QUESTÕES VESTIBULAR UNIT MACEIÓ 2018.1 – COMENTADAS

1.Se uma pessoa possuir certo gene, poderá vir a ter os problemas P, Q ou R. Um portador desse gene só terá Q se tiver R, e, se tiver P, então também terá Q. Se 36% dos portadores do gene têm R, e um terço desses também têm P, então, o percentual de portadores que têm 1 ou 2 dos problemas, está no intervalo :

A) [0%,10%[

B) [10%,20%[

C) [20%,30%[

D) [30%,40%[

E) [40%,50%[

Vejamos :

● Se uma pessoa possuir certo gene, poderá vir a ter os problemas P, Q ou R .

P, Q ou R ; P, R ou Q ; Q, P ou R ; Q, R ou P ; R, Q ou P ; R, P ou Q.

● Um portador desse gene só terá Q se tiver R → gene X → P, R ou Q ;

R, Q ou P ; R, P ou Q.

● Se tiver P, então também terá Q → P, R, Q  ou  R, P, Q.

Se 36% dos portadores do gene têm R, e um terço (12%) desses também

têm P → 36% - 12% = 24% possuem 1 ou 2 problemas, alternativa C.

2. Em uma pesquisa com um grupo de pacientes, cada um tomou n doses do medicamento X, e m doses do medicamento Y. Ao todo, foram tomadas 483 doses de X e 575 de Y.

Para repetir a pesquisa, com o mesmo número de doses por paciente, o total de doses necessárias, para um grupo de 40 pacientes, é :

A) 855

B) 1058

C) 1310

D) 1632

E) 1840

Vejamos :

Em uma pesquisa com um grupo de pacientes (''a'' pacientes), cada um

tomou ''n'' doses do medicamento X, e ''m'' doses do medicamento Y. Ao

todo, foram tomadas 483 doses de X e 575 de Y → a.n = 483 e a.m = 575 →

n = 483/a e m = 575/a .

Como a, n e m são números inteiros, então ''a'' deverá ser divisor comum

a 483 e 575, ou seja 23, consequentemente n = 483/23 → n = 21 e

m = 575/23 → m = 25.

Para repetir a pesquisa, com o mesmo número de doses por paciente, o

total de doses necessárias, para um grupo de 40 pacientes, será

40n + 40m = 40(n + m) = 40(21 + 25) = 40.46 = 1840 doses.

3. Dado o número complexo z = √2/2 cos (2π/9) + i√2/2 .sen (2π/9), o módulo de z⁷  é igual a :

A) √2/32

B) √2/16

C) √2/8

D) √2/4

E) √2/2

Vejamos :

Segundo a segunda lei de Mouvre, se  z = ƿ(cosӨ + isen) entao

zⁿ = ƿⁿ(cos n.Ө + isen n.Ө).

Portanto, se z = √2/2 cos (2π/9) + i√2/2 .sen (2π/9) = √2/2 [cos (2π/9) + i.sen

(2π/9)], então z⁷ = (√2/2)⁷.[cos 7.(2π/9) + i.sen 7.(2π/9)], e seu módulo será

√2⁷/2⁷ = √2⁶.2/2⁷ = 2³.√2/2⁷ = √2/2⁴ = √2/16

                                               QUESTÕES 4 e 5

No dia 1⁰ de setembro de certo ano, ocorreram 14 óbitos causados por certa epidemia, e o número de novos óbitos aumentou, a cada dia, como uma função do 1º grau, chegando a 101 mortes no último dia daquele mês

O número de óbitos pela epidemia no dia 15 daquele mês foi :

A) 55

B) 56

C) 57

D) 58

E) 59

Vejamos :

O número de novos óbitos aumentou, a cada dia, como uma função do 1º

grau, f(x) = ax + b.

No dia 1⁰ de setembro de certo ano, ocorreram 14 óbitos → (1, 14) ɛ f(x) =

ax + b → 14 = a.1 + b → a + b = 14.

Chegando a 101 mortes no último dia daquele mês → (30, 101) ɛ f(x) = ax +

b → 101 = a.30 + b → 30a + b = 101

Resolvendo o sistema 30a + 14 - a = 101 → 29a = 87 → a = 3 → b = 11

O número de óbitos pela epidemia no dia 15 → f(15) = 3.15 + 11 = 56

5. O total de óbitos pela epidemia naquele mês foi :

A) 1580

B) 1615

C) 1667

D) 1725

E) 1770

Vejamos :

Como a função do primeiro grau caracteriza uma PA, então o total de

óbitos no mês poderá ser obtido através de sua soma finita, ou seja

S_n = (a₁ + a_n).n/2 → S₃₀ = (14 + 101).30/2 → S₃₀ = 1725

6. Para que a dosagem x, em mg, de um medicamento seja eficaz, mas também segura, é preciso que (50 - x) . (x -15)  ³ 5x + 86. O intervalo completo no qual isso ocorre é :

A) 20 £ x £ 39

B) 21 £ x £ 36

C) 22 £ x £ 38

D) 23 £ x £ 37

E) 24 £ x £ 35

Vejamos :

Resolvendo a inequação,

(50 - x) . (x -15)  ³ 5x + 86 → 50x – 750 – x² + 15x ≥ 5x + 86 →

– x² + 60x – 836 ≥ 0 (-1) → x² - 60x + 836 ≤ 0  → ∆ = (-60)² – 4.1.836 →

∆ = 3600 – 3344 = 256 → x = (60 ± 16)/2 → x' = 38 ou x'' = 22

                   +             _             +

Portanto  ---------●-------------●---------- 22 ≤ x ≤ 38

                          22              38

                                              QUESTÕES 7 e 8

7. O número de bactérias em uma amostra está aumentando 50% a cada n minutos. Às 8h, haviam 150 bactérias e, às 18h, esse número havia aumentado para 1200.

Nessas condições, é correto estimar, usando log₂ 3 ≈ 1,585, se preciso, que o valor de n é, aproximadamente,

A) 117

B) 158

C) 214

D) 266

E) 317

Vejamos :

Se o número de bactérias está aumentando 50% a cada n minutos, então

Q(n) = Q₀ . 1,5ⁿ.

Admitindo 8h como o momento inicial, e que nesse instante haviam 150

bactérias, então Q₀ = 150.

Às 18h, esse número havia aumentado para 1200 → 1200 = 150 . 1,5ⁿ

1200/150  = 1,5ⁿ → 8 = 1,5ⁿ → log₂ 8 = log₂ 1,5ⁿ → log₂ 2³ = n . log₂ 1,5 →

3 . log₂ 2 = n . log₂ 15/10 → 3 = n . log₂ 3/2 → 3 = n. (log₂ 3 – log₂ 2) →

3 = n. (1,585 – 1) → 3 = 0,585n → n = 3/0,585  → n ≈ 5,13 intervalos em 10

horas ou 600 minutos, portanto n ≈ 600 ÷ 5,13 → n ≈ 117

8. Assim, usando √2 ≈ 1,4, se preciso, é correto estimar que o número de bactérias na amostra, às 13h, era de, aproximadamente,

A) 420

B) 495

C) 580

D) 675

E) 760

Vejamos :

Se às 13 horas, ou seja 5 hs após 8 hs, equivalente a 300 minutos, metade

do tempo para 1200 bactérias, então Q(n) = 150 . 1,5ⁿ = 150 . (8)^1/2 =

= 150 . Ö8 = 150 . 2Ö2 = 420 bactérias      

                                  

9. O gasto de uma clínica para comprar 3600 unidades de um comprimido é de R$2.430,00. Há duas marcas no mercado, uma de melhor qualidade, custando R$0,80 por unidade, e outra de menor preço, que custa R$0,60 por unidade.

Para cada 10 unidades compradas da marca de menor custo, a clínica pode adquirir, no máximo, n da melhor marca, e o valor de n é :

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

Vejamos :

Há duas marcas no mercado, uma de melhor qualidade (x), custando

R$0,80 por unidade, e outra de menor preço (y), que custa R$0,60 por

unidade → x + y = 3600 e 0,8x + 0,6y = 2430.

Resolvendo o sistema,

0,8(3600 - y) + 0,6y = 2430 → 2880 – 0,8y + 0,6y = 2430 → - 0,2y = - 450

y = 2250 → x = 1350.

Para cada 10 unidades compradas da marca de menor custo 10.0,60 =

R$ 6,00 a clínica pode adquirir, n da melhor marca → 6,00 : 0,8 = n →

 n = 7,5.

Portanto, no máximo, pode adquirir 7 unidades.

10. Nos primeiros 12 meses de funcionamento de uma clínica, foram realizados 1100 atendimentos. Se, no primeiro mês, houve 50 atendimentos, e, a cada mês, o número de novos atendimentos aumentou em uma progressão geométrica de razão q, é correto afirmar que q satisfaz a equação :

A) q¹¹ -  22q + 21 = 0

B) q¹¹ + 22q − 21 = 0

C) q¹² − 22q + 21 = 0

D) q¹² + 22q − 21 = 0

E) q¹³ − 22q + 21 = 0

Vejamos :

Nos primeiros 12 meses de funcionamento de uma clínica, foram

realizados 1100 atendimentos → S₁₂ = 1100

Se, no primeiro mês, houve 50 atendimentos → a₁ = 50, e, a cada mês, o

número de novos atendimentos aumentou em uma PG de razão q →

S_n = a₁ . (qⁿ - 1)/(q - 1) → S₁₂ = 50 . (q¹² - 1)/(q - 1) = 1100 →

(q¹² - 1)/(q - 1) = 22 → (q¹² - 1) = 22.(q - 1) → q¹² - 1 = 22q - 22 →

q¹² = 22q - 21 → q¹² - 22q + 21 = 0

11. Dentre 4 médicos e 7 enfermeiros disponíveis, deve-se escolher, para montar uma equipe, um médico principal, 2 médicos assistentes e 5 enfermeiros. O número de maneiras distintas de se formar a equipe é :

A) 28

B) 82

C) 252

D) 576

E) 1008

Vejamos :

Dentre 4 médicos e 7 enfermeiros, deve-se escolher, um médico principal,

2 médicos assistentes e 5 enfermeiros :

C_4,1 . C_3,2 . C_7,5 = 4!/1!3! . 3!/2!1! . 7!/5!2! = 4 . 3 . 21 = 252

12. Idosos têm 10% de probabilidade de desenvolver o problema X e 5% de desenvolver o problema Y. Sabendo-se que esses problemas não estão relacionados, a probabilidade de um idoso desenvolver, pelo menos, um deles é de :

A) 14%

B) 14,5%

C) 15%

D) 15,5%

E) 16%

Vejamos :

Problema X = 10%

Problema Y = 5%

Problemas X e Y = 10% de 5% = 0,5%

A probabilidade de um idoso desenvolver, pelo menos, um deles é de :

10% + 5% - 0,5% = 14,5%

13. O número de soluções da equação cos 2x = cos x no intervalo 0 £ x £ 2π é :

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Vejamos :

Se cos 2x = cosx   e  cos 2x = cos² x – sen² x → cos² x – sen² x = cos x →

cos² x – (1 - cos² x) = cos x → cos² x – 1 + cos² x - cos x = 0 →

2cos² x - cos x - 1 = 0 → ∆ = (-1)² – 4.2.(-1) = 9

cos x = (1 ± 3)/4 → cos x = 1  ou cos x = -1/2.

Como o universo é 0 £ x £ 2π então, quando cos x = 1 → x = 0⁰ ou x =

360⁰ ; quando cos x = -1/2 → x = 120⁰  ou x = 240⁰.

Portanto o número de soluções é 4.

14. Se a coxa de uma pessoa tiver o formato aproximado de um cilindro circular de 40cm de comprimento e 25cm de diâmetro, então, aproximando-se π ≈ 3, é correto estimar que a área de pele, em cada coxa, mede, em cm², aproximadamente,

A) 1500

B) 3000

C) 4500

D) 6000

E) 7500

Vejamos :

A área de pele será igual a área lateral de um cilindro, ou seja

A = 2.π.r.h = 2.3.(25/2).40 = 3.25.40 = 3000 cm²

15. O intervalo de valores da constante k que faz com que o sistema de equações apresentado S : x² + y² – 6y = 0 e x² + y² – 8x = k tenha, exatamente, duas soluções distintas é :

A) 2 < k < 8

B) 20 < k < 80

C) − 8 < k < 36

D) − 12 < k < 48

E) − 14 < k < − 8

Vejamos :

Resolvendo o sistema, x² + y² – 6y = 0 e x² + y² – 8x = k → x² + y²  = 6y e

x² + y² = k + 8x → 6y = k + 8x → y = (k + 8x)/6.

Substituindo y = (k + 8x)/6 em x² + y² – 6y = 0 (ou em x² + y² – 8x = k), vem

x² + [(k + 8x)/6]² – 6. (k + 8x)/6. = 0 → x² + (k + 8x)²/36 – (k + 8x) = 0 →

36x² + (k + 8x)² – 36(k + 8x) = 0 → 36x² + k² + 16kx + 64x² – 36k - 288x = 0

100x² + 16kx - 288 x + k²– 36k = 0 → 100x² + 16(k - 18)x + k²– 36k = 0

Para que se tenha duas soluções distintas, o discriminante deverá ser

positivo, ou seja ∆ = [16(k - 18)]² – 4. 100. (k²– 36k) > 0 →

256(k - 18)² – 400. (k²– 36k) > 0 →

256(k² - 36k + 324) – 400k² + 14400k > 0 (:16)

16(k² - 36k + 324) – 25k² + 900k > 0 → 16k² - 576k + 5184 – 25k² + 900k > 0

- 9k² + 324k + 5184 > 0 (: - 9) → k² - 36k - 576 > 0

 ∆ = (- 36)² – 4.1.(-576) = 1296 + 2304 = 3600 → k = (36 ± 60)/ 2 →

                                               +           ­_            +

k' = 48 ou k'' = – 12  →    -----------○-----------○----------  → - 12 < k < 48

                                                    - 12           48