 15 simultaneamente. Daí, pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, existem 10 + 6 – 3 = 13  números de 1  a 100 que são múltiplos de 10 ou de 15. Em consequência, a probabilidade é igual a 13% < 15%.  

10. (Uepg 2017)  Uma caixa A em a forma de um prisma regular triangular e uma caixa B tem a forma de um prisma hexagonal regular. Se o lado da base da caixa A tem o dobro da medida do lado da base da caixa B, assinale o que for correto.

01) A razão entre as áreas da base de A e B é 2/3.   

02) Se a altura de A for a metade da altura de B, então, o volume de B é igual ao triplo do volume de A.   

04) Para que os volumes sejam iguais, a altura de B deve ser o dobro da altura de A.   

08) Se as alturas das caixas são iguais, a área lateral de B é o dobro da de A.   

                       Resposta da questão 10: 01 + 02 = 03.

[01] Verdadeira. De fato, pois (l²A√3/4)/(3l²B√3/2) = 1/6 . (2l_B/l_B)² = 2/3

[02] Verdadeira. Com efeito, pois V_B = (3l²B√3/2).h_B = (3√3/2).l²_B.h_B =

(3√3/2).(l_A/2)².2h_A = 3.(l²_A√3/2) .h_A = 3V_A

[04] Falsa. De acordo com [02].

[08] Falsa. Tem-se que Al_B = 6l_B.h_B = 6.l_A/2.h_A = 3l_A.h_A = Al_A.

As áreas laterais são iguais.  

11. (Uepg 2017)  Numa pirâmide quadrangular regular P₁ uma diagonal da base mede 12 cm e uma aresta lateral vale 10 cm. Essa pirâmide é seccionada por um plano paralelo a sua base, originando um tronco T e uma nova pirâmide P₂, de aresta da base igual a 3√2/2 cm. Nesse contexto, assinale o que for correto.

01) A aresta lateral de P₂ é menor que 3 cm.   

02) A razão entre a altura de P₁ e a altura de T é 2.   

04) O volume de T é igual a 189 cm³.

  

08) A razão entre o volume de P₁ e o volume de P₂ é 64.   

16) O volume de P₂ vale 3 cm³.   

  

                   Resposta da questão 11: 01 + 04 + 08 + 16 = 29.

Seja L a medida da aresta da base de P_1. Logo, sabendo que a diagonal da

base de P₁ mede 12 cm, temos 12 = L√2 → L = 6√2 cm.

Ademais, se K é a razão de semelhança entre P₁ e P₂ então

K = 6√2/(3√2/2) = 4

[01] Verdadeira. Seja g a medida da aresta lateral de P₂. Assim, vem

10/g = 4 → g = 5/2 < 6/2 = 3 cm.

[02] Falsa. Desde que o raio do círculo circunscrito à base de P₁ mede

12/2 = 6 cm e a aresta lateral mede 10 cm, podemos concluir, pela

semelhança com o triângulo retângulo de lados 3 cm, 4 cm e 5 cm, que a

altura de P₁ mede 8 cm. Em consequência, se h  é a medida da altura de

P₂ temos 8/h = 4 → h = 2 cm.

 Portanto, a altura de T mede 8 – 2 = 6 cm e, assim, a razão entre a altura

de P₁ e a altura de T é igual a 8/6 = 4/3.

[04] Verdadeira. Sejam V e v, respectivamente, as medidas dos volumes

de P₁ e de P_2. Logo, vem V/v = k³ → v = V/64. Por conseguinte, se V_T é o

volume de T então V_T = V – v = 63/64 . 1/3 . (6√2)² . 8 = 189 cm³.  

[08] Verdadeira. De fato, conforme [04].

[16] Verdadeira. Com efeito, pois v = 1/64 . V = 1/64 . 1/3 . (6√2)² .8 = 3 cm³

  

12. (Uepg 2017)  As retas r : x – ky – k² = 0  e s : 2x + y – k – 1 = 0, com k ɛ R, são perpendiculares, e se interceptam no ponto P. Nesse contexto, assinale o que for correto.

01) A reta s intercepta o eixo das abscissas no ponto(0, 3)   

02) A circunferência x² + y² – 4x + 2y – 11 = 0 tem centro no ponto P e raio igual a 4.   

04) A circunferência de centro no ponto (0, 3) e raio igual a 2√5 passa pelo ponto P.   

08) Se a reta y = 2mx + 3 é paralela a r, então m = 1/4.   

16) O ponto P pertence ao 4º quadrante.   

  

            Resposta da questão 12: 02 + 04 + 08 + 16 = 30.

Reescrevendo as equações de r e de s na forma explícita, encontramos  

y = x/k - k e y = - 2x + k + 1. Logo, sabendo que tais retas são

perpendiculares, vem 1/k . (- 2) = - 1 → k = 2.

Em consequência, a abscissa de P deve ser tal que x/2 – 2 = - 2x + 3 →   

x – 4 = - 4x + 6 → 5x = 10 → x = 2, então P(2, -1).

[01] Falsa. Sendo 0 – 2 . 3 – 2² = - 10 ǂ 0, podemos afirmar que o ponto

(0, 3) não pertence à reta r.

[02] Verdadeira. De fato, pois completando os quadrados, vem

x² + y² – 4x + 2y – 11 = 0 → (x - 2)² – 4 + (y + 1)² – 1 – 11 = 0 →

(x - 2)² + (y + 1)² = 16.

Portanto, segue que P(2, -1) e r = 4, com r sendo o raio da circunferência.

[04] Verdadeira. Com efeito, pois sendo a equação da circunferência

x² + (y - 3)² = 20, temos 2² + (- 1 - 3)² = 20 ou seja, P é um ponto por onde

passa a circunferência.

[08] Verdadeira. De fato, pois se y = 2mx + 3 e r são paralelas, então      

2m =  1/2 → m = 1/4.

[16] Verdadeira. Com efeito, pois 2 > 0 e – 1 < 0. Daí, P pertence ao quarto

quadrante.  

13. (Uepg 2017)  Se x e y são números positivos tais que x.y = 1/3 e y/x = 9, assinale o que for correto.

01) log₉y = 1/4.   

02) log_√3(x/y) = - 4.   

04) log_1/3x² = 3.   

08) log(xy³) = 0.   

16) 2logy = (-2logx)/3   

  

                  Resposta da questão 13: 01 + 02 + 04 + 08 + 16 = 31.

Sendo y = 9x, temos x . 9x = 1/3 → x² = 1/27 → x = 1 /√27 → x = 1/3√3,

logo, vem y = 9.(1/3√3) → y = 3/√3 → y = √3

[01] Verdadeira. De fato, pois log₉ y = log₉ √3 = log₉ 3^1/2 = (1/2)/2log₃3 = 1/4

[02] Verdadeira. Com efeito, pois desde que x/y = 1/9, temos log_√3(x/y) =

log_√3(1/9) = log_√33^-2  = (-2)/(1/2) = - 4

[04] Verdadeira. De fato, pois sendo x² = (1/3)³, vem log_1/3x² = log_1/3(1/3)³ =

3. log_1/3(1/3) = 3.1 = 3

[08] Verdadeira. Com efeito, pois log(xy³) = log(1/3).3 = log1 = 0.

[16] Verdadeira. De fato, pois 2log y = 2.log3^1/2 = 2.(1/2).log3 = (-2/3)logx

  

14. (Uepg 2017)  Uma loja de cosméticos comprou 60 vidros de esmalte da marca M e 40 vidros da marca R, pagando no total R$ 190,00. Se a razão entre os preços unitários dos esmaltes M e R é de 3 para 5, nessa ordem, assinale o que for correto.

01) A diferença entre os preços unitários das duas marcas é de R$ 1,50.   

02) Se a loja tivesse comprado 50 vidros de cada marca, teria pago R$ 10,00 a mais.   

04) Se a loja tivesse comprado todos os 100 vidros de esmalte da marca M, teria pago R$ 40,00 a menos.   

08) Se a loja tivesse comprado todos os 100 vidros de esmalte da marca R, teria pago R$ 40,00 a mais.   

                      Resposta da questão 14: 02 + 04 = 06.

Sejam m e r, respectivamente, os preços unitários dos vidros dos

esmaltes M e R. Logo, vem 60m + 40r = 190 e m/r = 3/5 →

6m + 4r = 19 e m = 3r/5 → 6.3r/5 + 4r = 19 → 18r + 20r = 95 →

38r = 95 → r = R$ 2,50 e m = R$ 1,50.

[01] Falsa. Temos 2,5 – 1,5 = R$ 1,00.

[02] Verdadeira. De fato, pois 50,(2,5 + 1,5) = R$ 200,00. Portanto, a loja

teria pago 200 – 190 = R$ 10,00 a mais.

[04] Verdadeira. Com efeito, pois 100.2,5 – 190 = R$ 40,00.

[08] Falsa. O gasto seria 190 – 100.1,5 = R$ 40,00, menor.  

15. (Uepg 2017)  Os números positivos a, b e c, formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão igual a – 3. Se a área do triângulo ABC cujos vértices são A(a, 0), B(0, b) e C(0, c) é igual a 12 u.a. assinale o que for correto.

01) O perímetro do triângulo ABC é menor que 18 u.c.   

02) b + c >10.   

04) a + b + c = 15.   

08) a é um número primo.   

16) O triângulo ABC é obtusângulo.   

  

                      Resposta da questão 15: 04 + 16 = 20.

Tem-se que (a, b, c) = (a, a – 3, a - 6). Logo, se a área do triângulo ABC é

igual a 12 u.a. então 1/2 . (a – 3  - (a - 6)). a = 12 → a = 8.

Em consequência, vem (a, b, c) = (8, 5, 2). 

[01] Falsa. Sendo AB = √89 u.c., BC = 3 u.c., e AC = √68 u.c., é fácil ver que

o perímetro do triângulo ABC é maior do que 20 u.c.

[02] Falsa. Na verdade, temos b + c = 7 < 10.

[04] Verdadeira. De fato, pois a + b + c = 8 + 5 + 2 = 15.

[08] Falsa. É imediato que a = 8  é um número composto.

[16] Verdadeira. Com efeito, pois (√89)² > 3² + (√68)² → 89 > 77.

  

16. (Uepg 2017)  Uma festa reuniu um público de 1500 pessoas num pátio retangular de largura x metros e comprimento x + 10 m Se a concentração de público nessa festa foi de 4 pessoas por metro quadrado, assinale o que for correto.

01) A largura do pátio é menor que 12 m.   

02) Se o público fosse de 2400 pessoas, a concentração seria superior a 6 pessoas por metro quadrado.    

04) A área do pátio é maior que 350 m².   

08) O comprimento do pátio é maior que 20 m.   

  

                   Resposta da questão 16: 02 + 04 + 08 = 14.

[01] Falsa. Desde que o número total de pessoas é dado pelo produto da área pela concentração de público, temos x(x + 10).4 = 1500 → x² + 10x – 375 = 0 → x = 15 m.

[02] Verdadeira. Sabendo que as dimensões do terreno são 15m e 25 m,    vem 2400/15.25 = 

6,4 > 6.

[04] Verdadeira. Com efeito, pois 15.25 = 375 m² > 350 m²

[08] Verdadeira. De fato, conforme [02].  

17. (Uepg 2017)  Se uma das raízes quadradas do número complexo z é √2/2 + √6i/2 e uma das raízes cúbicas do número complexo w é 1 + i, assinale o que for correto.

01) |z . w| = 4√2.   

02) O argumento de w é π/4.

04) w²⁰ é um número real.   

08) A forma trigonométrica de z é 2(cos 2π/3 + isen2π/3)   

16) z¹⁵ é um imaginário puro.   

  

                  Resposta da questão 17: 01 + 04 + 08 = 13.

Tem-se que z = [√2/2 + (√6/2)i]² = - 1 + i√3  e w = (1 + i)³ = - 2 + 2i.

[01] Verdadeira. De fato, pois |z.w| = |z|.|w| = 2.2√2= 4√2.

[02] Falsa. Seja Ө o argumento principal de w. Assim, temos tgӨ = 2/(-2) = -1, o que implica em Ө = 3π/4 rad.

[04] Verdadeira. Com efeito, pois w²⁰ = (- 2 + 2i)²⁰ = (- 8i)¹⁰ = -2³⁰

[08] Verdadeira. Seja α o argumento principal de z. Logo, sendo tgα = -√3, vem α = 2π/3 rad. Daí, segue que z = 2(cos2π/3 + isen2π/3).

[16] Falsa. Pela Primeira Fórmula de Moivre, segue que

z¹⁵ = 2¹⁵(cos15.2π/3 + isen15.2π/3) = 2¹⁵(cos10π + isen10π) = 2¹⁵.

Portanto, z¹⁵ não é um imaginário puro.  

18. (Uepg 2017)  Um polinômio P(x), do 5º grau, é divisível por x³ – 4x. Sabendo que esse polinômio tem uma raiz dupla e que a soma de suas raízes é 1, assinale o que for correto.

01) O resto da divisão de P(x) por (x + 1) é 27.   

02) O quociente de P(x) por (x - 2) é 4x⁴ + 4x³ – 7x² + 2x   

04) O coeficiente do termo em x³ de P(x) é positivo.   

08) Todas as raízes de P(x) são número inteiros.   

16) P(x) é divisível por(x - 1).   

  

                  Resposta da questão 18: A N U L A D A

O polinômio P(x)  não está definido. Com efeito, pois, por exemplo, tanto

o polinômio P₁(x) = x²(x - 2)(x + 2)(x - 1) quanto o polinômio

P₂(x) = x(x - 2)(x + 2)²(x - 3) têm soma das raízes igual a 1 e são divisíveis

por D(x) = x(x - 2)(x + 2).  

19. (Uepg 2017)  Sabendo que 2i é uma das raízes da equação x⁴ + mx³ + x² + 8x + n = 0, assinale o que for correto.

01) m.n > 0   

02) O produto das raízes da equação é 4.   

04) A soma das raízes da equação é 2.   

08) m + n = - 10.   

16) Uma das raízes reais da equação é – 3.   

  

                   Resposta da questão 19: 08 + 16 = 24.

Se x = 2i é raiz, então (2i)⁴ + m(2i)³ + (2i)² + 8.(2i) + n = 0 →

(n + 12) + (16 – 8m).i = 0 → m = 2 e n = - 12

Sabendo que x = - 2i também é raiz da equação, vem

(x² + 4).(x² + 2x - 3) = 0 → (x² + 4).(x + 3)(x - 1) = 0

[01] Falsa. Na verdade, temos m.n = 2.(-12) < 0.

[02] Falsa. Sendo n = - 12, pelas Relações de Girard, sabemos que o

produto das raízes da equação é - 12/1 = - 12.

[04] Falsa. Como as raízes são – 2i, 2i, - 3, e 1 podemos concluir que a sua

soma vale – 2.

 [08] Verdadeira. Com efeito, pois m + n = 2 + (- 12) = - 10.

[16] Verdadeira. De fato, conforme mostramos acima.   

20. (Uepg 2017)  Sendo M uma matriz quadrada inversível, de ordem 3, assinale o que for correto.

01) Se det M = 5 e det(2M^-1.M) = x + 1, então x = 7.   

02) Se det M = 4  e se k é um número real tal que det (k.M) = 108, então

       k = 9.   

04) Se det (M/2) = 24, então det M^t = 3.   

08) Se det M = 2x + 6 e det M^t = x + 10, = 5  então det (M.M^t) = 16.   

16) Se det M = x + 2 e det M^-1 = x – 8, então o produto dos possíveis valores de x é – 17.   

                   Resposta da questão 20: 01 + 16 = 17.

[01] Verdadeira. De fato, pois det(2.M^-1.M) = x + 1 → 2³. det(M^-1.M) = x + 1 →

x + 1 = 8.1 → x = 7.

[02] Falsa. Tem-se que det(kM) = 108 → k³.detM = 108 → 4k³ = 108 → k = 3.

[04] Falsa. Na verdade, temos detM/2 = 24 →(1/2)³.detM = 24 → detM/8 = 24

→ detM = detM^t = 192.

[08] Falsa. De imediato, vem detM = detM^t → 2x + 6 = x + 10 → x = 4.

Assim, temos detM = detM^t = 14 e, portanto, det(M.M^t) = det²M = 196. 

[16] Verdadeira. Tem-se que detM . detM^-1 = 1 → (x + 2).(x - 8) = 1 →

x² – 6x – 17 = 0.

Em consequência, das Relações de Girard, podemos concluir que o

produto das raízes dessa equação é igual a – 17.  

21. (Uepg 2017)  A média aritmética dos salários dos 12 funcionários de uma empresa é de R$ 1850,00. Foram contratados mais três funcionários A, B e C, de modo que a média salarial dos 15 funcionários passou a ser de R$ 1780,00. Sabendo que o salário de B é 10% maior que o de A e que o salário de C é 10% menor que o de A, assinale o que for correto.

01) A soma dos salários dos três novos funcionários é R$ 4500,00.   

02) O salário de A é maior que R$ 1400,00.    

04) C ganha R$ 300,00 a menos que B.   

08) A ganha R$ 250,00 a mais que C.   

  

Resposta da questão 21: 01 + 02 + 04 = 07.

Sejam a, b  e c, respectivamente, os salários dos funcionários A, B e C.

Logo, temos (a + b + c + 12.1850)/15 = 1780 → a + b + c = 4500 

Como sabemos que b = 1,1a e c = 0,9a, vem a + 1,1a + 0,9a = 4500 →

a = R$ 1500,00. Portanto, segue que b = R$ 1650,00 e c = R$ 1350,00.

[01] Verdadeira. De fato, conforme mostramos acima.

[02] Verdadeira. Com efeito, pois R$ 1500,00 > R$ 1400,00.

[04] Verdadeira. De fato, pois 1650 – 1350 = R$ 300,00

[08] Falsa. O funcionário A ganha 1500 – 1350 = R$ 150,00  

22. (Uepg 2017)  Considere as expressões A = sen(π + x).cos(π + x) e       B = sec(2π - x).cotgx, sendo x um número real em que as expressões são definidas. Nesse contexto, assinale o que for correto.

01) Se x = 5π/3, então A.B > 0   

02) Se x = π/6 então B² = 4   

04) A.B = cos x   

08) B = sec x   

16) A = sen 2x   

Resposta da questão 22: 01 + 02 + 04 = 07.

Tem-se que A = sen(π + x).cos(π + x) = (-senx).(-cosx) = (sen2x)/2  e

B = sec(2π - x).cotgx = secx.cotgx = cossecx.

[01] Verdadeira. De fato, pois A.B = sen5π/3 . cos5π/3 . 1/(sen5π/3) =

cos5π/3 > 0.

[02] Verdadeira. Com efeito, pois cossec²π/6 = 1/(1/4) = 4.

[04] Verdadeira. De fato, conforme [01].

[08] Falsa. Na verdade, temos B = cossecx.

[16] Falsa. Mostramos que A = (sen2x)/2.