QUESTÕES VESTIBULAR ESPCEX AMAN 2018 - COMENTADAS

1. (Espcex (Aman) 2018)  Na figura estão representados os gráficos das funções reais f (quadrática) e g (modular) definidas em R. Todas as raízes das funções f e g também estão representadas na figura.

Sendo h(x) = f(x)/g(x), assinale a alternativa que apresenta os intervalos onde h assume valores negativos.

a) ]- 3, - 1] U ]6, 8]   

b) ]- ∞, - 3[ U ]- 1, 6[ U ]8, ∞[     

c) ]- ∞, 2[ U [4, ∞]      

d) ]- ∞, - 3[ U [- 1, 2[ U [7, ∞[      

e) ]- 3, - 1] U [2, 4[ U ]6, 8]      

  

Resposta da questão 1: [B]

Para que h(x) assuma valores negativos, devemos ter: f(x) < 0

e g(x) > 0 ou f(x) > 0 e g(x) < 0.

                

Repare que h(x) < 0 nos intervalos em destaque, logo, x < - 3

ou – 1 < x < 6 ou x > 8.

Então, ]- ∞, - 3[ U ]- 1, 6[ U ]8, ∞[     

2. (Espcex (Aman) 2018)  Duas instituições financeiras fornecem senhas para seus clientes, construídas segundo os seguintes métodos:

1ª instituição: 5 caracteres distintos formados por elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2ª instituição: 6 caracteres distintos formados por duas letras, dentre as vogais, na primeira e segunda posições da senha, seguidas por 4 algarismos dentre os elementos do conjunto {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Para comparar a eficiência entre os métodos de construção das senhas, medindo sua maior ou menor vulnerabilidade, foi definida a grandeza "força da senha", de forma que, quanto mais senhas puderem ser criadas pelo método, mais "forte" será a senha.

Com base nessas informações, pode-se dizer que, em relação à 2ª instituição, a senha da 1ª instituição é :

a) 10% mais fraca.   

b) 10% mais forte.   

c) De mesma força.   

d) 20% mais fraca.   

e) 20% mais forte.   

Resposta da questão 2:[A]

Total de senhas da 1ª instituição: n

Para determinarmos n devemos escolher 5 números distintos do conjunto

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} → n = 9 . 8. 7. 6. 5

Total de senhas da 2ª instituição: m

Para determinarmos m devemos escolher 2 vogais distintas do conjunto

{A, E, I, O, U} e 4 números distintos do conjunto {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} →

m = 5. 4. 7. 6. 5. 4.

Fazendo n/m = (9 . 8. 7. 6. 5) /(5. 4. 7. 6. 5. 4) → n/m =   9 /10 → n/m =  0,9

 n = 0,9m → n = (1 – 0,1)m

Assim, em relação à 2ª instituição, a senha da 1ª instituição é 10% mais

fraca.  

3. (Espcex (Aman) 2018)  Em uma população de homens e mulheres, 60% são mulheres, sendo 10% delas vegetarianas. Sabe-se, ainda, que 5% dos homens dessa população também são vegetarianos. Dessa forma, selecionando-se uma pessoa dessa população ao acaso e verificando-se que ela é vegetariana, qual é a probabilidade de que seja mulher?

a) 50%   

b) 70%   

c) 75%   

d) 80%   

e) 85%   

  

Resposta da questão 3:[C]

Total de pessoas: n

Do enunciado,

Total de mulheres: 0,6n

Total de mulheres vegetarianas: 0,1.0,6n = 0,06n

Total de homens: 0,4n

Total de homens vegetarianos: 0,05.0,4n = 0,02n

Sendo p a probabilidade pedida, p = 0,06n/(0,06n + 0,02n) = 0,06n/0,08n →

p = 6/8 .100% = 75%

  

4. (Espcex (Aman) 2018)  Seja a igualdade a/3 - bi/5 = (cosπ/6 + i.senπ/6)⁴, onde i é a unidade imaginária. Se a e b são números reais, então o quociente a/b é igual a :

a) √3/5   

b) 3√3/5   

c) -3√3/5   

d) -√3/5   

e) 15√3/4   

  

Resposta da questão 4:[A]

a/3 - bi/5 = 1⁴.(cos4π/6 + i.sen4π/6) = cos2π/3 + i.sen2π/3 = -1/2 + i√3/2

entao  a/3 = -1/2 → a = -3/2  e - b/5 = √3/2 → b = -5√3/2

Portanto a/b = -3/2/(-5√3/2) → a/b = √3/5

  

5. (Espcex (Aman) 2018)  Considere o triângulo com ângulos internos x, 45⁰ e 120⁰. O valor de tg²x é igual a :

a) √3 - 2   

b) 4√3 - 7   

c) 7 - 4√3  

d) 2 - √3   

e) 2  - 4√3    

Resposta da questão 5: [C]

Do enunciado, x + 45⁰ + 120⁰ = 180⁰ → x = 60⁰ – 45⁰ → tgx = tg(60⁰ – 45⁰)

tgx = (tg60⁰ – tg45⁰)/(1 + tg60⁰.tg45⁰) → tgx = (√3 - 1)/(1 + √3) →

tg² x  = (√3 - 1)²/(1 + √3)² → tg²x  = (4 - 2√3)/( 4 + 2√3) → tg²x  = 7 - 4√3

6. (Espcex (Aman) 2018)  Considere dois planos α e β perpendiculares e três retas distintas r, s e t tais que r está contida em α, s está contida em β e t = α ∩ β.

Sobre essas retas e os planos é correto afirmar que :

a) as retas r e s somente definirão um plano se forem concorrentes com t em um único ponto.    

b) as retas r e s podem definir um plano paralelo à reta t.   

c) as retas r e s são necessariamente concorrentes.   

d) se r e s forem paralelas, então elas definem um plano perpendicular a α e β.   

e) o plano definido por r e t é necessariamente paralelo a s.   

  

Resposta da questão 6:[B]

Do enunciado, temos:

                        

Façamos r // s.

Dessa forma, é possível construir o plano γ paralelo à reta t, o que faz da

alternativa [B] a alternativa verdadeira.  

7. (Espcex (Aman) 2018)  O valor da altura de um cilindro reto de raio R, cujo volume é a soma dos volumes dos sólidos 1 e 2 é :

                  

a) 13a/12   

b) 7a/6   

c) 5a/4   

d) 4a/3   

e) 17a/12   

  

Resposta da questão 7:[E]

V₁ : volume do sólido 1 → π.R².a/2 + 1/2 . π.R².a/2 = 3/4 . π.R².a

V₂ : volume do sólido 2 → π.R².a/2 + 1/3 . π.R².a/2 = 2/3 . π.R².a

Sendo h a medida da altura do cilindro reto de raio R e volume V₁ + V₂,

temos: π. R². h = 3/4 . π.R².a + 2/3 . π.R².a → π. R². h = 17/12 . π.R².a →

h = 17a/12

8. (Espcex (Aman) 2018)  A angioplastia é um procedimento médico caracterizado pela inserção de um cateter em uma veia ou artéria com o enchimento de um pequeno balão esférico localizado na ponta desse cateter. Considerando que, num procedimento de angioplastia, o raio inicial do balão seja desprezível e aumente a uma taxa constante de o,5 mm/s até que o volume seja igual a 500 mm³ então o tempo, em segundos, que o balão leva para atingir esse volume é :

a) 10   

b) 10³√5/π   

c) 10³√2/π      

d) 10³√π      

e) 10³√3/π      

  

Resposta da questão 8:[E]

Seja r, em mm, a medida do raio de uma esfera cujo volume é 500 mm³.

Temos então: 500 = 4/3 . π . r³ → r³ = 375/π → r = ³√375/π → r = 5³√3/π mm

Sendo t, o tempo em segundos, que o balão leva para atingir o volume

500 mm³, nas condições dadas, 0,5 mm/1s = 5³√3/π mm/t → t = 10³√3/π s

9. (Espcex (Aman) 2018)  Uma elipse tem centro na origem e vértices em (2a, 0) e (0, a), com a > 0. A área do quadrado inscrito nessa elipse é :

a) 16a² /5   

b) 4a² /5      

c) 12a² /5      

d) 8a² /5      

e) 20a² /5      

  

Resposta da questão 9: [A]

Do enunciado, temos:

                           

A equação da elipse é dada por: x²/(2a)² + y²/a² = 1 → x²/4a² + y²/a² = 1

A e B são vértices do quadrado ABCD inscrito na elipse.

Assim, pela figura, o lado AB do quadrado tem medida 2y, ou seja, sua

área S é tal que S = 4y².

Note, na figura, que x = y, logo, x²/4a² + y²/a² = 1 → x² + 4y² = 4a² →

5y² = 4a² →  y² = 4a²/5(.4) →  4y² = 16a²/5 →  S = 16a²/5

10. (Espcex (Aman) 2018)  Na figura abaixo, está representado o plano de Argand-Gauss com os afixos de 12 números complexos, identificados de A a L. Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 partes iguais e que A(1, 0).

                                

O polígono regular cujos vértices são os afixos de ⁴√E é :

a) BEHK

b) CFIL   

c) ADGJ   

d) BDHJ   

e) CEIK   

Resposta da questão 10: [A]

Sendo O o centro da circunferência, temos: AOB = 2π/12 = π/6

AOE = 4. π/6 = 2π/3

Sendo z⁴ o número complexo cujo afixo é o ponto E,

z⁴ = 1. (cos 2π/3 + i. sen 2π/3).

Fazendo z = ρ. (cos θ + i. sen θ) entao z⁴ = ρ⁴. (cos 4θ + i. sen 4θ) →

ρ⁴. (cos 4θ + i. sen 4θ) = 1. (cos 2π/3 + i. sen 2π/3) →

ρ = 1 e cos4θ = cos2π/3.

Se cos4θ = cos2π/3, 4θ = 2π/3 + 2kπ → θ = π/6.(1 + 3k), k = 0, 1, 2, 3 →

Para k = 0 → θ = π/6

Para k = 1 → θ = 2π/3

Para k = 2 → θ = 7π/6

Para k = 3 → θ = 5π/3

Assim, os afixos de ⁴√E são os pontos B, E, H e K, portanto, o polígono

regular é o polígono BEHK.  

11. (Espcex (Aman) 2018)  A curva do gráfico abaixo representa a função      

      y = log₄ x.

                          

A área do retângulo ABCD é :

a) 12   

b) 6   

c) 3   

d) 6log₄ 3/2   

e) log₄ 6   

  

Resposta da questão 11:[B]

Sendo S a área do retângulo ABCD, S = (8 - 2).(y_C - y_D),

C um ponto do gráfico da função y = log₄x, logo, y_C = log₄8

y_C = log_2^2 2^³ → y_C = (3/2)log₂ 2  → y_C = 3/2.

y_D  = y_A e A um ponto do gráfico da função y = log₄x, logo

y = log₄2 → y = log_2^22 → y_A = y_D = 1/2

Assim, S = (8 - 2).(y_C - y_D) = (8 - 2).(3/2 - 1/2) = 6

  

12. (Espcex (Aman) 2018)  Uma matriz quadrada A, de ordem 3, é definida por a_ij = i – j, se i > j e a_ij  = (-1)^{i + j}, i ≤ j. Então det A^-1 é igual a :

a) 4   

b) 1   

c) 0   

d) 1/4   

e) 1/2   

  

Resposta da questão 12: [D]

a₁₁ = (-1)¹⁺¹ = 1, a₁₂ = (-1)¹⁺² = - 1, a₁₃ = (-1)¹⁺³ = 1, a₂₁ = 2 - 1 = 1,

a₂₂ = (-1)²⁺² = 1, a₂₃ = (-1)²⁺³ = - 1, a₃₁ = 3 – 1 = 2, a₃₂ = 3 – 2  = 1,

a₃₃ = (-1)³⁺³ = 1.

                    1   -1    1

Então  A =  1    1    -1  → det A = 4 → det A^-1 = 1/4

                    2    1    1

13. (Espcex (Aman) 2018)  Determine o valor numérico do polinômio p(x) = x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 2017 para x = 89.

a) 53213009   

b) 57138236   

c) 61342008   

d) 65612016   

e) 67302100   

  

Resposta da questão 13:[D]

p(x) = x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 2017 → p(x) = x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1 + 2016

p(x) = C_4,0 .x⁴ .1⁰ + C_4,1 . .1¹ + C_4,2 .x² .1² + C_4,3 .x .1³ + C_4,4 .x⁰ .1 + 2016

p(x) = (x + 1)⁴ + 2016 → p(89) = (89 + 1)⁴ + 2016 → p(89) = 90⁴ + 2016

p(89) = 65610000 + 2016 → p(89) = 65612016

14. (Espcex (Aman) 2018)  Uma circunferência tem centro no eixo das abscissas, passa pelo ponto (4, 4) e não intercepta o eixo das coordenadas. Se a área do círculo definido por essa circunferência é 17π a abscissa de seu centro é :

a) 3   

b) 4   

c) 5   

d) 6   

e) 7   

  

Resposta da questão 14:[C]

Como a área do círculo é 17π temos πr² = 17π → r² = 17, onde r é a

medida do raio do círculo.

Sendo C(x_C, 0) o centro da circunferência, temos (x - x_C)² + y² = 17.

Como o ponto (4, 4) pertence à circunferência, temos (4 - x_C)² + 4² = 17

(4 - x_C)² + 16 = 17 → (4 - x_C)² = 17 – 16 → (4 - x_C)² = 1 → 4 - x_C = ± 1 →

4 – x_C = 1 → x_C = 3 ou 4 – x_C = - 1 → x_C = 5

Assim, a circunferência têm equação (x - 3)² + y² = 17 ou (x - 5)² + y² = 17.

Observe que a circunferência (0 – 3)² + y² = 17 intercepta o eixo das

ordenadas, pois a equação (0 - 3)² + y² = 17 admite solução real, já a

circunferência (x - 5)² + y² = 17 não intercepta o eixo das ordenadas, pois

equação (0 - 5)² + y² = 17 não admite solução real.

Portanto, a abscissa do centro da circunferência é 5.  

15. (Espcex (Aman) 2018)  As raízes inteiras da equação 2^3x - 7.2^x + 6 = 0 são :

a) 0 e 1   

b) -3 e 1   

c) -3, 1 e 2.   

d) -3, 0 e 1   

e) 0, 1 e 2.   

  

Resposta da questão 15:[A]

                                           

2^3x – 7.2^x + 6 = 0 → (2^x)³ – 7.2^x + 6 = 0

Fazendo 2^x = t → t³ – 7.t + 6 = 0 → t³ – t - 6t + 6 = 0 → t.(t² – 1) - 6(t - 1) = 0 →

t.(t – 1).(t + 1) - 6(t - 1) = 0 → (t – 1).[t(t + 1) - 6] = 0 → (t – 1).(t² + t - 6) = 0

                                                                                           

De t – 1 = 0 → t = 1, de t² + t – 6 = 0 → t = 2 ou t = - 3

Como 2^x = t, então 2^x = 1 = x = 0; 2^x = 2 → x = 1 e 2^x = - 3 (não há solução)

Portanto as raízes inteiras da equação 2^3x – 7.2^x + 6 = 0  são x = 0 e x = 1.  

16. (Espcex (Aman) 2018)  O conjunto solução da inequação ||x - 4| + 1| ≤ 2 é um intervalo do tipo [a, b]. O valor de a + b é igual a :

a) -8   

b) -2   

c) 0   

d) 2   

e) 8   

  

Resposta da questão 16:[E]

De ||x - 4| + 1| ≤ 2 → - 2 ≤ |x - 4| + 1 ≤ 2 → - 3 ≤ |x - 4| ≤ 1 → |x - 4| ≤ 1

- 1 ≤ x – 4 ≤ 1 → 3 ≤ x ≤ 5 → a = 3 e b = 5 → a + b = 8

17. (Espcex (Aman) 2018)  Seis círculos de raio 1 cm são inseridos no paralelogramo MNPQ de área X cm² de acordo com a figura abaixo.

                      

Sabendo-se que os seis círculos são tangentes entre si e com os lados do paralelogramo, a área X, em cm², é :

a) 11 + 6√3   

b) (30 + 14√3)/3      

c) 10 + 5√3      

d) 11 - 6√3   

e) (36 + 20√3)/3      

  

Resposta da questão 17:E]

  

Na figura, temos: λ₁ (A, 1) ; λ₂ (B, 1) ; λ₃ (C, 1) ; λ₄ (D, 1).

ABC é um triângulo equilátero, pois AB = AC = BC = 2.

T₁ é ponto de tangência entre λ₁ e MQ, logo, AT₁ ┴ MQ

T₂ é ponto de tangência entre λ₂ e MQ, logo, BT₂ ┴ MQ

T₃ é ponto de tangência entre λ₂ e QP, logo, BT₃ ┴ QP

T₄ é ponto de tangência entre λ₄ e QP, logo, DT₄ ┴ QP

T₅ é ponto de tangência entre λ₄ e NP, logo, DT₅ ┴ Np

Como AT₁T₂ = BT₂T₁ = 90⁰, AT₁ // BT₂ .

Como AT₁ // BT₂ , AT₁ = BT₂ = 1 e AT₁T₂  // BT₂T₁ = 90⁰, AT₁T₂B   é um

retângulo, logo, AB // MQ.

Analogamente, BD // QP, portanto, MQP = 60⁰.

Os triângulos QBT₃ e QBT₂ são congruentes, pelo caso LAL, logo,

BQT₃ = BQT₂ = 60⁰/2 = 30^0.

No triângulo BQT₃ , tg 30⁰ = 1/QT₃ → √3/3 = 1/QT₃ → QT₃ = √3

Os triângulos PDT₄ e PDT₅ são congruentes, pelo caso LAL, logo,

T₄ PD = T₅ PD = 120⁰/2 = 60⁰.

No triângulo PT₄D, tg 60⁰ = 1/PT₄ → PT₄ = √3/3.

Assim, temos:

                        

Portanto, x = (6 + 4√3)/3 . (12 + 4√3)/3 . sen 60⁰

x = (6 + 4√3)/3 . (12 + 4√3)/3 . √3/2 → x = (36 + 20√3)/3 cm²

  

18. (Espcex (Aman) 2018)  Sendo M = arctg(X), N = arctg(1/X) e P = tg(M - N), o valor de 30P para X = 15 é :

a) 224/30   

b) 45/6   

c) 45   

d) 224   

e) 225   

  

Resposta da questão 18: [D]

De M = arctg(X) → tgM = (X)

De N = arctg(1/X) → tgN = (1/X)

Para X = 15, tgM = 15 e tgN = 1/15

P = tg(M - N) = (tgM - tgN)/(1 + tgM.tgN) = (15 - 1/15)/(1 + 15. 1/15)

P = 112/15 → 30P = 30 . 112/15 = 224

19. (Espcex (Aman) 2018)  O conjunto solução da inequação 2sen²x – cosx – 1 ≥ 0, no intervalo ]0, 2π] é :

a) [2π/3, 4π/3].   

b) [π/3, 5π/6].      

c) [π/3, 5π/3].      

d) [π/3, 2π/3] U [4π/3, 5π/3].      

e) [π/6, 5π/6] U [7π/6, 10π/6].      

              

Resposta da questão 19:[C]

2sen²x – cosx – 1 ≥ 0 → 2(1 - cos²x) – cosx – 1 ≥ 0

2 - 2cos²x – cosx – 1 ≥ 0 →  - 2cos²x – cosx + 1 ≥ 0

Resolvendo a equação : - 2cos²x – cosx + 1 = 0 obtemos ∆ = 9

cosx = (1 ± 3)/-4 → cos'x = - 1 ou cosx = 1/2

           -1    +     1/2

 ----------●-----------●--------- → - 1 ≤  cosx ≤ 1/2.

      ─                          ─

Como 0 < x ≤ 2π, então π/3 ≤ x ≤ 5π/3

20. (Espcex (Aman) 2018)  Resolvendo a equação log₃(x² – 2x - 3) + log_1/3(x - 1) = log₃(x + 1), obtém-se :

a) S = {- 1}   

b) S = {4, 5}      

c) S = {6}      

d) S = {ø}      

e) S = {4}     

Resposta da questão 20:[D]

Condições de existência:  (x² – 2x - 3) > 0; (x - 1) > 0 e (x + 1) > 0

De log₃ (x² – 2x - 3) + log_1/3 (x - 1) = log₃ (x + 1)

log₃ (x² – 2x - 3) - log₃ (x - 1) = log₃ (x + 1)

log₃ (x² – 2x - 3)/(x - 1) = log₃ (x + 1)

(x² – 2x - 3)/(x - 1) = (x + 1) → (x² – 2x - 3) = (x - 1).(x + 1)  

x² – 2x - 3 = x² – 1 → – 2x - 3 =  – 1 → - 2x = 2 → x = - 1

Como x = - 1 não convém, pois - 1 -1 < 0, então S = ɸ