QUESTÕES VESTIBULAR UNICAMP DIFICULDADE ELEVADA - COMENTADA

1. (Unicamp 2013)  A embalagem de certo produto alimentício, em formato de cilindro circular, será alterada para acomodar um novo rótulo com informações nutricionais mais completas. Mantendo o mesmo volume da embalagem, a sua área lateral precisa ser aumentada. Porém, por restrições de custo do material utilizado, este aumento da área lateral não deve ultrapassar 25%. Sejam r e h o raio e a altura da embalagem original, e R e H o raio e a altura da embalagem alterada. Nessas condições podemos afirmar que:

a) R/r ≥ 3/4 e H/h ≤ 16/9.

b) R/r ≥ 9/16 e H/h ≤ 4/3.

c) R/r ≥ 4/5 e H/h ≤ 25/16.

d) R/r ≥ 16/25 e H/h ≤ 5/4.

  

Resposta da questão 1: Gabarito Oficial: [C].

Volumes iguais : π.r².h = π.R².H → h/H = R²/r² (eq. I)

Área lateral : 2.π.R.H ≤ 1,25. 2.π.r.h → R/r ≤ 5/4 .h/H  (eq. II)

Substituindo eq. I em eq. II, temos :

R/r ≤ 5/4 . R²/r²  → 1 ≤ 5/4 . R/r  →  R/r ≥ 4/5 → H/h ≤ 25/16.

Como H/h ≤ 25/16 → H/h ≤ 16/9  e R/r ≥ 4/5 → R/r ≥ 3/4

● PORTANTO  AS ALTERNATIVAS [A] E [C] ESTÃO CORRETAS.  

2. (Unicamp 2013)  Em um aparelho experimental, um feixe laser emitido no ponto P reflete internamente três vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo, considere que o comprimento do segmento PB é de 6 cm, o do lado AB é de 3 cm, o polígono ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são congruentes, como se indica em cada ponto da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ?

                         

a) 12 cm.   

b) 15 cm.   

c) 16 cm.   

d) 18 cm.   

  

Resposta da questão 2: [B]

                             

∆HPQ ≈ ∆FQP (LAA₀) → HP = FQ = K e PF ≈ HQ

∆BHG ≈ ∆AFG (LAA₀) → AG = BG = 3/2 e HG = GF

∆AGF ≈ ∆QPF → (3/2)/3 = (6 - k)/k → k = 4

No ∆GBH : GH² = 2² + (3/2)² → GH = 5/2

No ∆HPQ : HQ² = 4² + 3² → HQ = 5

Logo, a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ é

PF + FG + GH + HQ = 5 + 5/2 + 5/2 + 5 = 15 cm.  

3. (Unicamp 2012)  Para construir uma curva “floco de neve”, divide-se um segmento de reta (Figura 1) em três partes iguais. Em seguida, o segmento central sofre uma rotação de 60º, e acrescenta-se um novo segmento de mesmo comprimento dos demais, como o que aparece tracejado na Figura 2. Nas etapas seguintes, o mesmo procedimento é aplicado a cada segmento da linha poligonal, como está ilustrado nas Figuras 3 e 4.

                                  

Se o segmento inicial mede 1 cm, o comprimento da curva obtida na sexta figura é igual a :

a) (6!/4!3!) cm   

b) (5!/4!3!) cm   

c) (4/3)⁵ cm   

d) (4/3)⁶ cm   

  

Resposta da questão 3: [C]

                                      

Os comprimentos das figuras formam uma P.G. de razão 4/3. Logo, o

comprimento da sexta figura será dado por: a₆ = 1 . (4/3)⁵ = (4/3)⁵_.  

4. (Unicamp 2012)  A área do triângulo OAB esboçado na figura abaixo é :

                                 

a) 21/4   

b) 23/4   

c) 25/4   

d) 27/4   

Resposta da questão 4:[C]

                           

m_r = 2/1 = 2, logo m_s = - 1/2 (r e s são perpendiculares)

Equação da reta s: y – 2 = - 1/2 . ( x - 1) → x + 2y – 5 = 0

Intersecção com o eixo x: x + 2.0 = 5 → x = 5. Logo, A (5,0).

Intersecção com o eixo y: 0 + 2.y = 5→ y = 5/2. Logo, B (0, 5/2)

Calculando a área do triângulo, temos: A = (5 . 5/2)/2 = 25/4

  

                TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:

Um carpinteiro foi contratado para construir uma cerca formada por ripas de madeira. As figuras abaixo apresentam uma vista parcial da cerca, bem como os detalhes das ligações entre as ripas, nos quais os parafusos são representados por círculos brancos. Note que cada ripa está presa à cerca por dois parafusos em cada extremidade.

5. (Unicamp 2012)  Os parafusos usados na cerca são vendidos em caixas com 60 unidades. O número mínimo de caixas necessárias para construir uma cerca com 100 m de comprimento é :

a) 13.   

b) 12.   

c) 15.   

d) 14.   

Resposta da questão 5:[D]

                                

Para construir uma cerca de 100 m precisaremos de 50 partes, como a da

figura mais uma ripa vertical.

Total de ripas: 50.4 + 1 = 201 ripas.

Sabendo que em cada ripa vão 4 parafusos, temos 201.4 = 804 parafusos.

Número de caixas de parafusos: 14 (804/60 = 13,4).  

RECORDAÇÕES - SISTEMA INTEGRAL DE ENSINO

SISTEMA  INTEGRAL  DE  ENSINO - SALVADOR/BAHIA 

                         REVISÃO ENEM 2015  

 

MINHA ÚLTIMA AULA PRESENCIAL !!!

QUESTÕES VESTIBULAR UFAM - PSC 2017 - COMENTADAS

1. No final do ano passado, uma empresa do Distrito Indústria de Manaus ofereceu um prêmio de R$ 8.000,00 aos seus três melhores vendedores, Ana, Beatriz e Carlos. A divisão do prêmio foi em partes diretamente proporcionais à quantidade de vendas de produtos durante o ano e em partes inversamente proporcionais ao número de faltas deles ao trabalho, também durante o ano. Sabendo que Ana realizou 7 vendas e faltou 4 vezes, Beatriz realizou 8 vendas e faltou 3 vezes e Carlos realizou 9 vendas e faltou 4 vezes, então Beatriz recebeu:

a) R$ 2.100,00

b) R$ 2.700,00

c) R$ 3.100,00

d) R$ 3.200,00

e) R$ 3.300,00

Vejamos :

Sabendo que Ana(A) realizou 7 vendas e faltou 4 vezes,

Beatriz(B) realizou 8 vendas e faltou 3 vezes e

Carlos(C) realizou 9 vendas e faltou 4 vezes.

Como a divisão do prêmio foi em partes diretamente

proporcionais à quantidade de vendas de produtos e em partes

inversamente proporcionais ao número de faltas.

A/(7.1/4) = B/(8.1/3) = C/(9.1/4) = (A + B + C)/(7.1/4 + 8.1/3 + 9.1/4) =

= 8000/(7/4 + 8/3 + 9/4) = 8000/(4 + 8/3) = 8000/(20/3) = 1200(const.

de proporcionalidade).

Portanto Beatriz recebeu : B/(8.1/3) = 1200 → B = 1200.8/3 →

B = R$ 3200,00

2. Sabendo que os pontos (2, -1) e (-3, -6) pertencem ao gráfico

da função f :  R em R definida por f(x) = ax + b então a - b é:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

Vejamos :

Como (2, -1) e (-3, -6) pertencem ao gráfico de f(x) = ax + b, entao

com (2, -1), teremos - 1 = a.2 + b e com (-3, -6), - 6 = a.(-3) + b

Resolvendo o sistema, b = - 1 – 2a e b = - 6 + 3a, obtemos

- 1 – 2a = - 6 + 3a → 5a = 5 → a = 1 e b = - 3.

Portanto a – b = 1 + 3 → a – b = 4

3. A função f :  R em R tem como gráfico uma parábola e satisfaz

f(x + 1) - f(x) = 8x – 4, para todo número real R. Então o menor

valor de f(x) ocorre quando o valor de x é igual a:

a) 2

b) 1

c) 1/2

d) 1/4

e) – 1

Vejamos :

Como o gráfico de f : R em R é uma parábola, então f(x) é do tipo

f(x) = ax² + bx + c.

Se f(x + 1) - f(x) = 8x – 4 → a(x + 1)² + b(x + 1) + c - f(x) = 8x – 4 →

a(x² + 2x + 1)² + b(x + 1) + c - ax² - bx – c = 8x – 4 →

ax² + 2ax + a + bx + b + c - ax² - bx – c = 8x – 4 →

2ax + a + b = 8x – 4 .

Por comparação 2ax = 8x → a = 4 e a + b = - 4 → b = - 8

Então o menor valor de f(x) que ocorre quando o valor de x é

igual ao x_vértice = -b/2a = -(-8)/2.4 = 8/8 = 1

4. O valor (em reais) de um veículo varia, após x anos,

segundo a lei definida por d(x) = V₀ . 2^-0,2x , onde V₀

é uma constante real. Sabendo que após 5 anos esse

veículo estará valendo R$ 30.000,00, então o valor

desse veículo após 15 anos deve ser:

a) R$ 4.000,00

b) R$ 5.000,00

c) R$ 6.000,00

d) R$ 7.500,00

e) R$ 10.000,00

Vejamos :

O valor (em reais) de um veículo varia, após x anos,

segundo a lei definida por d(x) = V₀ . 2^-0,2x . Se após 5 anos estará

valendo R$ 30000,00, então 30000 = V₀ . 2^-0,2.5 → 30000 = V₀ . 1/2

V₀ = R$ 60000,00.

O valor desse veículo após 15 anos deve ser d(x) = 60000 . 2^-0,2.15

d(x) = 60000 . 2^-3 → d(x) = 60000/8 → d(x) = R$ 7500,00

5. Resolvendo em R a inequação log₂₅ (x² - x) > log₂₅ (2x + 10)

deve-se obter como solução S :

a) S = {x ɛ R / - 5 < x < - 2 ou x > 5}

b) S = {x ɛ R / - 5 < x < 0 ou x > 1}

c) S = {x ɛ R / x < - 2 ou x > 5}

d) S = {x ɛ R / - 5 < x < - 5}

e) S = ɸ

Vejamos :

Como a base > 1, entao  log₂₅ (x² - x) > log₂₅ (2x + 10) →

x² - x > 2x + 10 → x² - 3x – 10 > 0 → ∆ = 49 → x < - 2 ou x > 5

Analisando as condições de existências dos logaritmos :

● log₂₅ (x² - x) → x² - x > 0 → x < 0 ou x > 1

● log₂₅ (2x + 10) → 2x + 10 > 0 → x > - 5

            

Portanto S = {x ɛ R / - 5 < x < - 2 ou x > 5}

6. A soma de todos os múltiplos positivos de 4 com dois

algarismos, na base decimal, é:

a) 1248

b) 1188

c) 1148

d) 1124

e) 1024

Vejamos :

Como os múltiplos de 4 delimitam uma PA e com dois algarismos

oscilam entre 12 e 96, então segundo o termo geral da PA

a_n = a₁ + (n - 1).r → 96 = 12 + (n - 1).4 → 84 = 4n – 4 → 4n = 88 →

n = 22.

Finalmente, a soma dos 22 múltiplos de 4 poderá ser obtido

através da expressão S_n = (a₁ + a_n).n/2 → S₂₂ = (a₁ + a₂₂).22/2 →

S₂₂ = (12 + 96).11 → S₂₂ = 108.11 → S₂₂ = 1188

7. Considere as progressões geométricas infinitas (1/2,1/4, 1/8, 1/16, ...) e (1/3, 1/9, 1/27, 1/81,...). Se a e b são as respectivas somas destas progressões, então o valor de a+b é:

a) 2/3

b) 3/2

c) 4/3

d) 5/3

e) 7/3

Vejamos :

Como as PG(s) são infinitas, podemos determinar suas somas

através da expressão S_∞ = a₁/(1 - q).

● (1/2,1/4, 1/8, 1/16, ...) → S_∞ = (1/2)/(1 - 1/2) = 1

● (1/3, 1/9, 1/27, 1/81,...) → S_∞ = (1/3)/(1 - 1/3) = 1/2 → b = 1/2

Portanto: a = 1;  b = 1/2 e a + b = 3/2

8. Em um triangulo retângulo, a metade de um cateto

excede o outro em 1cm e a hipotenusa excede o

maior cateto em 1cm também. Sabendo que o

perímetro desse triângulo é 30, então a medida da

tangente do maior ângulo agudo deve ser:

a) 0,5

b) 1

c) 2,4

d) 3,0

e) 4,0

Vejamos :

Observando o triângulo retângulo podemos afirmar que,

                 

                               

● A metade de um cateto excede o outro em 1 cm → c/2 = b + 1

● A hipotenusa excede o maior cateto em 1cm → a = c + 1

Através do Teorema de Pitágoras → a² = b² + c² →

(c + 1)² = (c/2 - 1)² + c² → c² + 2c + 1 = c²/4 – c + 1 + c²

2c + 1 = c²/4 – c + 1 → 8c + 4 = c² – 4c + 4 → c² – 12c = 0 →

c = 0 (não convém) ou c = 12 → a = 13 e b = 5

Portanto a medida da tangente do maior ângulo agudo (convém

lembrar que o maior ângulo agudo opõe-se ao maior cateto)

mede tg α = c/b → tg α = 12/5 = 2,4