QUESTÕES VESTIBULAR SÃO CAMILO DE MEDICINA 2017.2 – COMENTADAS

1. De acordo com o Ministério da Saúde, de dezembro de 2016 a 10 de fevereiro de 2017 foram confirmados 230 casos de febre amarela no Brasil. Nesse período, foram notificados 1 170 casos suspeitos, sendo que 847 permanecem em investigação, 93 foram descartados e os demais confirmados. Das 186 mortes notificadas, 79 foram confirmadas como tendo sido causadas pela febre amarela, 104 ainda são investigadas e 3 foram descartadas. 

Vejamos :

Sabendo que de 12/2016 a 02/2017 = 230 casos de febre amarela.

Notificados 1170 casos suspeitos = 847(observação) + 93(descartados) +

230(confirmados).

Das 186 mortes = 79(confirmadas) + 104(investigadas) + 3(descartadas)

a) Suponha que, entre os casos investigados, X deles sejam confirmados como febre amarela e que a porcentagem de casos confirmados, em relação ao número total de casos suspeitos, passe a ser 20%. Nessas condições, determine o valor de X. 

Casos investigados = 1170 → X = 230 deles sejam confirmados.

A porcentagem de casos confirmados, em relação ao número total de

casos suspeitos, passe a ser 20% → X = 234.

b) Suponha agora que o número de mortes notificadas aumente 50%, que o número de casos de morte descartados aumente 100% e que o número de mortes confirmadas seja 92. Nessas condições, determine a porcentagem aproximada que o número de casos de mortes investigados representa em relação ao novo total de mortes notificadas.

Mortes notificadas aumente 50% → 186 para 279.

morte descartados aumente 100% → 3 para 6.

de mortes confirmadas seja 92.

Das 279 mortes = 92(confirmadas) + Y(investigadas) + 6(descartadas) →

Y = 279 – 92 – 6 → Y = 181.

 A porcentagem do número de casos de mortes investigados

em relação ao novo total de mortes notificadas → 181/279 ≈ 65%

2. Uma pessoa empilhou caixas de fósforo, todas iguais entre si, da seguinte maneira:

•  A 1^a e a 2^a pilhas tinham 3 caixas cada uma.

•  A 3^a e a 4^a pilhas tinham 5 caixas cada uma.

•  A 5^a e a 6^a pilhas tinham 7 caixas cada uma, e assim sucessivamente.

a) Determine o número total de caixas de fósforo empilhadas nas 20 primeiras pilhas. 

Observe a sequência que indica a quantidade de caixas nas pilhas →            

( 3, 3, 5, 5, 7, 7, ... ).

Nas pilhas ímpares e pares estão caracterizadas duas

progressões aritméticas idênticas, portanto basta calcular o dobro, da

somas de seus 10 primeiros.

Como a_n = a₁ + (n - 1)r → a₁₀ = 3 + (10 - 1).2 → a₁₀ = 3 + 18 → a₁₀ = 21.

Como S_n = (a₁ + a_n).n/2 → S₁₀ = (3 + 21).10/2 → S₁₀ = 24.5 → S₁₀ = 120

Então a soma das 20 pilhas corresponde a 240 caixas de fósforo.

b) Quais são as duas pilhas, com o mesmo número de caixas de fósforos em cada uma, que possuem juntas um total de 126 caixas?

Como as duas pilhas, com o mesmo número de caixas de fósforos,

possuem juntas um total de 126 caixas, então  2.S_n = 126 → S_n = 63 →

(a₁ + a_n).n/2 = 63 → [a₁ + a₁ + (n - 1)r].n = 126  → [3 + 3 + (n - 1)2].n = 126  →

(6 + 2n - 2).n = 126  → (4 + 2n).n = 126  → 2n² + 4n – 126 = 0 (÷ 2) →

n² + 2n – 63 = 0 → ∆ = 2² – 4.1.(- 63) = 4 + 252 = 256 → x = (- 2 ± √256)/2 →

x = (- 2 ± 16)/2 → x' = 7 ou x'' = - 9(não convém).

Portanto as duas pilhas são a 13^a e a 14^a.

3. Em um hospital foram internados, no mesmo dia, 6 pacientes com pneumonia, 8 com febre amarela e 2 com AVC (acidente vascular cerebral), sendo que cada um desses pacientes apresentava somente uma dessas doenças. Suponha que os prontuários desses pacientes estejam todos em uma mesma caixa.

a) Retirando-se aleatoriamente 3 desses prontuários, um após o outro, determine a probabilidade de que os 3 sejam de pacientes com febre amarela. 

Se 6 pacientes estavam com pneumonia, 8 com febre amarela e 2 com

AVC, então foram internados 16 pacientes em um mesmo dia.

Retirando-se aleatoriamente 3 doentes, todos com febre amarela :

P = 8/16 . 7/15 . 6/14 = 1/2 . 7/15 . 3/7 = 1/2 . 1/5 = 1/10 = 10%.

Portanto a probabilidade de que os 3 sejam de pacientes com febre

amarela é de 1/10 = 10%

b) Retirando-se aleatoriamente 2 desses prontuários, um após o outro, determine a probabilidade de que, pelo menos um deles, seja de um paciente com febre amarela.

Retirando-se aleatoriamente 2 desses prontuários, pelo menos um deles, seja de um paciente com febre amarela.

P = 1(todos) - 8/16 . 7/15 (dois sem febre amarela) → P = 1 - 1/2 . 7/15 →

P = 1 - 7/30 → P = 23/30

Portanto a probabilidade de que, pelo menos um deles, seja de um paciente com febre amarela é de 23/30 ≈ 77%

4. Um determinado tipo de doença está infectando as pessoas de uma cidade. Esse processo ocorre de acordo com a função f(x) = 5 + 10log₂(2x), em que x é o número inteiro de semanas e f(x) é o número aproximado de pessoas infectadas até a semana x, com 1 ≤ x ≤ 10. Considerando que nenhuma pessoa infectada se curou nessas 10 semanas: 

a) Determine a semana em que há, no total, 20 pessoas infectadas a mais do que o total de pessoas infectadas até a 2^a semana. 

Sendo f(x) = 5 + 10log₂(2x) e f(x) = f(2) + 20 →

5 + 10log₂(2x) = 5 + 10log₂(2.2) + 20 → 10log₂(2x) = 10log₂4 + 20 →

10log₂(2x) = 10.2 + 20 → 10log₂(2x) = 40 → log₂(2x) = 4 → 2x = 2⁴ → x = 8.

Portanto na 8^a semana haviam 20 pessoas a mais do que na 2^a semana.

b) Utilizando log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, determine o número de pessoas infectadas até a 3^a semana.

Sendo f(x) = 5 + 10log₂(2x), então na 3^a semana → f(3) = 5 + 10log₂(2.3) →

f(3) = 5 + 10(log₂2 + log₂3) → f(3) = 5 + 10(1 + log3/log2) →

f(3) = 5 + 10(1 + 0,48/0,30) → f(3) = 5 + 10(1 + 1,6) → f(3) = 5 + 26 → f(3) = 31

Portanto  na 3^a semana haviam 31 pessoas infectadas.

5. Considere o triângulo retângulo ABC, reto em B, de vértices A(2, 6), B(2, 3) e C(6, 3) e o quadrado ACDE, com D(9, 7), conforme mostra a figura.

Determine:

a) a área do triângulo BCD, destacado na figura.

 

A_∆BCD = 1/2 . | X_B .YC + X_C .Y_D + X_D .Y_B – X_B .Y_D – X_D .Y_C – X_{C .}Y_B |

A_∆BCD = 1/2 . | 2 .3 + 6 .7 + 9 .3 – 2 .7 – 9 .3 – 6 _.3 |

A_∆BCD = 1/2 . | 6 + 42 + 27 – 14 – 27 – 18 | = 1/2 . | 75 – 59 | = 1/2 . 16 = 8

Portanto a Área do ∆BCD é igual a 8 u.a.

b) a equação da reta suporte do lado AE do quadrado.

Como a reta suporte do lado AE é perpendicular à reta suporte do lado

AC, então o coeficiente angular de AE é igual ao inverso simétrico de AC.

Sendo a_AC = (y_C – y_A)/(x_C – x_A) = (3 – 6)/(6 – 2) = - 3/4 → a_AE = - 1/a_AC = 4/3.

Desta forma a reta suporte do lado AE é do tipo y = 4x/3 + b, e contém o

ponto A(2, 6), então 6 = 4.2/3 + b → 6 = 8/3 + b → 18 = 8 + 3b → b = 10/3

Portanto a reta suporte do lado AE é y = 4x/3 + 10/3 ou 4x – 3y + 10 = 0

6. Considere as matrizes A, B e C , com k um número real positivo.

Nessas condições, determine: 

a) o valor de k, sabendo que det (A · B) = det C. 

 

Através do teorema de Binet, para duas matrizes quadradas de mesma

ordem ''A'' e ''B'', det (A · B) = det A · det B.

 Então det A . det B = det C → (2.0 – 1.1).(4.0 - (-1).3) = (2.3 – k.k) →

(-1).3 = 6 – k² → k² = 9 → k' = 3 ou k' = - 3.

Portanto, como k é um número real positivo, então k = 3.

b) a soma de todos os elementos da matriz X, tal que A · X = B.

Resolvendo os sistemas de equações, vem:

2a + c = 4  e  a = 3 → 2.3 + c = 4 → c = - 2

2b + d = - 1  e  b = 0 → 2.0 + d = - 1 → d = - 1   

Portanto a soma dos elementos de X é a + b + c + d = 3 + 0 + (- 2) + (- 1) = 0