QUESTÕES VESTIBULAR FGVRJ 2017 - COMENTADAS

1. (Fgvrj 2017)  Seja f uma função real tal que f[(x - 1)/x] = x – 1, para todo x real não nulo. Sendo 0 < Ɵ < π/2, o valor de f(sen² Ɵ) é:

a) sen² Ɵ   

b) cos² Ɵ   

c) tg² Ɵ   

d) sec² Ɵ   

e) cossec² Ɵ   

  

Resposta da questão 1:[C]

Calculando:

f[(x - 1)/x] = x – 1 → f(g(x)) = x – 1 → g(x) = (x - 1)/x

g(x) = (x - 1)/x = sen²Ɵ → x – 1 = x. sen²Ɵ → x – x. sen²Ɵ = 1 →

x(1 – sen²Ɵ) = 1 → x.cos²Ɵ = 1 → x = 1/cos²Ɵ.

Quando x = 1/cos²Ɵ → f(g(x)) = f[(x – 1)/x] = f(sen²Ɵ)

Como f(sen²Ɵ) = 1/cos²Ɵ – 1 = (1 - cos²Ɵ)/cos²Ɵ  = sen²Ɵ/cos²Ɵ  = tg²Ɵ

  

2. (Fgvrj 2017)  A equipe olímpica de Matemática da Escola Math é composta de três meninos e quatro meninas.

Para a próxima Olimpíada de Matemática, cada escola deverá enviar quatro representantes e, dada a homogeneidade intelectual de sua equipe, a Escola Math resolveu sortear entre os sete estudantes de sua equipe os quatro que a representarão.

Os quatro representantes serão sorteados um de cada vez, sem reposição. A probabilidade de que nem todos os meninos estejam entre os quatro representantes é:

a) 2/7   

b) 3/7   

c) 11/14   

d) 25/28   

e) 31/35   

  

Resposta da questão 2:[E]

Sendo o evento A o evento em que nem todos os meninos são escolhidos

e o evento B e evento em que todos os meninos são escolhidos, pode-se

escrever: Universo = C_7,3 = 7!/3!4! = 35 ; P(A) = 1 - P(B) ;

P(B) = 4/35 (4 meninas) → P(A) = 1- 4/35 = 31/35

  

3. (Fgvrj 2017)  O líquido AZ não se mistura com a água. A menos que sofra alguma obstrução, espalha-se de forma homogênea sobre a superfície da água formando uma fina película circular com 0,2 cm de espessura. Uma caixa em forma de paralelepípedo retangular, com dimensões de 7 cm, 10 cm  e 6 cm, está completamente cheia do líquido AZ. Seu conteúdo é, então, delicadamente derramado em um grande recipiente com água. O raio da película circular que o líquido AZ forma na superfície da água, em centímetros, é:

a) 0,1√(21/π)   

b) √(210/π)      

c) 10√(21/π)      

d) √(21/10π)      

e) √21 /10π     

  

Resposta da questão 3:[C]

Calculando: V_Caixa = 7.10.6 = 420 cm³

V_Película  = V_Caixa = π.R².0,3 = 420 → R² = 2100/π → R = 10√(21/π) cm.

  

4. (Fgvrj 2017)  Cada aresta de um cubo é pintada de verde ou de amarelo.

Após a pintura, em cada face desse cubo há pelo menos uma aresta pintada de verde. O número máximo de arestas desse cubo pintadas de amarelo é:

a) 6   

b) 9   

c) 8   

d) 10   

e) 4   

  

Resposta da questão 4:[B]

Para que em cada face desse cubo exista pelo menos uma aresta pintada

de verde é preciso que no mínimo 3 arestas estejam pintadas de verde.

Como o cubo possui 12 arestas, o número máximo de arestas desse cubo

pintadas de amarelo será igual a 9.  

5. (Fgvrj 2017)  Considere a reta de equação 4x – 7y + 10 = 0.

Seja y = mx + h  a equação da reta obtida ao se fazer a reflexão da reta dada em relação ao eixo x. O valor de m + h  é:

a) - 10/11   

b) - 10/7   

c) - 2   

d) - 7   

e) - 10   

  

Resposta da questão 5: [C]

Calculando:

reta r : 4x – 7y + 10 = 0 → y = 4x/7 + 10/7

reta s :  y = mx + h , como ''s'' é a reflexão de ''r'' em relação ao eixo x,

então  m_s = - m_r → m_s = -4/7 e h_s = - h_r → h_s = -10/7 → s : y = -4x/7 - 10/7

Portanto m_s + h_s = -4/7 + (- 10/7) = - 14/7 = - 2  

6. (Fgvrj 2017)  Na resolução de um problema que recaía em uma equação do 2º grau, um aluno errou apenas o termo independente da equação e encontrou como raízes os números 2 e  -14. Outro aluno, na resolução do mesmo problema, errou apenas o coeficiente do termo de primeiro grau e encontrou como raízes os números 2 e 16. As raízes da equação correta eram:

a) - 2 e - 14   

b) - 4 e - 8   

c) - 2 e 16   

d) - 2 e - 16   

e) 4 e 14   

  

Resposta da questão 6:[B]

Calculando:

Aluno 1

ax² + bx + c_i = 0 → x' = 2 e x'' = - 14 → x' + x'' = - b/a → - 12 = -b/1 → b = 12

e x' . x'' = c/a → - 28 = c/a → c_i = - 28, então 4a + 12.2–28 = 0→4a = 4 →a = 1

Aluno 2

ax² + b_i x + c = 0 → x' = 2 e x'' = 16 → x' + x'' = - b/a → 18 = -b → b_i = - 18

e x' . x'' = c/a → 32 = c/a → c = 32

Equação correta: ax² + bx + c = 0 → x² + 12x + 32 = 0 → x' = - 4 ou x''= - 8

  

7. (Fgvrj 2017)  A área de um trapézio mede 1800 cm². A altura desse trapézio mede 50 cm. Considere o problema de determinar as medidas das bases desse trapézio, sabendo que essas medidas, em centímetros, são números inteiros divisíveis por 8. O número de soluções desse problema é:

a) 3   

b) 2   

c) 1   

d) 4   

e) 5   

  

Resposta da questão 7:[D]

Calculando:

S = (B + b).h/2 = (B + b).50/2 = 1800 → B + b = 72

Como b/8 + B/8 = 72/8 → b/8 + B/8 = 9, então dois números inteiros cuja

soma é 9 → 1 e 8 ; 2 e 7 ; 3 e 6 ; 4 e 5 → 4 possibilidades.

  

8. (Fgvrj 2017)  A razão entre a área do quadrado inscrito em um semicírculo de raio R e a área do quadrado inscrito em um círculo de raio R é:

a) 1/2   

b) 1/3   

c) 3/4   

d) 2/5   

e) 1/4   

  

Resposta da questão 8: [D]

Calculando:

                 

Semicírculo → R² = x²/4 + x² → R² = 5x²/4 → S = x² = 4R²/5

Círculo → R² = x²/4 + x²/4 → R² = 2x²/4 → S = x² = 4R²/2

Razão →  (4R²/5)/(4R²/2) = 2/5

9. (Fgvrj 2017)  Considere quatro números inteiros positivos. A cada um desses quatro números soma-se a média aritmética dos outros três, obtendo-se como resultados os números 48, 42, 32  e 34. Um dos números originais é:

a) 34   

b) 31   

c) 30   

d) 33   

e) 32   

  

Resposta da questão 9: [D]

Calculando:

a + (b + c + d)/3 = 48 → (3a + b + c + d)/3 = 48 → 3a + b + c + d = 144

b + (a + c + d)/3 = 42 → (3b + a + c + d)/3 = 42 → 3b + a + c + d = 126

c + (a + b + d)/3 = 32 → (3c + a + b + d)/3 = 32 → 3c + a + b + d = 96

d + (a + b + c)/3 = 34 → (3d + a + b + c)/3 = 34 → 3a + b + c + d = 102

Resolvendo o sistema obtemos a = 33 ; b = 24 ; c = 9 ; d = 12

10. (Fgvrj 2017)  Duas velas do mesmo tamanho são acesas no mesmo instante. A primeira é consumida totalmente em 4 horas e a segunda, em 3 horas. Suponha que cada uma das velas seja consumida a uma velocidade constante. Após serem acesas, o tamanho da primeira vela será o triplo do tamanho da segunda, decorridas:

a) 2h45min   

b) 2h40min   

c) 2h48min   

d) 2h52min   

e) 2h30min   

  

Resposta da questão 10: [B]

Calculando:

t = tempo em horas ; Vela₁ = h'_t = h – t.h/4 ; Vela₂ = h''_t = h – t.h/3

Como h' = 3h'' , então h – t.h/4 = 3.( h – t.h/3) → h(1 – t/4) = 3h( 1 – t/3)

(1 – t/4) = 3( 1 – t/3) → 1 – t/4 = 3 – t → t - t/4 = 3 – 1 → 3t = 8 → t = 8/3

t = (2 + 2/3) horas → t = 2h 40 min

11. (Fgvrj 2017)  Um comerciante comprou mercadorias para revendê-las. Ele deseja marcar essas mercadorias com preços tais que, ao dar descontos de 20% sobre os preços marcados, ele ainda obtenha um lucro de 25% sobre o preço de compra. Em relação ao preço de compra, o preço marcado nas mercadorias é:

a) 30% maior.   

b) 40% maior.   

c) 45% maior.   

d) 50% maior.    

e) mais de 50% maior.   

  

Resposta da questão 11:[E]

Calculando: preço custo = x ; preço revenda = y

0,8y = 1,25x → y = 1,5625x → y > 1,5x

12. (Fgvrj 2017)  Considere as instruções a seguir, dadas a um computador:

1. Inicialize o valor de x com 4 e o valor de y com 0 (zero);

2. Some 7 ao valor de x;

3. Some x ao valor de y;

4. Se o valor de y for no mínimo 100, vá para a instrução 5; caso contrário, vá para a instrução 2 e prossiga a partir de lá;

5. Imprima o valor de x;

6. Pare.

O valor de x que será impresso na instrução 5 é:

a) 101   

b) 54   

c) 29   

d) 25   

e) 39   

  

Resposta da questão 12: [E]

Fazendo os cálculos:

x = 4 → x = 4 + 7 = 11 → x = 11 + 7 = 18 →  x = 18 + 7 = 25 → x = 25 + 7 = 32

→ x = 32 + 7 = 39

y = 0 → y = 0 + 11 = 11 → y = 11 + 18 = 29 →  y = 29 + 25 = 54 → y = 54 + 32

= 86 → x = 86 + 39 = 125

13. (Fgvrj 2017)  Cinco amigos, Ayrton, Emerson, Felipe, Nelson e Rubens, disputaram uma corrida de kart, com somente cinco participantes. Após uma sessão para a “tomada de tempos”, eles largaram na ordem estabelecida por essa sessão. Ao final da corrida e em relação às respectivas posições de largada, Ayrton melhorou uma posição, Emerson piorou duas posições, Felipe e Nelson trocaram de posição. Rubens ganhou a corrida. Na largada, Rubens ocupava a posição de número:

a) 2   

b) 1   

c) 3   

d) 4   

e) 5   

  

Resposta da questão 13: [A]

As opções de posicionamento de acordo com as informações das posições de Ayrton, Emerson e Rubens são:

Largada	Final		Largada	Final		Largada	Final
Emerson	Rubens		A	Rubens		Emerson	Rubens
B	Ayrton		Emerson			B
Ayrton	Emerson		C	Ayrton		C	Emerson
C			Ayrton	Emerson		D	Ayrton
D			E			Ayrton
Largada	Final		Largada	Final		Largada	Final
A	Rubens		A	Rubens		A	Rubens
Emerson	Ayrton		B			B
Ayrton			Emerson	Ayrton		Emerson
D	Emerson		Ayrton			D	Ayrton
E			E	Emerson		Ayrton	Emerson

Como Felipe e Nelson trocaram de posição, suas respectivas posições não devem permutar com o posicionamento dos outros três participantes. Assim, a única opção válida de posicionamento será:

Largada	Final
Emerson	Rubens
Rubens	Ayrton
Ayrton	Emerson
C	D
D	C

Onde Felipe e Nelson ocupam as posições C e D (não há como precisar qual ocupa qual, apenas que elas se invertem na chegada).  

14. (Fgvrj 2017)  Um estacionamento cobra R$ 15,00 pela primeira meia hora e R$ 10,00 por cada meia hora seguinte. O valor cobrado em reais por N horas, N inteiro, nesse estacionamento, é:

a) 20N + 5   

b) 10N + 5   

c) 10N + 15   

d) 15N + 10   

e) 30N - 5   

  

Resposta da questão 14:[A]

Nesse caso é preciso escrever a quantidade de “meia horas” contido em

N horas. Cada hora possui 2 metades, logo teremos 2N “meia horas” em

N horas. Dessas, a primeira custa 15 reais e a demais 10 reais. Assim,

pode-se escrever: f(N) = 15 + (2N - 1).10 → f(N) = 20N + 5

15. (Fgvrj 2017)  Para uma sequência finita (a₁, a₂, ..., a_n) de números reais, a soma de Cesaro é definida como (S₁, S₂, ..., S_n)/n, onde S_K =  a₁ + a₂ + ... + a_K , (1 ≤ k ≤ n). Se a soma de Cesaro da sequência de 2016 termos        (a₁, a₂, ..., a₂₀₁₆)  é 6051, então a soma de Cesaro da sequência de 2017 termos (1, a₁, a₂, ..., a_n) é:

a) 6049   

b) 6053   

c) 6052   

d) 6050   

e) 6051   

Resposta da questão 15:[A]

Calculando para 2016 termos:

(S₁ + S₁ + ... + S₂₀₁₆ )/2016 = 6051 →

[a₁ + (a₁ + a₂) + (a₁ + a₂ + a₃ ) + ... + (a₁ + a₂ + ... + a₂₀₁₆)]/2016 = 6051

a₁ + (a₁ + a₂) + (a₁ + a₂ + a₃ ) + ... + (a₁ + a₂ + ... + a₂₀₁₆)2016 = 6051.2016

Calculando para 2017 termos:

(S₁ + S₁ + ... + S₂₀₁₇ )/2017 = x →

[1 + (1 + a₁) + (1 + a₁ + a₂ ) + ... + (1 + a₁ + a₂ + ... + a₂₀₁₆)]/2017 = x

2017 + [a₁ + (a₁ + a₂) + (a₁ + a₂ + a₃ ) + ... + (a₁ + a₂ + ... + a₂₀₁₆)2016] = x

(2017 + 6051.2016)/2017 = x → x = 6049