QUESTÕES VESTIBULAR Ufrgs 2018 – COMENTADAS

1. (Ufrgs 2018)  Tomando-se os números primos compreendidos entre 0 e 20, o número de frações do tipo a/b, em que a < b, que pode ser formado é:

a) 21   

b) 27   

c) 28   

d) 30   

e) 36   

  

Resposta da questão 1: [C]

Do enunciado, podemos escolher os números a e b do seguinte conjunto

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}.

Como a < b, temos:

● a = 2 e b = 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19  → 7 possibilidades

● a = 3 e b = 5, 7, 11, 13, 17, 19 → 6 possibbilidades

● a = 5 e b = 7, 11, 13, 17, 19 → 5 possibbilidades

● a = 7 e b = 11, 13, 17, 19 → 4 possibbilidades

● a = 11 e b =  13, 17, 19 → 3 possibbilidades

● a = 13 e b = 17, 19 → 2 possibbilidades

● a = 17 e b = 19 → 1 possibbilidades.

Assim, há 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 frações do tipo a/b, a < b.  

2. (Ufrgs 2018)  Sendo a e b números reais quaisquer, considere as seguintes afirmações.

I. (a - b)² ≥ 0.

II. Se a > b então a³ > b³

III. Se a > b > 1 então 1/a > 1/b > 1.

Quais afirmações estão corretas?

a) Apenas I.   

b) Apenas II.   

c) Apenas III.   

d) Apenas I e II.   

e) I, II e III.   

Resposta da questão 2:[D]

[I] Se a = b, a – b = 0 → (a - b)² = 0

    Se a > b, a – b > 0 → (a - b)² > 0

    Se e a < b, a – b < 0 → (a - b)² > 0

    Portanto (a - b)² ≥ 0

[II] Se a > b, a – b > 0 → (a - b)³ > 0 → a³ – 3a²b + 3ab² – b³ > 0

 

     a³ > b³ + 3a²b - 3ab² → a³ > b³ + 3ab.(a - b)  

     

● Se a > 0 e b > 0, como a – b > 0, a > 0 e b > 0 então ab(a - b) > ab.0 →

    3ab.(a - b) > 3.0 → 3ab.(a - b) > 0 → b³ + 3ab.(a - b) > b³ →  a³ > b³

● Se a > 0 e b < 0, de a > 0 → a³ > 0; de b < 0 → b³ < 0 → a³ > b³

● Se a < 0 e b < 0, de a – b > 0, a < 0 e b < 0 então ab.(a - b) > a.0 →

     3ab.(a - b) > 3.0 → 3ab.(a - b) > 0 → b³ + 3ab.(a - b) > b³ →  a³ > b³

     Portanto, se a > b então a³ < b³

[III] Observemos o contraexemplo abaixo a = 3 e b = 2 → 1/3 > 1/2 é falso.

      Assim, estão corretas as afirmações [I] e [II].