1. ( Esc. Naval ) Sabendo-se que x é uma função real de
variável real, tal que a derivada segunda de f em x é fn(x)=cos2+1
em que f(0)=7/8 e f’(0)=2, o valor de f(n) é
a) 2╥+11/8
b) ╥2+╥+5/8
c) ) 2╥2+5
d) ) 3╥2/4+2╥+7/8
e) ) 3╥2+╥+5/8
2. ( Esc. Naval )
Considere f e f’, funções reais de variável real, deriváveis, onde f(1)=f’(1)=1.
Qual o valor da derivada da função h(x)=√f(1+sen2x) para x=0?
a) – 1
b) -1/2
c) 0
d) -1/3
e) 1
3. ( Unesp ) Considere o polinômio p(x) = x3
+ bx2 + cx + d, onde b, c e d são constantes reais. A derivada de
p(x) é, por definição, o polinômio p'(x) = 3x2 + 2bx + c. Se p'(1) =
0, p'(-1) = 4 e o resto da divisão de p(x) por x - 1 é 2, então o polinômio
p(x) é:
a) x3 - x2
+ x + 1.
b) x3 - x2
- x + 3.
c) x3 - x2
- x - 3.
d) x3 - x2
- 2x + 4.
e) x3 - x2
- x + 2.
4. ( Uel ) A equação horária de um móvel
é y = (t3/3) + 2t, sendo y sua altura em relação ao solo, medida em
metros, e t o número de segundos transcorridos após sua partida. Sabe-se que a
velocidade do móvel no instante t=3s é dada por y'(3), ou seja, é a derivada de
y calculada em 3. Essa velocidade é igual a
a) 6 m/s
b) 11 m/s
c) 15 m/s
d) 27 m/s
e) 29 m/s
5. ( Pucmg ) O valor da derivada da função
f(x) = √(7-x) no ponto ( -2, 3 ) é:
a) -1/2
b) -1/6
c) 1/6
d) 2
e) 3
6. ( Uel ) A derivada da função f, de IR
em IR, definida por f(x) = -2x5 + 4x3 + 3x - 6, no ponto
de abcissa x0 = -1, é igual a
a) 25
b) 19
c) 9
d) 5
e) 3
7. ( Efomm )
O valor da integral ʃ [√2.tg3(2x).sec(2x)]2 dx,
sendo c uma constante, é:
a) sec2(2x) + tg2(2x) +
c
b) [sec2(2x) + tg2(2x)
+ c]/tg(2x)
c) arctg(ln x) + c
d) [tg7(2x)/7] + c
e) √tg(2x) + sen(2x) + c
8. ( Fuvest )
No estudo do Cálculo Diferencial e Integral,
prova-se que a função cos x (cosseno do ângulo de x radianos) satisfaz a
desigualdade:
f(x) = 1 - (x2/2) ≤
cos x ≤1 - (x2/2) + (x4/24) = g(x)
a) Calcule o cosseno de 0,3
radianos usando f(x) como aproximação de cos x.
b) Prove que o erro na
aproximação anterior é inferior a 0,001 e conclua que o valor calculado é exato
até a segunda casa decimal.
GABARITO COMENTADO:
1. (D) Sabendo que:
ʃ cos(kx)dx = [sen(kx)/k] + c
ʃ sen(kx)dx = [-cos(kx)/k] + c
Pode-se calcular:
cos2(x)+1=[cos(2x)+1]/2]
+ 1 = [cos(2x)/2] + 3/2
ʃ{[cos(2x)/2] + 3/2}dx+c1 = sen(2x)/4 + 3x/2 + c1
f’(0) = 2 → sen(2.0)/4 + 3.0/2 + c1 = 2 →c1=2 →f’(x)=
sen(2x)/4 + 3x/2+2
f(x)=ʃ[ sen(2x)/4 + 3x/2+2]dx+c2 = -cos(2x)/8 + 3x2/4
+ 2x + c2
f(0) = 7/8 → - cos(2.0)/8 + 3.02/4
+ 2.0 + c2 →c2 = 1 → f(x) = -cos(2x)/8 + 3x2/4
+ 2x + 1
f(╥) = -cos(2╥)/8 + 3╥2/4 + 2╥ + 1 →
f(x) = 3╥2/4 + 2╥ + 7/8
2. [E]
Derivando a
função h(x), vem
h’(x) = 1/2 . [f(1+sen2x)]-1/2.[f(1+sen2x)]’=
1/2√f(1+sen2x) . f’(1+sen2x) . (1+sen2x)’=
1/2√f(1+sen2x) . f’(1+sen2x) . (2cos2x)=
cos2x . f’(1+sen2x) /. √f(1+sen2x) =
Portanto,
h’(0) = [cos 0 .
f’(1)] / √f(1) = [1 . 1] / √1 = 1
3. [B]
Como :
p’(1) = 0 então
3.(1)2+2b.(1) +c = 0→2b + c = -3
p’(-1) = 4 então
3.(-1)2+2b.(-1)+c=4→-2b + c = 1
Resolvendo o
sistema de equações vem : c = -1 e b = -1.
Portanto p(x) = x3 - x2
- x + d
Se o resto de
p(x) por x-1 é 2, então p(1) = 2 ( teorema
do resto )
Substituindo, (1)3-(1)2-(1)+d
= 2 →d=3
4. [B]
Como y’ = t2
+ 2, então y’(3) = 32+2 = 11 m/s
5. [B]
Derivando f(x) →
f’(x)= 1/2(7-x)-1/2(7-x)’→f’(x)=-1/2(7-x)-1/2
f(-2)=-1/2[7-(-2)]1/2=-1/2(9)-1/2=
-1/2.1/3 = -1/6
6. [D]
Derivando f(x) →
f’(x) = -10x4+12x2+3 , então f’(-1) = -10(-1)4+12(-1)2+3
= -10+12+3 = 5
7. [D]
Tem-se que
ʃ [√2.tg3(2x).sec(2x)]2
dx = ʃ tg6(2x).2sec2(2x)
dx
Lembrando que ʃundu
= un+1/u+1 + C, com nǂ-1, temos u = tg(2x)dx = 2sec2(2x)dx e
n=6. Portanto, segue que
ʃ tg6(2x).2sec2(2x) dx = ∫u6du = u7/7 + C = tg7(2x)/7
+ C
8.
a) f (0,3) = 0,955
a) f (0,3) = 0,955
b) 0,955 ≤
cos 0,3 ≤ 0,955 + 0,0003375 ⇔
⇔ 0 ≤ cos 0,3 - 0,955 ≤
0,0003375 < 0,001, logo o erro é inferior a 0,001.
Como 0,9550 ≤ cos 0,3 < 0,9554, o valor calculado é exato até a
terceira casa decimal, portanto é exato até a segunda casa decimal.
