QUESTÕES VESTIBULAR PUCRJ 2017 - COMENTADAS

1. (Pucrj 2017)  Em uma pesquisa, constatou-se que, das 345 pessoas de um determinado local, 195 jogavam tênis, 105 jogavam tênis e vôlei, e 80 não jogavam nem vôlei nem tênis.

Qual é o número de pessoas que jogavam vôlei e não jogavam tênis?

a) 70   

b) 75   

c) 105   

d) 180   

e) 195   

  

Resposta da questão 1: [A]

Do enunciado, podemos montar o seguinte diagrama:

                              

Assim, 90 + 105 + x + 80 = 345 → x + 275 = 345 → x = 70

Logo, o número de pessoas que jogavam vôlei e não jogavam tênis era igual a 70  

2. (Pucrj 2017)  Os termos da soma S = 4 + 6 + 8 + ... + 96 estão em progressão aritmética. Assinale o valor de S.

a) 2000   

b) 2150   

c) 2300   

d) 2350   

e) 2400   

  

Resposta da questão 2: [D]

Da PA (4, 6, 8, ..., 96), temos: 96 = 4 + (n - 1).2 → 92 = 2n – 2 → 94 = 2n

n = 47 . Assim, S = (4 + 96).47/2 → S = 2350

3. (Pucrj 2017)  Considere a função real da forma f(x) = ax + b.

Sabendo que f(1) = - 1  e f(0) = 2, qual é o valor do produto a.b ?

a) 1   

b) 6   

c) - 3   

d) - 4   

e) - 6   

 Resposta da questão 3:[E]

De f(x) = ax + b, f(1) = -1 e f(0) = 2, temos:

● para f(0) = 2 → a.0 + b = 2 → b = 2

● para f(1) = -1 → a.1 + b = - 1 → a + 2 = - 1 → a = - 3

Assim sendo a.b = (-3).2 = - 6

4. (Pucrj 2017)  As cartas de um baralho comum (13 de copas, 13 de paus, 13 de ouros e 13 de espadas) são empilhadas.

Qual a probabilidade de a carta de cima ser de copas e a de baixo também?

a) 1/13   

b) 1/2   

c) 1/5   

d) 1/17   

e) 1/52   

Resposta da questão 4:[D]

Seja U o espaço amostral e A um evento desse espaço amostral tais que:

A é o conjunto formado por todas as sequências de 52 cartas, onde a primeira é de copas e a segunda também.

U é o conjunto formado por todas as sequências de 52 cartas.

Então, n(A) = A_13,2 . P₅₀ ,  onde A_13,2 é o total de maneiras de organizar a primeira e a última carta da sequência, onde ambas são de copas e P₅₀ é o total de maneiras de organizar as 50 cartas restantes do baralho, após a organização da primeira e da última carta da sequência.

Sendo n(U) = P₅₂, onde P₅₂ é o total de maneiras de organizar as 52 cartas da sequência.

Assim, P(A) = n(A)/n(U) = A_13,2 . P₅₀ / P₅₂ = 13.12.50!/52! = 13.12/ 52.51 →

P(A) = 1/17

  

5. (Pucrj 2017)  Um cubo de aresta a tem volume 24.

Assinale o valor do volume de um cubo de aresta a/3.

a) 8/9   

b) 9/3   

c) 8   

d) 24   

e) 72   

  

Resposta da questão 5:[A]

Do enunciado, a³ = 24.

Sendo V o volume de um cubo de aresta a/3, V = (a/3)³ = a³/27 = 24/27 = 8/9

6. (Pucrj 2017)  Sabemos que √(1 + c) . √(1 - c) = 1.

Assinale o valor de c.

a) 2   

b) 1/2   

c) 1   

d) 0   

e) 1/3   

  

Resposta da questão 6: [D]

● De √(1 + c)  e √(1 - c) → 1 + c ≥ 0 e 1 - c ≥ 0 ou seja, c ≥ - 1.

● De √(1 + c) . √(1 - c) = 1, → √[(1 + c).(1 - c)] = 1, → √[(1² – c²) = 1 →

  

   1 – c² = 1 → c² = 0 → c = 0.

7. (Pucrj 2017)  Assinale a menor solução inteira da inequação 4x – 10 >2.

a) 2   

b) 3   

c) 4   

d) 12   

e) 60   

Resposta da questão 7: [C]

De 4x - 10>2, temos: 4x > 12 → x > 3

Logo, a menor solução inteira da inequação é o número 4.  

8. (Pucrj 2017)  No círculo de centro O, seja AD um diâmetro. Sejam B e C tais que AOC = 90⁰ e AOB = ½ BOC.

                                           

Assinale o valor de ODB.

a) 12⁰   

b) 15⁰   

c) 18⁰   

d) 22,5⁰   

e) 30⁰   

  

Resposta da questão 8: [B]

Do enunciado e da figura, temos:

                               

Se AOB = α, BOC = 2α, então AOC = AOB + BOC.

Como AOC = 90⁰, AOB = α e BOC = 2α, então α + 2α = 90⁰ → α = 30⁰

Seja r a medida do raio do círculo, logo, o triângulo ODB é isósceles.

Então, se ODB = β, DBO = β, é o  ângulo externo do triângulo ODB,

α = 2β → β = 15⁰.  Assim, ODB = 15⁰  

9. (Pucrj 2017)  Assinale o valor da área do quadrado de vértices (-2, 9), (4, 6), (1, 0) e (-5, 3).

a) 20   

b) 25   

c)√45   

d) 45   

e)√60   

  

Resposta da questão 9: [D]

Do enunciado, temos:

                            

A área do quadrado acima é dada pela distancia CD² (ou AB²  = BC²  = AD²)

d_AB = √[(x_B – x_A)² + (y_B – y_A)²] = √[(-2 – (-5))² + (9 – 3)²] = √[(3)² + (6)²] →

d_AB = √(9 + 36) → d_AB = √45.

Portanto a área do quadrado é 45

10. (Pucrj 2017)  Um professor calculou a média das notas de seus 30 alunos e encontrou 5,6. Percebeu, no entanto, que 2 dos 30 alunos tinham tirado nota zero. Sendo assim, decidiu encontrar a média dos alunos que não tiraram zero.

Assinale a média que o professor, assim, obteve.

a) 5,7   

b) 5,8   

c) 6   

d) 6,2   

e) 6,4   

  

Resposta da questão 10:[C]

Considere o conjunto A = {a₁, a₂, a₃, ... , a₃₀}, onde:

a₁ é a nota do primeiro aluno, a₂ é a nota do segundo aluno, a₃ é a nota do terceiro aluno, ..., a₃₀ é a nota do trigésimo aluno.

Sem perda de generalidade, tomemos a₁  = a₂  = 0.

Daí, pelo enunciado, (0 + 0 + a₃  + a₄  + ... + a₃₀)/30 = 5,6 →

a₃  + a₄  + ... + a₃₀ = 168

Tirando as notas iguais a zero que dois alunos tiraram, a nova média será

dada por → (a₃  + a₄  + ... + a₃₀ ) /28 = 168/28 = 6

11. (Pucrj 2017)  Considere a equação sen 2Ɵ = cos Ɵ.

Assinale a soma de todas as soluções da equação com Ɵ ɛ [0, 2π].

a) 2π/3   

b) π/3   

c) 3π/2   

d) π/6   

e) 3π   

  

Resposta da questão 11:[E]

Se sen 2Ɵ = cos Ɵ → 2senƟcos Ɵ = cos Ɵ → 2senƟcos Ɵ - cos Ɵ = 0 →

(2senƟ - 1)cos Ɵ = 0 → (2senƟ - 1) = 0 ou cos Ɵ = 0.

Se (2senƟ - 1) = 0 → senƟ = 1/2 → Ɵ = π/6 ou Ɵ = 5π/6

Se cos Ɵ = 0 → Ɵ  = π/2 ou Ɵ = 3π/2

Assim, a soma das raízes da equação π/2 + 3π/2 + π/6 + 5π/6 = 3π

  

12. (Pucrj 2017)  Entre as alternativas abaixo, assinale a de menor valor:

    a) (-1)³   

b) 6⁸   

c) 3¹   

d) 1⁶   

e) 8¹⁰   

Resposta da questão 12:[A]

Como (-1)³ = - 1 < 0 é o único valor negativo então é o menor dos números apresentados.  

13. (Pucrj 2017)  Assinale o gráfico que melhor representa a curva de equação y = 1/x².

 

Resposta da questão 13:[D]

De y = 1/x², temos: lim_x→0+ 1/x² = +∞ ; lim_x→0- 1/x² = +∞ ; lim_x→+∞ 1/x² = 0 e

lim_x→-∞ 1/x² = 0.

Assim, o gráfico que melhor representa a curva de equação y = 1/x² é:

 

14. (Pucrj 2017)  Os termos da soma S = 4 + 8 + 16 + ... + 2048 estão em progressão geométrica. Assinale o valor de S.

a) 4092   

b) 4100   

c) 8192   

d) 65536   

e) 196883   

  

Resposta da questão 14: [A]

Da PG (4, 8, 16, ..., 2048), temos: q = 8/4 = 2, onde q é a razão da PG.

2048 = 4.2^{n – 1}, onde n é o número de termos da PG, 2048/4 = 2^{n – 1} →

512 = 2^{n – 1} → 2⁹ = 2^{n – 1} → n = 10. Então S = 4.(2¹⁰ - 1)/(2 - 1) = 4092.

15. (Pucrj 2017)  O técnico da seleção brasileira de futebol precisa convocar mais 4 jogadores, dentre os quais exatamente um deve ser goleiro.

Sabendo que na sua lista de possibilidades para essa convocação existem 15 nomes, dos quais 3 são goleiros, qual é o número de maneiras possíveis de ele escolher os 4 jogadores?

a) 220   

b) 660   

c) 1980   

d) 3960   

e) 7920   

  

Resposta da questão 15: [B]

Do enunciado, temos:

Há 3 possibilidades para a escolha do goleiro.

O total de maneiras de escolher os outros três jogadores, após a escolha do goleiro é dado por: C_12,3 = 12!/3!9! = 220

Assim, o total de maneiras de escolher os quatro jogadores, pelo princípio fundamental da contagem é: 3. 220 = 660.

  

16. (Pucrj 2017)  Ao lançar um dado 3 vezes sucessivas, qual é a probabilidade de obter ao menos um número ímpar?

a) 1/8   

b) 1/4   

c) 3/8   

d) 5/8   

e) 7/8   

  

Resposta da questão 16: [E]

Supondo um dado convencional (seis faces, numeradas de 1 a 6) e não viciado, sendo P a probabilidade de obter três números pares em três lançamentos sucessivos, temos: P = 3/6 . 3/6 . 3/6 = 1/8

A probabilidade de obter ao menos um número ímpar no lançamento de tal dado três vezes sucessivas é P', de modo que: P + P' = 1.

Então, 1/8 + P' = 1 → P' = 1 - 1/8 → P' = 7/8.

  

17. (Pucrj 2017)  Numa pirâmide de base quadrada, todas as arestas medem x. Quanto vale o volume da pirâmide?

a) √2x³/6   

b) πx²   

c) x³ + x² + x + 1   

d) x³   

e) √6x³/3   

  

Resposta da questão 17: [A]

Do enunciado, temos:

                          

No triângulo BCD, (2a)² = x² + x² → 4a² = 2x² → a² = x²/2

No triângulo VOB, x² = h² + a² → x² = h² + x²/2 → h² = x² - x²/2 → h = x√2/2

Assim, sendo V o volume da pirâmide, V = 1/3 . x² . h → V = 1/3 . x² . x√2/2

V = √2 . x³/6

  

18. (Pucrj 2017)  Três números positivos proporcionais a 5, 8  e 9 são tais que a diferença do maior para o menor supera o módulo da diferença entre os dois menores em 5 unidades. Assinale o maior deles.

a) 45   

b) 54   

c) 63   

d) 72   

e) 81   

  

Resposta da questão 18: [A]

Do enunciado, sejam os números 5x, 8x e 9x, x > 0.

9x – 5x – 5 = |8x – 5x| → 4x – 5 = |3x| → 4x – 5 = 3x → 4x – 3x = 5 → x = 5

ou 4x – 5 = - 3x → 4x + 3x = 5 → 7x = 5 → x = 5/7

Assim, os números são: 25, 40 e 45 ou 25/7, 40/7 e 45/7

Logo, o maior dos números é o 45.  

19. (Pucrj 2017)  Considere o quadrado ABCD como na Figura.

                             

Sabendo que E é o ponto médio do lado AB, assinale o valor de cos(CDE).

a) 1/2   

b) √5/5   

c) √2/2   

d) (1 + √5)/2   

e) √3/2   

  

Resposta da questão 19: [B]

Do enunciado e da figura, temos:

                              

No triângulo ADE, (DE)² = x² + (2x)² → (DE)² = 5x².

Como x > 0 e DE > 0, DE = x√5.

Assim, cos x = AE/DE = x/x√5 = 1/√5 = √5/5

Como o ângulo CDE = α, cos CDE = √5/5.  

20. (Pucrj 2017)  Um vendedor de picolés verificou que a quantidade diária de picolés vendidos (y) varia de acordo com o preço unitário de venda (p), conforme a lei y = 90 – 20p. Seja P o preço pelo qual o picolé deve ser vendido para que a receita seja máxima. Assinale o valor de P.

a) R$ 2,25   

b) R$ 3,25   

c) R$ 4,25   

d) R$ 5,25   

e) R$6,25   

Resposta da questão 20: [A]

A receita é dada por: R(p) = y . p → R(p) = (90 – 20)p

Fazendo R(p) = 0, temos: 90 – 20p = 0 → p = 9/2 ou p = 0.

Assim, P = (9/2 + 0)/2 → P = 9/4 → P = 2,25

  

TREINAMENTO GEOMETRIA ESPACIAL – PARTE 2 - ESTILO ENEM 2017 - COMENTADO

Questão 31)

           Projeção cartográfica é a representação de uma superfície esférica em um plano (mapa). Existem diversos tipos de projeções que são classificadas em três grupos principais: azimutais, cilíndricas e cônicas.

A Reprodução Identifica-se a utilização de sólidos geométricos na projeção :

a) azimutal.

b) azimutal e na cilíndrica.

c) cilíndrica e na cônica.

d) azimutal e na cônica.

e) azimutal, na cilíndrica e na cônica.

Resolução

Alternativa correta: C

A projeção azimutal está relacionada ao círculo que tangencia a Terra, enquanto a cilíndrica e a

cônica estão relacionadas ao cilindro e ao cone, respectivamente. Portanto, as projeções que se

utilizam de figuras espaciais são a cilíndrica e a cônica.

Questão 32)

Quatro pilhas de cartas foram organizadas de forma a obtermos quatro sólidos distintos, como mostra a figura.

Baseando-se nos estudos do matemático italiano Cavalieri, que viveu na Itália no século XVII, se os sólidos A, B, C e D possuem mesma base e mesma altura, então eles têm :

 

a) mesma área lateral.

b) mesma área total.

c) mesmo perímetro.

d) mesmo volume.

e) mesma secção transversal.

Resolução

Alternativa correta: D

Pelo Princípio de Cavalieri, como os sólidos possuem mesma área da base e mesma medida da altura, então, os sólidos A, B, C e D possuem mesmo volume.

Questão 33)

Ao projetar um teatro, um arquiteto recebeu o seguinte pedido da equipe que seria responsável pela filmagem dos eventos que lá aconteceriam: é necessário que seja construído um trilho ao qual acoplaremos uma câmera de controle remoto. Para que a câmera não precise ficar mudando a calibragem do foco a cada movimentação, o ângulo de abertura com que a câmera captura as imagens do palco deve ser sempre o mesmo, conforme ilustração. Por exemplo, dos pontos P₁ e P₂ a câmera deve ter o mesmo ângulo de abertura α para o palco.

Das propostas de trilho a seguir, aquela que atende a essa necessidade é:

                    

Resolução

Alternativa correta: E

A proposta de trilho que satisfaz às condições do problema é a que está mostrada na alternativa E, pois esse formato corresponde a um arco capaz. Todo ponto desse arco vê a extensão do comprimento do palco sempre sob um mesmo ângulo.

Questão 34)

Fabricantes de móveis rústicos estão sempre inovando em suas criações. A figura mostra um banco de madeira formado pela combinação de dois troncos de pirâmides de bases quadradas.

Os polígonos que compõem as faces dessa figura são :

 

a) dois quadrados e oito trapézios isósceles.

b) dois quadrados e quatro trapézios isósceles.

c) um quadrado e oito retângulos.

d) dois quadrados e oito retângulos.

e) dez retângulos.

Resolução

Alternativa correta: A

As bases desse banco são dois quadrados e as oito faces laterais são trapézios isósceles.

Questão 35)

    Observe os poliedros mostrados a seguir.

                            

Em relação aos tipos de poliedros, faces, arestas e vértices, a diferença entre eles é que :

 

a) o poliedro A é côncavo, possui 8 faces, 18 arestas e 12 vértices, enquanto o poliedro B é convexo, possui 6 faces, 12 arestas e 8 vértices.

b) o poliedro A é convexo, possui 6 faces, 12 arestas e 8 vértices, enquanto o poliedro B é côncavo, possui 8 faces, 18 arestas e 12 vértices.

c) o poliedro A é côncavo, possui 6 faces, 18 arestas e 12 vértices, enquanto o poliedro B é convexo, possui 8 faces, 12 arestas e 8 vértices.

d) o poliedro A é convexo, possui 6 faces, 18 arestas e 8 vértices, enquanto o poliedro B é côncavo, possui 8 faces, 12 arestas e 12 vértices.

e) o poliedro A é côncavo, possui 6 faces, 18 arestas e 8 vértices, enquanto o poliedro faces, 12 arestas e 12 vértices.

Resolução

Alternativa correta: A

Poliedro A: côncavo, possui 8 faces, 18 arestas e 12 vértices. Poliedro B: convexo, possui 6 faces, 12 arestas e 8 vértices.

Questão 36)

     Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura:

      Nela identifica-se a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. Essas figuras são :

a) um tronco de cone e um cilindro.

b) um cone e um cilindro.

c) um tronco de pirâmide e um cilindro.

d) dois troncos de cone.

e) dois cilindros.

Resolução

Alternativa correta: D

As figuras tridimensionais apresentadas resultam da inserção de um tronco de cone em outro. São sólidos com bases circulares de tamanhos diferentes, contidas em planos paralelos, o que nos permite classificá-las como troncos de cones.

Questão 37)

     A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em

países orientais.

Disponível em: http://mdmat.psico.ufrgs.br. Acesso em: 1 maio 2010.

Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de :

 

a) pirâmide.

b) semiesfera.

c) cilindro.

d) tronco de cone.

e) cone.

Resolução

Alternativa correta: E

A superfície de revolução representada pela sombrinha acima trata-se da superfície lateral de um cone reto, já que as geratrizes são todas iguais.

Questão 38)

O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de :

 

a) 45°.

b) 60°.

c) 90°.

d) 120°.

e) 180°.

Resolução

Alternativa correta: D

Basta perceber que cada ladrilho é formado por 3 hexágonos regulares e congruentes.

Dividindo os hexágonos ao meio, conforme a figura abaixo, encontramos os eixos de simetria do ladrilho.

Na imagem, percebe-se que, com rotações de 360°/3 = 120°, obtemos a mesma figura.

Questão 39)

     Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas.

  

Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?

a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.

b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.

c) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.

d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.

e) Cilindro, prisma e tronco de cone.

Resolução

Alternativa correta: A

                                     

 

Questão 40)

A seguir, encontram-se imagens da caixa-d’água que fica na Praça da Imprensa, em Fortaleza, e do Obelisco de Buenos Aires.

Em relação às duas construções, pode-se afirmar que são compostas por :

 

a) um prisma e uma pirâmide, no caso da caixa-d'água, e uma pirâmide e um cone, no caso do obelisco.

b) um cilindro e um tronco de cone, no caso da caixa-d'água, e um tronco de pirâmide e uma pirâmide, no caso do obelisco.

c) um cilindro e um tronco de cone, no caso da caixa-d'água, e uma pirâmide e um tronco de cone, no caso do obelisco.

d) um tronco de prisma e um cone, no caso da caixa-d'água, e uma pirâmide e um cone, no caso do obelisco.

e) um tronco de pirâmide e um cone, no caso da caixa-d'água, e um cilindro e uma pirâmide, no caso do obelisco.

Resolução

Alternativa correta: B

Da observação das figuras, tem-se que a caixa-d’água é composta por um cilindro, na parte inferior, e um tronco de cone, na parte superior, enquanto o obelisco é composto por um tronco de pirâmide, na parte inferior, e uma pirâmide, na parte superior.

Questão 41)

Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura.

Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação para o bebedouro 3? 

Resolução

Alternativa correta: E                                               

 A planificação é :

      

 

Questão 42)

A siderúrgica "Metal Nobre" produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue.

O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza :

 

a) massa.

b) volume.

c) superfície.

d) capacidade.

e) comprimento.

Resolução

Alternativa correta: B

Volume = 2,5 · 0,5 · 1,3 = 1,625 m³

Questão 43)

   Um sinalizador de trânsito tem o formato de urn cone circular reto. O sinalizador precisa ser revestido externamente com adesivo fluorescente, desde sua base (base do cone) até a metade de sua altura, para sinalização noturna. O responsável pela colocação do adesivo precisa fazer o corte do material de maneira que a forma do adesivo corresponda exatamente à parte da superfície lateral a ser revestida. Qual deverá ser a forma do adesivo?

Resolução

Alternativa correta: E

O sinalizador tem um formato de um cone circular reto. Como o sinalizador precisa ser revestido externamente com adesivo fluorescente desde a sua base até a metade da sua altura e o responsável precisa fazer um corte do material para a superfície lateral que representa um tronco de cone.

Questão 44)

Considere as vistas frontal, lateral e superior, como ilustrado na figura a seguir.

Assinale a alternativa que mostre um sólido em que as vistas frontal, lateral e superior são congruentes.

Resolução

Alternativa correta: D

Basta visualizar as posições das peças com o auxílio do número de peças em cada vista.

Questão 45)

Numa feira de artesanato, uma pessoa constrói formas geométricas de aviões, bicicletas, carros e outros engenhos com arame inextensível. Em certo momento, ele construiu uma forma tendo como eixo de apoio outro arame retilíneo e rígido, cuja aparência é mostrada na figura seguinte: 

    

Ao girar tal forma em torno do eixo, formou-se a imagem de um foguete, que pode ser pensado como composição, por justaposição, de diversos sólidos básicos de revolução. Sabendo que na figura, os pontos B, C, E e F são colineares, AB = 4FG, BC = 3FG, EF = 2FG, e utilizandose daquela forma de pensar o foguete, a decomposição deste, no sentido da ponta para a cauda, é formada pela seguinte sequência de sólidos:

a) pirâmide, cilindro reto, cone reto, cilindro reto.

b) cilindro reto, tronco de cone, cilindro reto, cone equilátero.

c) cone reto, cilindro reto, tronco de cone e cilindro equilátero.

d) cone equilátero, cilindro reto, pirâmide, cilindro.

e) cone, cilindro equilátero, tronco de pirâmide, cilindro.

Resolução

Alternativa correta: C

A figura obtida após a rotação é a que está mostrada abaixo na qual constam um cone reto, um  cilindro reto, um tronco de cone e um cilindro equilátero.