1.
(Fgv 2017) O diagrama
seguinte indica o número de veículos que passaram em cada trecho de quatro
avenidas de mão única na última hora. Por exemplo, 300 veículos passaram, nessa
hora, pelo trecho da Av. Stuart Mill que antecede o cruzamento D. Sabe-se ainda
que, nessa hora, passaram 500 veículos entre os cruzamentos de D e C, x
veículos de D para A, y veículos de B para A e z veículos de B para C.
Interpretando os cruzamentos do diagrama, pode-se deduzir, por exemplo, que x +
y = 1300 (dedução a partir da análise do cruzamento A).
a) Calcule x, y e z.
b) Substitua, no diagrama original, a quantidade de 500
veículos que trafegam de D para C na hora analisada por uma quantidade desconhecida
de t veículos. Considerando que x, y, z e t são inteiros positivos, determine
quantos são os valores possíveis para t.
Resposta da questão
1:
a) Considerando cada carro que chega e sai do cruzamento, pode-se escrever :
a) Considerando cada carro que chega e sai do cruzamento, pode-se escrever :
Em A → x + y = 500 +
800 → x + y = 1300
Em B → y + z =
400 + 1400 → y + z = 1800
Em C → z + 500 =
700 + 1300 → z = 1500
Em D → x + 500 =
300 + 1200 → x = 1000 → y = 300 → z = 1500
b) Calculando:
Em A → x + y = 500 +
800 → x + y = 1300
Em B → y + z = 400 +
1400 → y + z = 1800
Em C → z + t = 700 +
1300 → z + t = 2000 → z = 2000 - t
Em D → x + t = 300 +
1200 → x + t = 1500 → y = 1500 – t
Entao : x = 1500 – t
,
y = t – 200 e z = 2000 - t
Como x ≥ 0, y ≥ 0,
z ≥ 0 e t ≥ 0, vem :
1500 – t ≥ 0 → t ≤
1500, t – 200 ≥ 0 → t ≥ 0 e 2000 – t ≥ 0
→ t ≤ 2000
Finalmente 200 ≤
t ≤ 1500 → 1301 valores inteiros possiveis
2. (Fgv
2017) Uma fórmula que mede a magnitude M de um
terremoto pode ser escrita como M = 0,67.logE – 3,25, sendo E a energia
mecânica liberada pelo abalo, medida em Joules.
a) Calcule, por meio da fórmula dada, a energia mecânica
liberada por um terremoto de magnitude 2,11.
b) A figura a seguir mostra um modelo trigonométrico
que, por meio da função cosseno y = A + B.cos(mx + n), ajuda a prever a
magnitude de terremotos em uma ilha do Pacífico. Nesse modelo, y indica a
magnitude do terremoto, e x indica o ano de ocorrência, sendo x = 1
correspondente ao ano 1980, x = 6 correspondente ao ano 1990, x = 11
correspondente ao ano 2000, e assim sucessivamente.
Determine domínio, imagem e período da função
cujo gráfico está indicado na figura. Em seguida, determine os valores dos parâmetros
A, B, m e n da lei dessa função.
Resposta da questão
2:
a) Calculando: M
= 0,67 . log(E) – 3,25 = 2,11 → 0,67 . log(E) = 5,36 →
log(E) = 8 → E =
108 joules
b) Calculando:
Dominio → D = R
Imagem → Im = {4,
8}
Periodo → T = 11 –
1 = 10
Atraves do gráfico
: T = 2π/m = 10 → m = π/5 , n/m = -1 → n = - π/5 ,
A + B.1 = 8 e A +
B.(-1) = 4 → A = 6 e B = 2
3. (Fgv 2017) A figura indica o gráfico das funções reais f, g, h e i, dadas, respectivamente, pelas leis f(x) = x3 – 3x2 + 3, g(x) = 2x +3, h(x) = 2x e i(x) = 2x – 3
a) As abscissas de três dos doze pontos (A,B,C,...,J,K,L)
marcados na figura correspondem às soluções da equação x3 – 3x2
= 2x Quais são esses pontos, e quais são suas abscissas?
b) Seja m uma constante real positiva e sabendo que a
equação x3
– 3x2 = m2 - 16 possui três soluções reais, determine, com o
auxílio da figura, o conjunto de todos os possíveis valores de m.
Resposta da questão 3:
a) A equação dada corresponde à f(x) = g(x), ou seja:
a) A equação dada corresponde à f(x) = g(x), ou seja:
x3 – 3x2 + 3 = 2x +3 →
x3 – 3x2 = 2x
Logo, a solução
da equação serão os pontos de intersecção das funções g(x) e f(x), portanto os
pontos A, B e C. As coordenadas destes pontos serão:
x3 – 3x2 = 2x → x3
– 3x2 - 2x = 0→x(x2 – 3x - 2) = 0→x = 0 ou x = (3±√17)/2
b) O gráfico da
equação de y = m2 - 16 será uma reta paralela ao eixo y. Já a
equação y = x3 – 3x2 fornecerá um gráfico com aspecto a
seguir:
Assim, a equação dada possuirá três
soluções reais somente se:
- 4 < m2 - 16 < 16 → 12 < m2 < 16 → - 4 < m < -2√3 (não
convem > 0) ou
2√3 < m < 4
→ S = { m ε R / 2√3 < m < 4 }
a) Determine uma expressão do total de palitos da
figura em função de n.
b) Considerando que o comprimento de cada palito é
igual a 4 cm, calcule a área do losango formado no caso em que n = 20.
Desconsidere os espaços nas junções entre
palitos.
Resposta da questão 4:
a) Desenhando:
Logo, se em cada direção há n + 1 linhas, cada um com n palitos, nas
duas direções serão 2n.(n+1) palitos. O
losango está todo dividido em n
losangos menores, portanto n.n = n2
losangos. Cada um desses possui
um palito “entre as linhas”, logo n2 palitos. Assim, a expressão do total
de palitos será: f(n) = n2 + 2n.(n+1) = 3n2
+ 2n
b) Calculando: n . n = 20.20 = 400 losangos menores
Como um losango menor = 2
triangulos equiláteros de lado 4cm, então
SΔ = 42√3/4
= 4√3 e STOTAL = 2 . 400 . 4√3 = 3200√3 cm2
5. (Fgv 2017) a) Represente graficamente no plano cartesiano a função:
Se a função P(t), em centenas de reais, expressa o preço de um produto
depois de estar t anos no mercado (0 ≤ t ≤ 8), qual foi o preço máximo
alcançado pelo produto?
b) Qual foi o menor preço alcançado
pelo produto nesse período de 8 anos?
Resposta da
questão 5:
a) Gráfico:
a) Gráfico:
Preço máximo:
0 ≤ t ≤ 8 → Pmáx(t) = 10 →
preçomáx = 100.10 = R$ 1000,00
b) Preço mínimo:
0
≤ t ≤ 8 → Pmín(t) = 4 → preçomín = 100.4 = R$ 400,00
6. (Fgv 2017) A evolução mensal do número de sócios de uma revista de Matemática
durante o ano de 2015 está expressa pela função:
em que x = 1 representa
janeiro de 2015, x = 2 representa fevereiro de 2015, e assim por diante.
a)
Faça um esboço
do gráfico da função. Qual foi o maior número de sócios nesse período?
b)
Qual foi a
média aritmética do número de sócios nos doze meses de 2015?
f(1) = 100 - 1(1 - 4) = 103
f(2) = 100 - 2(2 - 4) = 104
f(3) = 100 - 3(3 - 4) = 103
f(4) = 100 - x(x - 4) = 100
f(5) = f(6) = f(7) = f(8) = f(9)
= 100
f(10) = 100 + (10 - 9).(10 - 12) = 98
f(11) = 100 + (11 - 9).(11 - 12) = 98
f(12) = 100 + (12 - 9).(12 - 12) = 100
Portanto fmáx.(x) = 104
b) Calculando:
(103 + 104 + 103 + 100.6 + 98 + 98 + 100)/12
= 100,5
7. (Fgv 2017) a) Duas lojas de roupas A e B vendem o
mesmo produto com preços diferentes. Se ambas as lojas dessem um desconto para
pagamento à vista, o preço com desconto da loja A seria menor que o preço com
desconto da loja B? Sabe-se que na loja A o desconto foi de 10% sobre o preço à
vista e na loja B, o desconto foi de 15% sobre o preço à vista. Sabe-se ainda
que, na loja A, o desconto foi de R$ 40,00 e, na loja B, o desconto foi de R$
54,00.
b) Em março de 2016, o lucro de certa
empresa em relação ao de fevereiro do mesmo ano aumentou 15% e foi de R$
4140,00.
Se o aumento do lucro de março em relação ao de fevereiro fosse de 10%,
qual teria sido o valor do lucro obtido pela empresa em março?
Resposta da
questão 7:
a) Calculando:
a) Calculando:
xA = preço integral em A e xB
= preço integral em B
xA
. 0,1 = 40 → xA = 400 → xA - 0,1. xA
= 400 – 40 = 360
xB . 0,15 = 54 → xB =
360 → xB - 0,15. XB = 360 – 54 = 306
Assim, a loja A o produto tem um preço à
vista maior que na loja B.
b) Calculando:
x = lucro fevereiro
março → 1,15x = 4140 → x = 3600 → 3600.1,1
= R$ 3960,00
O valor do lucro seria de 3960,00 reais.
8. (Fgv
2017) Sob o olhar do
juiz, o confronto entre advogados e promotores para convencer sete jurados,
cuja decisão traçará o destino dos réus, é a imagem mais conhecida da Justiça.
Retratados em filmes e obras literárias, os tribunais do júri são o momento
mais aguardado e costumam selar histórias de dor e sofrimento. No Brasil, o
júri popular é previsto no Código de Processo Penal para julgar crimes contra a
vida. (...)
Podem alistar-se para participar de julgamentos os cidadãos maiores de
18 anos de ‘notória idoneidade’, ou seja, sem antecedentes criminais (...) No
dia do julgamento, devem comparecer ao tribunal 25 jurados, assim como as
testemunhas convocadas e o réu (...) Se ao menos 15 jurados convocados
comparecerem, são instalados os trabalhos.
Adaptado de:
http://www.terra.com.br/noticias/infograficos/juri-popular/
São sorteados
sete jurados para compor o chamado Conselho de Sentença. O advogado de defesa e
o Ministério Público podem recusar os jurados sorteados, até três cada parte,
sem motivar a recusa.
Considere o
cenário apresentado e responda:
a) Para a
condução do sorteio, utilizam-se pequenas esferas sólidas de raio 1cm. Se 25
esferas forem armazenadas em uma urna em forma de cubo, qual deve ser o valor
da aresta desse cubo, de forma que a soma do volume das esferas corresponda a 10%
do volume da urna? Utilize a aproximação π = 3.
b) Considere
que, após os vetos do advogado de defesa e do Ministério Público, tenham
restado apenas 9 indivíduos aptos a compor o Conselho de Sentença. Qual é o
número de possíveis composições (de 7 jurados cada) para o conselho?
c) Suponha que
existam 4 mulheres e 5 homens no grupo de indivíduos aptos a compor o Conselho
de Sentença. Nessa situação, qual é a probabilidade de que as quatro mulheres
participem, juntas, do conselho?
Resposta da questão 8:
a) A soma dos volumes das 25 esferas equivale a 10% do volume do cubo: 25 . 4/3 . π . 13 = 10/100 . a3 → 25 . 4/3 . 3 . 13 = 10/100 . a3 →
a) A soma dos volumes das 25 esferas equivale a 10% do volume do cubo: 25 . 4/3 . π . 13 = 10/100 . a3 → 25 . 4/3 . 3 . 13 = 10/100 . a3 →
a3
= 1000 → a = 10cm
b) de um conjunto de nove elementos
devemos escolher um subconjunto com sete elementos.
C9,7 = 9!/7!2! = 36
c) considerando
que o corpo de jurados será formado por todas as mulheres, iremos precisar de 3
homens que serão escolhidos entre os 5 homens do grupo. Portanto a
probabilidade P pedida será dada por:
P = C5,3
/ 36 = 10/36 = 5/18
9. (Fgv
2017) No fim de dezembro
de 2013, quando surgiram os primeiros sinais da crise hídrica, o nível do
Cantareira era de 27,5% do volume útil, sem contar com nenhuma cota do volume
morto. (...)
Três índices de medição
O site da Sabesp informa três
percentuais diferentes do nível do Cantareira. O primeiro índice [Índice 1], que hoje está em 29,3%.
corresponde ao volume armazenado de água em relação ao volume útil do sistema.
Por determinação da Justiça, a companhia foi obrigada a fornecer outros
dois índices. A taxa 2 [Índice 2],
que está em 22,6% e é adotada pelo UOL, equivale à quantidade de água existente
em relação ao volume total do Cantareira, incluindo as duas cotas do volume
morto que passaram a ser usadas.
Já o índice 3 [Índice 3],
que está em 0%, representa o quanto de água tem, excluindo o volume morto, em
comparação com o volume útil do sistema.
Adaptado
de:
http://noticias.uol.com.br/cotidiano/ultimas-noticias/2015/12/30/apos-mais-de-um-ano-e-meio-cantareira-sai-do-volume-morto.htm?mobile
A partir da
leitura do texto acima, responda às seguintes questões.
a) Qual é o
tamanho do volume útil do Cantareira, em porcentagem, em relação ao volume
total desse sistema?
b) Se o Índice 1 passar de 29,3% para 35% para
quanto passará o Índice 2?
c) Suponha que o
sistema Guarapiranga demore 1 hora para fornecer 60000 metros cúbicos de água e
que um outro sistema disponível para abastecer a região da Grande São Paulo
demore 2 horas para fornecer essa mesma quantidade de água. Trabalhando juntos,
quanto tempo (em minutos) esses dois sistemas demorarão para fornecer 60000
metros cúbicos de água?
Resposta da questão 9:
Considerando que:
Considerando que:
Vu = volume útil
Vm = volume morto
xu = quantidade de água no
volume útil
xm = quantidade de água no
volume morto
a)
De
acordo com os índices citados no enunciado, podemos escrever o seguinte
sistema:
(xu
+ xm) / Vu = 0,293
(xu
+ xm) / (Vu + Vm) = 0,226
xu / (Vu + Vm) = 0 → xu
= 0
Do sistema acima podemos escrever que:
xm = Vu .
0,293 e xm
= (Vu + Vm) . 0,226
Igualando as equações, temos:
Vu . 0,293 = (Vu + Vm) . 0,226 → Vu
/ (Vu + Vm) = 0,226 / 0,293 = 77,13%
b) Considerando que o aumento ocorre
apenas nas quantidades de água, já que os volumes são constantes, podemos
escrever que o índice 2 passará a ser: 35/29,3 . 22,6 ≈ 27%
c) A represa de Guarapiranga fornece em
uma hora 60000 metros cúbicos de água.
A outra represa fornece 30000 metros cúbicos por hora.
Portanto estas duas represas juntos fornecem 90000 metros cúbicos por
hora.
Considerando que t é o tempo para que juntas forneçam 60000 metros
cúbicos, temos: t = 60000/90000 = 2/3 h = 40 minutos
10. (Fgv
2017) Como resultado de um processo ganho na
justiça, Hélio deveria ter recebido, no início de 2006, a quantia de R$4000,00
da empresa Alfa. No mesmo período (início de 2006), Hélio devia R$1000,00 em
sua fatura de cartão de crédito. Nenhuma dessas quantias foi quitada à época.
Para atualizar
(corrigir) valores monetários ao longo do tempo, pode-se utilizar o regime de
capitalização de juros compostos. É válida a seguinte relação matemática: M =
C.(1 + i)n, em que M é o montante; C é o capital; i é a taxa de juros e n é
o número de períodos de capitalização. Por exemplo, aplicando-se o capital de R$1000,00
à taxa de 5,00% ao mês, por um mês,
obtém-se o montante de R$1050,00.
A tabela abaixo
contém valores para o termo .(1 + i)n, para i e n selecionados.
Utilize as
informações do enunciado para responder às seguintes questões:
a) Suponha que a
taxa de juro utilizada para atualizar o valor que Hélio tem a receber da
empresa Alfa seja igual a 1,00% ao mês. Qual será o valor que a empresa Alfa
deverá pagar a Hélio no início de 2016, ou seja, após exatos 10 anos?
b) Suponha que a
taxa de juro utilizada para atualizar a dívida da fatura de cartão de crédito
seja igual a 4,00% ao mês. No início de 2016, ou seja, após exatos 10 anos, qual é o
valor atualizado dessa dívida de Hélio?
c) Suponha que
Hélio receba da empresa Alfa, no início de 2016, o valor devido. Quanto, no
máximo, poderia ter sido a dívida de Hélio em sua fatura de cartão de crédito,
em valores do início de 2006, de forma que ele pudesse quitá-la, no início de
2016, com o valor recebido da empresa Alfa?
Nota: taxa de juro utilizada para atualizar:
- o valor
recebido por Hélio da empresa Alfa: 1,00% ao mês.
- a dívida da
fatura de cartão de crédito: 4,00% ao mês.
Resposta da questão 10:
a) 4000.(1 + 1/10)120 = 4000 . 3,3004 = 13201,60
a) 4000.(1 + 1/10)120 = 4000 . 3,3004 = 13201,60
Resposta: R$ 13201,60
b) 1000.(1 + 4/10)120 = 1000 .
110,6626 = 110662,60
Resposta:
R$ 110662,60
c) Considerando que x seja o valor
pedido, temos:
x . (1 + 4/10)120 = 13201,60 → x . 110,6626 = 13201,60 → x = 119,30
Resposta:
R$ 119,30
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