TREINAMENTO FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ESTILO ENEM 2016 / COMENTADO

                                   

1.Em muitas cidades, os poluentes emitidos em excesso pelos veículos causam graves problemas a toda população. Durante o inverno, a poluição demora mais para se dissipar na atmosfera, favorecendo o surgimento de doenças respiratórias.

Suponha que a função N(x) = 180 – 54cos[╥/6(x-1)] represente o número de pessoas com doenças respiratórias registrado em um Centro de Saúde, com x = 1 correspondendo ao mês de janeiro, x = 2, ao mês de fevereiro e assim por diante. A soma do número de pessoas com doenças respiratórias registrado nos meses de janeiro, março, maio e julho é igual a

a) 693.

b) 720.

c) 747.

d) 774.

e) 936.

Resolução

Alternativa correta: B

Sabendo-se que ângulos suplementares têm cossenos simétricos, concluímos que:
f(1) + f(3) + f(5) + f(7) = 4 . 180 - 54 .(cos0 + cos╥/3 + cos2╥/3 = cos╥ ) = 720

2. Suponha que a expansão P = 100 + 20 . sen(2╥t) descreve de maneira aproximada a pressão sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa expressão, t representa o tempo em segundos. A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 120 por 80. Como essa função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste.
Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo?

a) 0,85 s.

b) 0,75 s.

c) 0,65 s.

d) 0,55 s.

e) 0,45 s.

Resolução

Alternativa correta: B

Obviamente, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo quando sen (2╥t) = -1.

Então, sen(2╥t) = -1  2╥t = 3╥/2+ k . 2╥, com k inteiro. Simplificando, encontramos:

t = 3/4+ k, com k inteiro Logo: t = 3/4 = 0,75 s.

3. Do solo, você observa um amigo numa roda-gigante. A altura h, em metro, de seu amigo em relação ao solo é dada pela expressão h(t) = 11,5 + 10.sen[╥/12(t-26)] , em que o tempo t é dado em segundo e a medida angular, em radiano.  Marque a opção que corresponde à diferença, em metros, entre as alturas máxima e mínima que seu amigo alcança.

a) 10

b) 15

c) 18

d) 20

e) 25

Resolução

Alternativa correta: D

Os valores máximos e mínimos ocorrem, respectivamente, quando

sen [╥/12(t-16)] = 1 e sen [╥/12(t-26)] = -1

Portanto:
h_máx = 11,5 + 10  1 = 21,5
h_min = 11,5 + 10  (-1) = 1,5
21,5 - 1,5 = 20,00

4. A produção de certo tipo de alimento numa determinada propriedade rural pode ser modelada pela função N(x) = 320 + 180sen (╥x/3 - ╥/2),  em que x representa o mês do ano (1 para janeiro, 2 para fevereiro, 3 para março, e assim sucessivamente) e N(x) é o número de toneladas produzidas no mês x. A maior e a menor quantidade produzidas, em toneladas, são, respectivamente, iguais a

a) 320 e 140.

b) 500 e 320.

c) 500 e 280.

d) 500 e 140.

e) 410 e 320.

Resolução

Alternativa correta: D

N(x) = 320 + c

I.              Produção máxima

sen (╥x/3 - ╥/2) = 1 → N(x) = 320 + 180 . 1  → N(x) = 500

II.             Produção mínima

sen (╥x/3 - ╥/2) = -1 → N(x) = 320 + 180 . (-1)→ N(x) = 140 

5. A produção de certo tipo de alimento numa determinada propriedade rural pode ser modelada pela função N(x) = 320 + 180sen (╥x/3 - ╥/2),
, em que x representa o mês do ano (1 para janeiro, 2 para fevereiro, 3 para março, e assim sucessivamente) e N(x) é o número de toneladas produzidas no mês x.

Os meses do ano em que a produção é máxima são

a) janeiro e julho.

b) fevereiro e agosto.

c) março e setembro.

d) abril e outubro.

e) maio e novembro.

Resolução

Alternativa correta: C

sen (╥x/3 - ╥/2) = 1 →  ╥x/3 - ╥/2 = ╥/2 + 2k╥ →  ╥x/3 = ╥ + 2k╥ →  x = 3 + 6k

Quando k = 0
x = 3 ⇒ março
Quando k = 1
x = 9 ⇒  setembro

6. O preço dos produtos agrícolas oscila de acordo com a safra de cada um: mais baixo no período da colheita, mais alto na entressafra. Suponha que o preço aproximado P, em reais, do quilograma de tomates seja dado pela função a seguir: P(t) = 2,7 + 0,8.sen[2╥/360(t-101)] onde t é o número de dias contados de 1º de janeiro até 31 de dezembro de um determinado ano. Para esse período de tempo, o menor valor de t para qual o preço P seja igual a R$ 3,10 é

a) 101.

b) 131.

c) 171.

d) 201.

e) 261.

Resolução

Alternativa correta: B

De acordo com o exposto, devemos ter: P(t) = 3,1  3,1 = 2,7 + 0,8 . sen 2╥/360(t-101)]

Então, 2╥/360(t-101)] = 1/2. No ciclo trigonométrico, a igualdade ocorrerá quando: 

2╥/360(t-101)] =╥/6+k.2╥,k inteiro → t = 131 = 360k → t = 131 ( menor ) ou

2╥/360(t-101)] =5╥/6+k.2╥, k inteiro → t = 251 + 360k → t = 251

7. Em certa cidade litorânea, verificou-se que a altura da água do mar em um certo ponto era dada por f(x) = 4 + 3 cos(╥x/6)  em que x representa o número de horas decorridas a partir de zero hora de determinado dia, e a altura f(x) é medida em metros.
Em que instantes, entre 0 e 12 horas, a maré atingiu a altura de 2,5 m naquele dia?

a) 5 e 9 horas.

b) 7 e 12 horas.

c) 4 e 8 horas.

d) 3 e 7 horas.

e) 6 e 10 horas.

Resolução

Alternativa correta: C

Devemos ter 4 + 3 cos(╥x/6)  = 2,5 → ( cos╥x/6 ) = -1/2

No intervalo considerado, as possibilidades são:

╥x/6 = 2╥/3 → x = 4   ou   ╥x/6 = 4╥/3 → x = 8

8. O departamento de Meteorologia de uma cidade modelou a variação da temperatura média local, num determinado dia, por meio da função: T = 20 + 8sen [╥(t-8)/12] em que T é a temperatura em graus Celsius, e t é a hora do dia, com 0 ≤ t ≤ 24. Qual era a temperatura média na cidade às 22 horas?

a) 20°C

b) 16°C

c) 18°C

d) 28°C

e) 22°C

Resolução

Alternativa correta: B

T = 20 + 8sen[╥(22-8)/12] → T = 20 + 8sen14╥/12 → T = 20 + 8sen210° → T = 20 + 8 · (-1/2)

T = 20 - 4  = 16°C

9. Estima-se que, em 2014, a receita mensal de um hotel seja dada (em milhares de reais) por

R(t) = 1 500 + 3 000 . sen² (╥/2 - ╥t/12 ), em que t = 1 representa o mês de janeiro, t = 2 o mês de fevereiro e assim por diante. Diante do exposto, podemos concluir que a receita de março será inferior à de fevereiro em

a) R$ 650 000,00.

b) R$ 700 000,00.

c) R$ 750 000,00.

d) R$ 800 000,00.

e) R$ 850 000,00.

Resolução

Alternativa correta: C

Temos que:

i) Receita de março = R(3) = 1 500 + 3 000 · sen² ╥/4 = 3 000 (milhares de reais).

ii) Receita de fevereiro = R(2) = 1 500 + 3 000 · sen² ╥/3 = 3 750 (milhares de reais).

Logo:

Diferença solicitada = 750 000,00 reais.

10. A população de peixes em uma lagoa varia conforme o regime de chuvas da região. Ela cresce no período chuvoso e decresce no período de estiagem. Essa população é descrita pela expressão P(t)=10³{cos[╥(t-2)/6]+5} , em que o tempo t é medido em meses. É correto afirmar que

a) o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano.

b) a população atinge seu máximo em t = 6.

c) o período de seca corresponde a 4 meses do ano.

d) a população média anual é de 6 000 animais.

e) a população atinge seu mínimo em t = 4, com 6 000 animais.

Resolução

Alternativa correta: A

Construindo o gráfico da função, temos: para t = 2→P(2)=6000 ; para t = 5 →P(5) = 5000

Para t = 8 → P(8) = 4000 ; para t = 11 → P(11) = 5000 e para P(13) = 6000

De acordo com os resultados, o período chuvoso acontece em seis meses, ou seja, dois trimestres.

11. Suponha que a expressão P = 100 + 20 . sen(2πt) descreve de maneira aproximada a pressão sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa expressão, t representa o tempo em segundos.
A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 120 por 80. Como essa função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste.
Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo?

a) 0,85 s

b) 0,75 s

c) 0,65 s

d) 0,55 s

e) 0,45 s

Resolução

Alternativa correta: B

Obviamente, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo quando sen(2πt) = – 1.
Então: sen(2πt) = – 1  2πt = 3╥/2+ k.2π, com k inteiro.Simplificando, encontra-se:
t = 3/4 + k, com k inteiro. Logo: t = ¾ = 0,75seg 

12. Um terremoto de magnitude 8 graus da escala Richter atingiu, em setembro de 2009, a região de Samoa. O terremoto causou ondas de até 3 metros. A maré alta nesse local ocorreu à meia-noite.
Suponha que o nível de água, na maré alta, fosse de 3 metros; mais tarde, na maré baixa, fosse de 3 cm. Supondo que a próxima maré alta seja exatamente ao meio-dia e que a altura da água é dada por uma curva seno ou cosseno, qual das alternativas a seguir corresponde à fórmula para o nível da água na região em função do tempo?

a) H(t) = 1,515 + 1,485.cos(╥t/6)

b) H(t) = 1,515 + 1,485.sen(╥t/6)

c) H(t) = 1,485.cos(╥t/6)

d) H(t) = 1,485.sen(╥t/6)

e) H(t) = 1,485 + 1,515.cos(╥t)

Resolução

Alternativa correta: A

De acordo com o enunciado, temos:
i) Maré alta = 3 m
ii) Maré baixa = 3 cm
iii) para t = 0 h ➝ H_max = 3 m
iv) para t = 12 h ➝ H_max = 3 m
v) Período = 12 h
A única função que satisfaz todas as condições acima encontra-se no item (a).

 13. Uma equipe de pesquisadores coletou dados da temperatura (em ºC) de determinada região, durante uma semana, em intervalos de uma hora. A função a seguir representa a temperatura f(x) (em ºC) variando em função do tempo x (em horas), f(x) = 20 + 4.sen[(╥x/6)+╥].

Sabendo que a temperatura começou a ser medida às 6 horas da manhã, marque a alternativa em que aparece o instante em que a primeira temperatura mínima do primeiro dia ocorreu e qual era essa temperatura.

a) 9 horas da manhã e 16 ºC.

b) 8 horas da manhã e 18 ºC.

c) 8 horas da noite e 22 ºC.

d) 9 horas da noite e 18 ºC.

e) Meio-dia e 22 ºC.

Resolução

Alternativa correta: A

De acordo com o exposto, devemos ter:

sen[(╥x/6)+╥] = -1 → ╥x/6 + ╥ = 3╥/2 + k.2╥, k inteiro . Então: x = 3 + 12k → x = 3 Como a medição começou às 6 horas da manhã, concluímos que: Primeira temperatura mínima: ƒ(3) = 20 + 4.(−1) = 16 ºC Instante = (6 + 3) = 9 horas

14. No setor de trabalho da pintura de peças de uma fábrica, a pressão em um tambor de ar comprimido varia com o tempo conforme a função: f(x) = 50 + 50.sen( t - ╥/2 ) , t > 0. O instante t correspondente ao valor mínimo da pressão é

a) t = ╥/2

b) t = ╥

c) t = 3╥/2

d) t = 2╥

e) t =3╥

Resolução

Alternativa correta: D

Pelo enunciado dado, temos 

ƒ(x) = 50 + 50 . sen( t - ╥/2 )

Para que a função assuma um valor mínimo devemos ter:

sen( t - ╥/2 ) = -1 → sen( t - ╥/2 ) = sen3╥/2 → t - ╥/2 = 3╥/2 → t = 2╥