QUESTÕES COMENTADAS – VESTIBULAR 2016 – FAC. DE MEDICINA PEQUENO PRÍNCIPE

1. Considere a equação racional 5/x – 4/(x-2) = -6 e as seguintes afirmações:

I. As soluções algébricas são x = -2/3 e x = 5/2

II. As funções y₁ = 5/x – 4/(x-2) e y₂  = -6 têm ponto de interseção quando x = -2/3 e x = 5/2

III. As raízes são x = 0 e x = 2

IV. A função y₁ = 5/x – 4/(x-2) + 6  intercepta o eixo das abscissas quando x = -2/3 e x = 5/2

V. A equação não tem raízes reais.

A partir da análise das afirmações e do enunciado, é CORRETO afirmar que:

a) somente as afirmativas I, II e III estão corretas.   

b) somente as afirmativas I, II e IV estão corretas.   

c) somente as afirmativas I, II, III e IV estão corretas.   

d) somente a afirmativa III está correta.   

e) somente a afirmativa V está correta.   

  

2.  A sequência, x, y, x+y é uma progressão geométrica (PG) em que x e y ϵ R₊^* ( onde R é o conjunto dos números reais). Dessa forma, podemos afirmar que a razão dessa PG é:

a) (1+√5)/2   

b) √5/2   

c) 1 + √5   

d) √5   

e) 1/2   

  

3.  Uma rede pode ser representada por um conjunto de elementos denominados vértices interligados por retas, conhecidas como arestas. Tais sistemas de redes são utilizados para modelar diversas situações, como tráfego de veículos, sinal de telefone e modelos em engenharia elétrica. Conseguinte, considere o fluxo dado pela figura abaixo.

                                           E₃ →→ 170

                                    x₁                             x₄

                 

290→→ E₁                                                                     E₄→→ 180

                                     x₃

                        x₂                           x₅

                            60 →→ E₂

Note:  E₁ para E₃ = x_{1  ;}  E₁ para E₂  = x_{2  ;}  E₂ para E₃ = x_{3 ;}

 E₃ para E₄ = x₄  e E₂ para E₄ = x₅

Dado que o fluxo total de veículos de entrada (por hora) é igual ao fluxo total de saída (por exemplo, para o vértice E_1, 290 = x₁ + x_{2 ),} é CORRETO afirmar que o modelo matemático do fluxo acima tem:

a) Não tem solução.   

b) Tem solução única.   

c) Admite apenas duas soluções.   

d) Admite apenas três soluções.   

e) Infinitas soluções.   

4. Um engenheiro está projetando uma caixa d'água de concreto em forma de tronco de pirâmide regular e reta, com as seguintes medidas internas: base menor de lado 6m, base maior de 16m de lado e com altura da face lateral de 13m. A capacidade de armazenamento da caixa d’água é de:

a) 1432000 litros   

b) 1552 litros   

c) 1552000 litros                    QUESTÃO ANULADA

d) 1681,33 litros   

e) 1681333litros   

  

5.  Uma arruela, que é um disco fino com furo circular interno, tem suas dimensões projetadas sobre um sistema de coordenadas cartesianas. A equação da circunferência externa é obtida e tem a forma x² + y² -8x – 8y + 7 = 0. A distância da circunferência interna para a externa é de 2,5m. O furo interno, que está no meio da arruela, tem área igual a:

a) 5╥/9 cm²   

b) 9╥/4 cm²      

c) 25╥/4 cm²      

d) 27╥/4 cm²      

e) 36╥/25 cm²   

  

  

6.  Um líquido evapora à razão de 4% do seu volume a cada hora. O tempo necessário para que o volume desse líquido seja 1/4 do volume inicial é:

(Dados: log2 = 0,3 e log3 = 0,48)

a) 18 horas.   

b) 21 horas.   

c) 25 horas.   

d) 28 horas.   

e) 30 horas.   

  

7. A figura a seguir descreve o movimento executado por uma máquina para o corte de uma placa metálica:

                                           \  60⁰  ∕

                                            \     ∕

                                             ●C                

                                            ∕

                                          ∕

                                        ∕

                                      ∕

                                    ∕  60⁰        

A●--------------------●B----

Partindo de A, ela sistematicamente avança 6 cm e gira 60⁰ para esquerda, até retornar ao ponto A. A área da superfície recortada é:

a) 18√3 cm²   

b) 36√3 cm²   

c) 54√3 cm²   

d) 64√3 cm²   

e) 120√3 cm²   

  

8. Assinale a alternativa que contém valor exato de logA, sabendo-se que:

A = (2sen20⁰.sen70⁰) / (3cos50⁰ + sen40⁰) e log2 =0,3.

a) 1   

b) -0,6   

c) -0,8   

d) 0,6   

e) 0,3   

 

                              Gabarito Comentado

Resposta da questão 1:
 [B]

Resolvendo a equação e admitindo que xǂ0  e xǂ2 temos:

5/x – 4/(x-2) = -6 → [5.(x-2) – 4x] / x(x-2) = -6.x.(x-2) / x.(x-2) →5x-10-4x = -6x²+12x→

6x²-11x-10 = 0 → x= (11±√361)/12 → x₁ =5/2 ou x = -2/3

Portanto, somente as afirmativas [I], [II] e [IV] estão corretas.  

Resposta da questão 2:
 [A]

Através da definição da P.G, podemos escrever que:

Y² = x.(x+y) → y² = x² + xy → y² - x² - xy = 0

Resolvendo a equação na incógnita y, temos:

Y = (x±√5x²)/2.1 → y = x.(1±√5)/2

Como x e y são números positivos, concluímos que

Y = x(1+√5)/2 → y/x = (1 + √5)/2

Portanto, a razão q da P.G. será dada por: q = (1+√5)/2

  

Resposta da questão 3:
 [E]

Considerando as equações em cada um dos vértices, temos:

E₁ : - x₁ – x₂ + 290 = 0

E₂ : x₂ – x₃ – x₅ + 60 = 0

E₃ : x₁ + x₃ – x₄ – 170 = 0

E₄ : x₄ + x₅ - 180 = 0

Somando as 4 equações temos a indeterminação 0 = 0, portanto este modelo matemático tem infinitas soluções.  

Resposta da questão 4:

Questão anulada no gabarito oficial.

Esta questão foi anulada, pois no enunciado não foi discriminado o polígono das bases do tronco de pirâmide. Resolveremos a questão, considerando suas bases quadradas.

 Vamos considerar : base menor = 6 cm

                                   base maior = 10 cm

                                   altura do tronco = k

                                   altura da pirâmide = x + k

Através do teorema de Pitágoras podemos encontrar o valor de k:

K² + 5² = 13² → k² = 144 → k = 12 m

Considerando semelhança de Pirâmides, temos:

X / (x+12) = 3/8 → 8x = 3x + 36 → 5x = 36 → x = 7,2 m

O volume V do tronco é a diferença entre o volume da pirâmide maior e o volume da pirâmide menor:

V = 1/3 . 16² . (12+7,2) – 1/3 . 6² . 7,2 → V = 1552 m³ = 1552000 litros  

Resposta da questão 5:
 [C]

Determinando o raio de medida R da circunferência externa, temos:

x² + y² – 8x – 8y + 7 = 0 → x² – 8x + 16 + y² – 8y + 16 = -7 + 16 + 16 →

(x - 4)² + (y – 4)² = 25

Portanto, o raio da circunferência externa é R = √25 = 5

Logo, o raio da circunferência interna é 5 – 2,5 = 2,5 = 5/2

A área do furo interno será dada por:

A = ╥ . (5/2)² = 25╥/4 cm²  

Resposta da questão 6:
 [E]

Sendo V₀  o volume inicial do líquido e V o volume após um determinado tempo t, podemos escrever a seguinte função com as informações do problema : V = V₀. (0,96)^t

Admitindo que V = V₀ / 4 temos a seguinte equação na incógnita t.

V₀ / 4 = V₀. (0,96)^t → 1/4  = (0,96)^t → 2^-2 = (0,96)^t → log 2^-2 = log (0,96)^t

 -2log2 = t log0,96 → -2log2 = t. log(96/100) → -0,6 = t . ( log96 – log100 )

-0,6 = t . [ log(2⁵.3) – 2 ] → - 0,6 = t . ( 5log2 + log3 – 2 ) → -0,6 = t. (-0,02)

t = 30 horas

  

Resposta da questão 7:
 [C]

A trajeto descrito pela máquina formará um hexágono regular de lado 6cm.

                                           \  60⁰  ∕

                                            \     ∕

                                             ●C                

                                            ∕

                                          ∕

                                        ∕

                                      ∕

                                    ∕  60⁰        

A●---------------------●B----

Portanto, sua área A será dada por: A = 6 . (6².√3)/4 = 54√3 cm²

Resposta da questão 8:
 [B]

Considerando que sen 70⁰ = cos 20⁰ e que cos 50⁰ = sen 40⁰ Podemos escrever que:

A = (2.sen20⁰.sen70⁰) / ( 3.cos50⁰+ sen40⁰) = (2.sen20⁰.cos20⁰) / (3.sen40⁰+ cos40⁰) = sen40⁰/4sen40⁰ = 1/4

Portanto, log A = log 1/4 = log 2^-2 = -2log2 = -2.0,3 = -0,6  

QUESTÕES COMENTADAS DOS VESTIBULARES DA FACULDADE BAHIANA DE MEDICINA 2016

1.    A  árvore genealógica de uma pessoa composta pelos pais, quatro avós, oito bisavós e assim por diante. Considerando-se 15 gerações de antepassados, pode-se estimar o número de ancestrais dessa pessoa em :

1) 2¹⁰

2) 15³

3) 2.15^{3                                  Questão  Anulada}

4) 15.2¹⁰

5) 2¹⁵

Observando a árvore genealógica nota-se uma PG, de a₁ =2 e razão, q = 2,

portanto (  2, 4, 8, ......., a₁₅ ) .

Calculando o último elemento da árvore, obtemos a₁₅ = a₁ . q^n-1 → a₁₅ = 2 . 2^15-1 = 2¹⁵

Considerando as 15 gerações ,  2 + 4 + 8 + ... + 2¹⁵ , calculamos a soma dos 15 elementos: S_n = a₁.(qⁿ- 1)/q-1 → S₁₅₌ 2 .(2¹⁵-1)/2-1→ S₁₅ = 2.(2¹⁵-1)

2.    Em um grupo de 100 jovens, verificou-se que :

• dos que usam óculos de grau, 12 usam aparelho ortodôntico.

• a metade dos que usam óculos de grau não usa aparelho ortodôntico.

• 70% dos que usam aparelho ortodôntico não usam óculos de grau.

Com base nessas informações, pode-se afirmar que o número de jovens que não usam óculos de grau e nem aparelho ortodôntico é igual a :

1) 36

*2) 48

3) 62

4) 70

5) 88

Observando os 100 jovens, adotemos :

 “a” usam óculos sem grau e não usam aparelho ortodôntico.

“b” usam óculos sem grau e usam aparelho ortodôntico.

“c” usam óculos com grau e não usam aparelho ortodôntico.

“d” usam óculos com grau e usam aparelho ortodôntico.

Portanto das informações :

... Em um grupo de 100 jovens ... , a + b + c + d = 100

...  dos que usam óculos de grau, 12 usam aparelho ortodôntico , d = 12

...  a metade dos que usam óculos de grau não usa aparelho ortodôntico,

     c = 1/2. ( c + d) → c = 12

...  70% dos que usam aparelho ortodôntico não usam óculos de grau,

     70%(b+d) = b → 0,7 (b + 12) = b → 0,7b + 8,4 = b →

     8,4 = b – 0,7b → 8,4 = 0,3b → b = 28

 Então como a + b + c + d = 100 → a + 28 + 12 + 12 = 100 →a + 52 = 100 → a = 48

... qual o número de jovens que não usam óculos de grau e nem aparelho ortodôntico ?  resposta  a = 48

3.    A culinária está em alta nos programas televisivos. Em um desses programas, os participantes foram desafiados a elaborar um prato no qual fossem utilizados, entre outros, os ingredientes A, B e C, cujas quantidades, em kg, numericamente, não excedessem às raízes do polinômio P(x) = 8x³ –14x² + 7x – 1. Sabendo-se que os participantes receberam 1/4kg do ingrediente A, pode-se afirmar que as quantidades máximas que podem ser utilizadas dos ingredientes B e C diferem em :

1) 200g

2) 275g

3) 350g

4) 425g

*5) 500g

Resolvendo a equaçao  8x³ –14x² + 7x – 1 = 0, obtemos: { 1/4 , 1/2, 1 }

Se os participantes receberam A = 1/4 kg, então B + C = 1/2 + 1

Portanto a diferença máxima será o valor absoluto de B – C, ou seja, │B-C │= 500g

4. Uma mesa, com tampo circular de vidro com 1,40m de diâmetro, apresentou um pequeno defeito na borda, sendo colocada no canto de uma sala, encostada nas duas paredes, de modo que o ponto defeituoso P não apresentasse risco. Se O representa o centro da mesa, Q um dos pontos de tangência, θ = 60⁰ é o ângulo PÔQ e √3 = 1,7 , então as distâncias de P a cada uma das paredes medem, em centímetros,

1) 9,5 e 32,0

2) 9,5 e 33,5

3) 10,5 e 33,5

*4) 10,5 e 35,0

5) 12,0 e 35,0

Considerando as coordenadas do ponto P(x,y) ; O triângulo retângulo OPQ′,onde Q′

é tal que OQ′ = 70-y ; PQ′ = 70-x e OP = 70cm.

Portanto:  sen 60⁰ = (70-x)/70 → x = 70-35√3 → x = 10,5cm  e

                  cos 60⁰ = (70-y)/70 → y = 35cm

5. Na figura, a malha é formada por quadrados do mesmo tamanho cujos lados representam ruas de determinado bairro onde o deslocamento de veículos só é permitido no sentido leste ou norte e ao longo das ruas representadas pelas linhas.

*     *     *     *     *     *     *     *     R

*     *     *     *     *     *     *     *     *

*     *     *     *     *     Q     *     *     *

P     *     *     *     *     *     *     *     *

Nessas condições, o menor percurso para ir de P até R, sem passar por Q, pode ser feito por um número máximo de formas distintas igual a

1) 115

2) 75

3) 54                               ^{Questão  Anulada}

4) 36

5) 15

Maneiras para ir de P até R, passando por Q : P₁₁^3,8 = 11! / 3!.8! = 165.

Maneiras para ir de P até Q : P₆^1,5 = 6! / 1!.5! = 6

Maneiras para ir de Q até R : P₅^3,2 = 5! / 3!.2! = 10

Resposta : P₁₁^3,8 - P₆^1,5 . P₅^3,2 = 165 – 6 . 10 = 105

6. Em uma figura composta por 3 quadrados, tem-se a reprodução de parte de um painel em que cada região sombreada é interior a um quadrado e exterior a um quadrante de círculo inscrito no quadrado. Sendo a medida do lado do quadrado maior igual a 4u.c., as três regiões sombreadas totalizam uma área que mede k(4 - π)u.a., sendo o valor de k igual a

1) 6

*2) 7   

3) 8     

4) 9

5) 10

Adotando “M”, como intermediário ; “G, como grande e “P”, como menor

Aplicando o Teorema de Pitágoras, vem :

l_M² + l_M² = R_G² → 2l_M² = R_G² → 2l_M²= 4² → l_M = 2√2

l_P² + l_P² = R_M² → 2l_P² = R_M² → 2l_P²= (2√2)² → l_P = 2

Área no quadrado  maior : l_G²- ╥r_G²/4 = 4² - ╥.4²/4 = 16 - 4╥

Área no quadrado intermediário : l_M²- ╥r_M²/4 = (2√2)² - ╥.(2√2)²/4 = 8 - 2╥

Área no quadrado menor : l_P²- ╥r_P²/4 = 2² - ╥.2²/4 = 4 - ╥

Área Total = A_M + A_I + A_p = 16 - 4╥ + 8 - 2╥ + 4 - ╥ = 28 - 7╥ = 7( 4 - ╥ ) u.c.

7.    O acesso a uma igreja é feito por meio de uma escadaria, cujo número de degraus é um múltiplo de 5 entre 18 e 50. Admitindo-se a possibilidade de uma pessoa ser capaz de subir essa escada de dois em dois degraus, restaria um único degrau para completar a subida, enquanto que, subindo de três em três degraus, restariam dois degraus para completar a subida. Assim sendo, pode-se afirmar que o número de degraus da escadaria é igual a

1)    20

2)    25

3)    30

*4) 35

5)    40

Se o número de degraus entre 18 e 50, é múltiplo de 5, então poderia ser : 20, 25, 30, 35, 40 ou 45.

·         Se subir de dois em dois: 20÷2, resto 0 → 25÷2, resto 1→

      30÷2,resto 0 →35÷2, resto1→40÷2, resto 0→45÷2, resto 1

·         Se subir de três em três : 20÷3,resto 2→25÷3, resto 1→

30÷3, resto 0→35÷3, resto 2→40÷3, resto1→45÷3, resto 0

Portanto a alternativa comum é 35

8.    Considere-se que, para um exercício de memorização e repetição de palavras, sejam utilizadas fichas numeradas, consecutivamente, de 1 a n. Sabe-se que a ficha de número 1 contém cinco palavras distintas e, a partir da ficha de número 2, cada uma conterá as palavras da ficha de numeração precedente e mais k novas palavras distintas, até a ficha de número n, com 35 palavras. Ao aplicar o exercício, constatou-se que o número máximo de tentativas feitas por determinada pessoa, até conseguir repetir todas as palavras de uma ficha, coincidia com o número da ficha. Assim sendo, se o número máximo de tentativas feitas para repetir todas as palavras das n fichas foi igual a 28, é correto afirmar que n + k é igual a

*1) 12

2) 11

3) 10

4) 9

5) 8

Observando a situação problema das tentativas, verifica-se uma progressão Aritmética de a₁ = 1, S_n  = 28  e razão r = 1, portanto:

a_n = a₁ + (n-1)r → a_n = 1 + (n-1).1 → a_n  = n.

Como o número máximo de tentativas é 28, então ; S_n = (a₁ + a_n).n/2 = 28,

Portanto 28 = ( 1 + n).n/2 → 56 = n + n² → n² + n – 56 =0

n= 7 ou n= - 8 ( não convém ).

Como a ficha 1 contém 5 palavras e cada posterior k novas palavras, vem

a_n = a₁ + (n-1)r → 35 = 5 + (7-1).k → 30 = 6k → k = 5

Portanto n + k = 7 + 5 = 12

9.    O Ritmo Circadiano ou Ciclo Circadiano designa o período de, aproximadamente, 24 horas sobre o qual se baseia o ciclo biológico de quase todos os seres vivos. Nas aproximadas vinte e quatro horas em que se baseia o ritmo circadiano, cada órgão do corpo humano manifesta o seu pico de funcionamento, período em que é realizada a auto limpeza do corpo. A grande importância do conhecimento das funções e atividades do Ciclo Circadiano está em analisar o comportamento do corpo e observar anomalias frequentes, que ocorrem no mesmo período entre as 24 horas do ciclo. Desta forma, é possível identificar algum tipo de desequilíbrio na estrutura corpórea. A temperatura de um indivíduo foi monitorada por um período de 24 horas, a partir da meia noite (t = 0), quando se verificou que ela variou de um mínimo de 36,6⁰ C a um máximo de 37,4⁰ C . Admitindo-se que a temperatura do indivíduo, na hora t, pode ser obtida através da expressão matemática f(t) =  A cos [(t + 8). π/12 ]+ B,

0 ≤ t ≤ 24, em que A e B são constantes positivas, é correto afirmar que a temperatura

1) mínima ocorreu depois das 4 horas.

2) máxima ocorreu antes das 15 horas.

3) diminuiu das 12 horas até às 18 horas.

*4) aumentou das 10 horas até às 16 horas..

5) foi igual a zero hora e às 9 horas.

Observando a condição do problema, f(t) =  A cos [(t + 8). π/12 ]+ B, como o período da função cosseno pode ser obtida através de P = 2╥/m, com m coeficiente da variável independente, então

 2╥ / (t╥/12) → t = 24.

Temperatura mínima  para cosα = -1 → α = ╥→ (t+8).╥/12 = ╥

 t  + 8 = 12 → t = 4

 Temperatura mínima  para cosα = 1 → α = 2╥→ (t+8).╥/12 = 2╥

 t  + 8 = 24 → t = 16

         A resposta correta é a de número 4, pois como sabemos, a função    cosseno cresce no  3⁰ e 4⁰ quadrantes.

10.  Número de anos de trabalho          Valor da gratificação (em reais)

1                                                                                                                    1000

2                                                                                                                    1200

3                                                                                                                    1440

4                                                                                                                    1728

Em função da crise econômica, uma empresa necessita reduzir o número de funcionários contratados e propõe um plano de demissão voluntária, acrescendo, aos valores indenizatórios garantidos pela legislação, uma gratificação cujo valor varia em função do número de anos trabalhados. Sabendo-se que o valor da gratificação, para um tempo superior a quatro anos, segue o padrão de crescimento estabelecido na tabela, é correto afirmar que a gratificação a ser paga a um funcionário, com 15 anos de trabalho, excederá a de um funcionário com 12 anos de trabalho em, aproximadamente,

1) 78%

*2) 73%

3) 68%

4) 63%

5) 58%

               Observando a tabela, é possível notar um crescimento na ordem de 20% , ( 1200/1000 = 1,2 ), então V(t) = V₀ . 1,2^t .

Calculando : V(12) = V₀ . 1,2¹² e V(15) = V₀ . 1,2¹⁵ , podemos observar um crescimento na ordem de (V₀ . 1,2¹⁵)  / (V₀ . 1,2¹²) = 1,2³ = 1,728 = 72,8%

11.  Determinado produto é vendido em latas cilíndricas que, atadas três a três, por uma fita metálica, serão comercializadas em uma promoção do tipo “leve três pague duas”. Sabendo-se que o diâmetro de cada lata mede 14u.c., pode-se afirmar que o comprimento mínimo da fita utilizada é igual, em u.c., a

1) 2(╥+14)

2) 7(╥+4)

3) 7(╥+6)

4)14(╥+2)

*5)14(╥+3)

Unindo os 3 centros, obtemos um triângulo equilátero de lado 14 u.c., cujo perímetro mede 42 u.c.

Unindo os 3 arcos de 120⁰ obtemos uma circunferência de raio 7u.c., cujo comprimento (2╥R) mede 14╥ u.c.

A fita usada será calculada através da soma entre o perímetro do triângulo e o comprimento da circunferência, ou seja :

Comprimento da fita = 42 + 14╥ = 14(3 + ╥) u.c.

12.  Um estudante dispõe de até duas horas para executar determinadas tarefas de Matemática e Biologia. Sabe-se que para completar a tarefa de Matemática precisará de um tempo superior ou igual ao dobro do tempo necessário para completar a tarefa de Biologia. Nessas condições, pode-se afirmar que o tempo máximo disponível para completar a tarefa de Biologia é de

1) 20 minutos

2) 30 minutos

*3) 40 minutos

4) 1:00 hora

5) 1:30 hora

Chamando  "a"  e "b" os tempos para completar as tarefas de matemática e biologia, respectivamente. Então: a ≥ 2b e a + b ≤ 120.

Portanto 120 – b ≥  2b → -b – 2b ≥ -120 → -3b ≥ -120 → 3b ≤ 120→ b ≤ 40

Resposta : 40 minutos