QUESTÕES VESTIBULAR UNITINS 2017 – COMENTADAS

1.Sabendo que os ângulos  α, β e γ pertencem a um mesmo ciclo trigonométrico e que :

sen ɣ > 0 e  cotg ɣ > 0

sen α < 0 e cos α < 0

cos β < 0 e tg β < 0

Podemos afirmar que os quadrantes em que esses ângulos estão definidos, respectivamente, serão:

a) 2º, 1º e 2º

b) 1º, 3º e 2º

c) 3º, 2º e 1º

d) 4º, 3º e 2º

e) 1º, 4º e 2º

Vejamos :

Observando o ciclo trigonométrico podemos definir os sinais das relações 

trigonométricas abaixo,

quadrante     sen     cos     tg     cotg     sec     cossec

      1⁰                      +          +       +        +          +           + 

      2⁰                      +          –       –         –         –           + 

      3⁰                      –          –       +          +         –          – 

      4⁰                      –          +        –         –         +           –

    Entao :

sen ɣ > 0 e  cotg ɣ > 0, 1⁰ quadrante

sen α < 0 e cos α < 0, 3⁰ quadrante

      cos β < 0 e tg β < 0, 2⁰ quadrante

2. De acordo com as proposições, é correto afirmar que:

a) Somente I esta correta.

b) Somente II e III estão corretas.

c) Somente I e III estão corretas.

d) Somente I e II estão corretas.

e) Somente III está correta

Vejamos :

I) VERDADEIRO, sendo A a matriz Identidade, então sua Inversa A^-1 será

igual a A. Portanto (A + A^-1)² = (A + A)² = (2A)² = 4A² = 4I².

II) VERDADEIRO, por definição, basta trocar a primeira coluna pela

primeira linha, a segunda coluna pela segunda coluna e assim por

diante .

III) FALSO, a₁₁ = 4.1 - 2.1 + 3 = 5 e não -5.

3. Sabendo que em um triângulo NOP o ângulo interno do vértice O mede 70⁰ e  o ângulo interno do vértice P mede 30⁰, a soma do ângulo interno do vértice N com o ângulo agudo definido pela bissetriz interna do vértice N e a bissetriz externa do vértice do ângulo P será igual a:

a) 115⁰

b) 145⁰

c) 125⁰

d) 105⁰

e) 95⁰

Vejamos :

                                                                     

                                                                 

                                       

Como 70⁰ + 30⁰ + 2x = 180⁰, então x = 40⁰ e  2z + 30⁰ = 180⁰, então z = 75⁰.

Sendo x + y + 30⁰ + z = 180⁰ → 40 + y + 30⁰ + 75 = 180⁰ → y = 180⁰ - 145⁰ →

y = 35⁰.

Portanto, a soma do ângulo interno do vértice N, com o ângulo agudo

definido pela bissetriz interna do vértice N e a bissetriz externa do

vértice do ângulo P, será igual a 2x + y = 80⁰ + 35⁰ = 115⁰

4.  No Tocantins, a partir do mês de maio do ano de 2016, foi necessária a inclusão do número 9 como primeiro algarismo para realizar uma ligação para todos os telefone celulares do Estado. Assim, qual a quantidade máxima de números de telefones com 9 algarismos indiferentes de sua sequência numérica a partir do segundo algarismo, podem ser disponibilizados para o Estado do Tocantins?

a) 999 999 999

b) 800 000 000

c) 900 000 000

d) 899 000 000

e) 100 000 000

Vejamos :

A sequência numérica a partir do segundo algarismo, podem ser

disponibilizados da seguinte forma : 9,xxxxxxxx, ou seja

10.10.10.10.10.10.10.10 = 10⁸ = 100.000.000

5. Uma empresa de transporte cobra em cada corrida o valor fixo de R$ 220,00 mais R$ 2,90 por quilômetro rodado. A quantidade máxima de quilômetros rodados para que em uma corrida o valor total a ser pago não ultrapasse R$ 2.300,00 será:

a) 793 km

b) 717 km

c) 638 km

d) 1.179 km

e) 2.980 km

Vejamos :

Uma empresa de transporte cobra em cada corrida o valor fixo de R$

220,00 mais R$ 2,90 por quilômetro rodado → Custo = C(x) = 220 + 2,9x,

onde x indica os quilômetros rodados.

A quantidade máxima de quilômetros rodados para que  o valor total a ser

pago não ultrapasse R$ 2.300,00 → C(x) = 220 + 2,9x ≤ 2300 →

2,9x ≤ 2300 – 220 → 2,9x ≤ 2080 → x ≤ 2080/2,9 → x ≤ 717,24.

Portanto 717 km

6. Em uma apresentação de uma peça teatral, foram vendidos 1.000 bilhetes, arrecadando um total de R$ 5.550,00. Sabendo que o valor da entrada foi de R$ 6,00 para homens e R$ 4,50 para mulheres, a razão entre quantidade de mulheres e homens que assistiram a peça foi igual a:

a) 7/3

b) 4/3

c) 3/7

d) 3/4

e) 5/3

Vejamos :

Homens(x) → R$ 6,00  e Mulheres(y) → R$ 4,50

Foram vendidos 1.000 bilhetes → x + y = 1000, arrecadando um total de

R$ 5.550,00 → 6x + 4,5y = 5550.

Resolvendo o sistema, x = 1000 – y e 6x + 4,5y = 5550 →

6.(1000 - y) + 4,5y = 5550 → 6.000 - 6y + 4,5y = 5550 → -1,5y = - 450 →

y = 300 e x = 700.

Portanto a razão entre quantidade de mulheres e homens → y/x = 3/7

7. O professor Paulo, ao corrigir as provas de Cálculo, verificou que a média foi igual a 60. Alterando o sistema de avaliação e conservando nota máxima igual a 100, verificou que a nova média da sala passou a ser 80. Sabendo que a nota mínima de aprovação antes da reavaliação proposta era igual a 50, o valor da nova nota de aprovação será:

a) 65

b) 60

c) 75

d) 55

e) 70

Vejamos :

A média foi igual a 60, quando a nota mínima de aprovação era igual a 50,

Alterando o sistema de avaliação, verificou que a nova média da sala

passou a ser 80, então 60/80 = 0,75 = 75%.

Portanto 75% de 100 = 75 será a nova nota de aprovação .

8. Sabendo que a área do polígono ABCDEF é igual a 794cm², o valor em cm² da área do trapézio CDEF será de aproximadamente:

a) 33,12 cm²

b) 247 cm²

c) 24,7 cm²

d) 331,2 cm²

e) 475 cm²

Vejamos :

Observe os dois trapézios, ABCF e CDEF.

Trapézio ABCF → Base maior = AE = 2x + 5, Base menor = BC = 2x + 5 - (x

+ 3) = x + 2, Altura = AB = 2x + 5.

Trapézio CDEF → Base maior = EF = (2x + 5) + (x + 3) = 3x + 8, Base menor

= CD = x + 3, Altura = DE = x + 3

Se a área do polígono ABCDEF é igual a 794cm², então Area_ABCF +

Area_CDEF = 794.

Como a área de um trapézio é A = (Base maior + Base menor).Altura/2,

[(2x + 5+ x + 2).(2x + 5)]/2 + [(3x + 8 + x + 3).(x + 3)]/2= 794 →

(3x + 7).(2x + 5) + (4x + 11).(x + 3) = 1588 →

6x² + 15x + 14x + 35 + 4x² + 12x + 11x + 33 – 1588 = 0

10x² + 52x  – 1520 = 0(: 2) → 5x² + 26x – 760 = 0 →

∆ = 676 + 4.5.760 = 15876 → x = (- 26 ± 126)/10 → x' = 10 ou x'' = - 15,2(?)

Portanto a área do trapézio CDEF é igual a (4.10 + 11).(10 + 3)/2 = 51.13/2

663/2 = 331,5 cm²

9 -  Analise as proposições e dê a soma das proposições corretas:

01) Se log_bx = 11 e log_by = 6 , o valor de log_b (x³ y²) = 45 .

02) O valor da expressão log₃ 5 . log₂₅ 81 é igual a 2.   

04) o valor de x  para a equação exponencial 5^{x^2 – 2x} = 125 pode ser x = 3 ou x = -1.  

08) A solução da inequação 2^{x + 7} < 32  é S = {x ɛ R / x < - 2}

a) 15

b) 12

c) 10

d) 3

e) 1

Vejamos :

01) VERDADEIRO, Se log_bx = 11 e log_by = 6 , o valor de log_b (x³ y²) =

log_b x³ + log_b y² = 3log_b x + 2log_b y = 3.11 + 2.6 = 45

02) VERDADEIRO, O valor da expressão log₃ 5 . log₂₅ 81 =

log₃ 5 . (log₃ 81/log₃ 25) = log₃ 5 . (4log₃ 3/2log₃ 5) = log₃ 5 . (4/2log₃ 5) =   

(4log₃ 5)/(2log₃ 5) = 4/2 = 2. 

 04) VERDADEIRO, o valor de x  para a equação exponencial 5^{x^2 – 2x} = 125 → x² - 2x = 3 → x² - 2x - 3 = 0  pode ser x = 3 ou x = -1.  

08) VERDADEIRO, A solução da inequação 2^{x + 7} < 32  → 2^{x + 7} < 2⁵ →

x + 7 < 5 é S = {x ɛ R / x < - 2}

Portanto 01 + 02 + 04 + 08 = 15

10. Uma pesquisa realizada entre 3.400 alunos de uma escola revelou que exatamente 17% praticam futebol, 22% praticam basquete e 8% praticam basquete e futebol. A soma dos alunos que praticam futebol com os alunos que não praticam nenhum dos dois esportes é:

a) 1.780

b) 1.045

c) 1.326

d) 2.460

e) 2.924

 Vejamos :

Observando os dados apresentados, vem

17% praticam futebol → 17% de 3400 = 578

22% praticam basquete → 22% de 3400 = 748

8% praticam basquete e futebol → 8% de 3400 = 272

O número dos alunos que praticam basquete ou futebol →

futebol + basquete - (basquete e futebol) = 578 + 748 - 272 = 1054

O número dos alunos que não praticam basquete ou futebol →

3400 - 1054 = 2346.

Finalmente, a soma dos alunos que praticam futebol com os alunos que

não praticam nenhum dos dois esportes é 578 + 2346 = 2924