QUESTÕES VESTIBULAR ESCOLA NAVAL 2017 – COMENTADAS.

1. (Esc. Naval 2017)  Seja f(x) = x + ln(x), x> 0. Sabendo que f admite função inversa g, calcule g"(1) e assinale a opção correta.

a) 1/2   

b) 1/4   

c) 1/6   

d) 1/8   

e) 1/10   

  

Resposta da questão 1:[D]

Se f(x) = x + ln x, x > 0, então f '(x) = (x)' + (ln x)' → f '(x) = 1 + 1/x

Se f '(x) = 1 + 1/x, então f "(x) = (1)'+ (1/x)'→ f "(x) = 0 + (1/x)' → f "(x) = -1/x²

Assim,

f(1) = 1 + ln1 → f(1) = 1; 

f '(1) = 1 + 1/1 → f '(1) = 2

f "(x) = - 1/1² → f "(x) = -1

Como g é inversa de f, g(f(x)) = x, então g'(f(x)) . f '(x) = (x)' →

g'(f(x)) . f '(x) = 1 (eq.I).

Da (eq. I), [g'(f(x))]' . f '(x) + g'(f (x)). [f '(x)]' = (1)' →

g''(x) . f '(x). f '(x) + g'(f (x)). f ''(x) = 0  (eq. II)

Das equações (I) e (II), g''(x) . f '(x). f '(x) + [1/f '(x)] .f ''(x) = 0 (eq. III)

Substituindo x = 1 na equação (III) → g''(1) . f '(1). f '(1) + [1/f '(1)] .f ''(1) = 0

g''(1) . 2 . 2 + 1/2 . (- 1) = 0 → 4g''(1) - 1/2  = 0 → 4g''(1) = 1/2 → g''(1) = 1/8

  

2. (Esc. Naval 2017)  Uma pirâmide triangular tem como base um triângulo de lados 13 cm, 14 cm e 15 cm; as outras arestas medem "l". Sabendo que o volume da pirâmide é de 105√22 cm³, o valor de "l", em cm, é igual a:

a) 155/8   

b) 335/11   

c) 275/9   

d) 205/8   

e) 95/8   

  

Resposta da questão 2:[A]

                                 

No triângulo ABC, 2p = 13 + 14 + 15 → 2p = 42 → p = 21.

S_ABC = √[21. (21 - 13).(21 - 14).(21 - 15)] = √(21.8.7.6) = 84 cm²

Por outro lado, Se S_ABC = 13.14.15/4r, então 84 = 13.14.15/4r →

4r = 13.14.15/84 → 4r = 13.5/2 → r = 65/8 cm.

Como o volume da pirâmide é 105√22 cm³, então 105√22 = 1/3 . 84 . h →

105√22 = 28h → h = (105√22)/28 → h = (15√22)/4 cm.

No triângulo VOC, l² = r² + h² → l² = (65/8)² + (15√22/4)² →

l² = (4225/64) + (4950/16) → l² = (4225 + 19800)/64 → l² = 24025/64 →

l = √(24025/64) → l = 155/8 cm

3. (Esc. Naval 2017)  Sejam A, B, C, D e X pontos do R³. Considere o tetraedro ABCD e a função real f, dada por f(x) = (x³ - 1)/(x - 4). Sabendo que o número real m é o valor para que X = A + m(AB/3 – AC + AD/2) pertença ao plano BCD, calcule f '(- m) e assinale a opção correta.

a) 1/2   

b) 1/3   

c) 1/4   

d) 1/5   

e) 1/6   

  

Resposta da questão 3:[C]

Vamos admitir que o tetraedro ABCD é regular.

Sem perda de generalidade, consideremos o tetraedro regular abaixo

                            

  

AB = (0, -3a, -3a√3) → AB/3 = (0, -3a, -3a√3)

AC = (0, 3a, -3a√3) → - AC/3 = (0, -3a, 3a√3)

AD = (3a√3, 0, -3a√3) → AD/2 = (3a√3/2, 0, - 3a√3/2)

AB/3- AC + AD/2 = (3a√3/2, - 4a, a√3/2)

A + m(AB/3- AC + AD/2) = (0, 3a, 3a√3) + (3am√3/2, - 4am, am√3/2)

Como X está no plano BCD, X(x, y, 0), ou seja, 3a√3 + am√3/2= 0

am√3/2 = - 3a√3 → m/2 = - 3 →  m = - 6.

Como  f(x) = (x³ - 1)/(x - 4), então f '(x) = [3x².(x - 4) - (x³ - 1).1]/(x - 4)² →

f '(x) = (3x³ – 12x² - x³ + 1)/(x - 4)² → f '(x) = (2x³ – 12x² + 1)/(x - 4)²

Como m = - 6, então f '( - m ) = f '(6) = (2.6³ – 12.6² + 1)/(6 - 4)² = 1/4

4. (Esc. Naval 2017)  Seja P(x, y) um ponto da elipse x²/a² + y²/b² = 1, de focos F₁ e F₂ e excentricidade "e". Calcule PF₁ . PF₂ e assinale a opção correta.

a) ex² + a(1 + 2e²)   

b) e²x² – a²(1 + e)      

c) e²x² + a²(1 - 2e)      

d) e²x - a(1 + e²)      

e) e²x² + a(1 - 2e²)      

  

Resposta da questão 4:[E]

Sendo F₁ (- c, 0), F₂ (c, 0) e P(x, y), então, PF₁ = (x + c, y) e PF₂ = (x - c, y)

O produto escalar PF₁ . PF₂ é dado por: PF₁ . PF₂ = (x + c).(x - c) + y.y →

PF₁ . PF₂ = x² – c² + y².

Da equação da elipse x²/a² + y²/b² = 1 → x²b² + y²a² = a²b² →

y²a² = a²b² – x²b² → y² = b²(a² – x²)/a² (eq. I)

Da elipse, a² = b² + c² (eq. II) ; e = c/a → c = e.a (eq. III)

Das equações (II) e (III) → a² = b² + (e.a)² → a² - e²a²= b² → a²(1 - e²) = b² →

b²/a² = 1 – e² (eq.IV)

Das equações (I) e (IV), y² = b²(a² – x²)/a² → y² = (1 – e²).(a² – x²) →

y² = a² – x² – e²a² + e²x² (eq. V)

Substituindo as equações (III) e (V) em PF₁ . PF₂ = x² – c² + y².

PF₁ . PF₂ = x² – e².a² + a² – x² – e²a² + e²x² → PF₁ . PF₂ =  – 2e².a² + a² + e²x²

PF₁ . PF₂ = e²x² + a²(1 – 2e²)

5. (Esc. Naval 2017)  Seja P(x) = x⁶ + bx⁵ + cx⁴ + dx³ + ex² + fx + g um polinômio de coeficientes inteiros e que P(√2 + ³√3) = 0. O polinômio R(x) é o resto da divisão de P(x) por x³ – 3x – 1. Determine a soma dos coeficientes de R(x) e assinale a opção correta.

a) - 51   

b) - 52   

c) - 53   

d) - 54   

e) - 55   

  

Resposta da questão 5:[E]

Como P(√2 + ³√3) = 0, então x = √2 + ³√3 é uma raiz de P(x).

Como x = √2 + ³√3, então x - √2 = ³√3 → (x - √2)³ = (³√3)³ →

x³ – 3.x².√2 + 3.x.(√2)² - (√2)³ = 3 → x³ – 3.x².√2 + 6x - 2√2 = 3 →

x³ + 6x – 3 = 3.x².√2 + 2√2 → x³ + 6x – 3 = √2(3x² + 2) →

[x³ + 6x – 3]² = [√2(3x² + 2)]² → x⁶ + 36x² + 9  + 12x⁴ – 6x³ – 36x = 2(3x² + 2)²

x⁶ + 36x² + 9  + 12x⁴ – 6x³ – 36x = 2 (9x⁴ + 12x² + 4) →

x⁶ + 36x² + 9  + 12x⁴ – 6x³ – 36x = 18x⁴ + 24x² + 8 →

x⁶ – 6x⁴ – 6x³ + 12x² – 36x + 1 = 0 →

Portanto P(x) = x⁶ – 6x⁴ – 6x³ + 12x² – 36x + 1 = 0.

Dividindo P(x) por x³ – 3x – 1, obtém-se quociente x³ – 3x - 5 e resto

R(x) = 3x² – 54x – 4, então a soma dos coeficientes de R(x) é – 55.  

6. (Esc. Naval 2017)  Se a = √(3 + √2)) e b = √(3 - √2)), k o determinante

da matriz A, sendo assim, é correto afirmar que o coeficiente de x^k-1 no

desenvolvimento (2x + 1/x²)³.(x² + 1/2x)³ é:

a) 21   

b) 22   

c) 23   

d) 24   

e) 25   

  

Resposta da questão 6:[D]

Do enunciado,

                               

                                      

Então, k = [√(3+√2).√(3-√2)]² → k = (3+√2).(3-√2) = 3² - (√2)² → k = 7

De (2x + 1/x²)³.(x² + 1/2x)³ = [(2x + 1/x²).(x² + 1/2x)]³ = [2x³ + 1 + 1 + 1/2x³]³ =

[2x³ + 2 + 1/2x³]³ = [(4x⁶ + 4x³ + 1)/2x³]³ = [(2x³ + 1)²/2x³]³ = (2x³ + 1)⁶/8x⁹ =

(2x³ + 1)⁶/2³x⁹ .

O termo geral de (2x³ + 1)⁶ é C_6,p . 2^{6 – p} . x^{18 – 3p}         

Assim, o termo geral do desenvolvimento de (2x³ + 1)⁶/2³x⁹ é:

C_6,p . 2^{6 – p} . x^{18 – 3p} . 1/2³.x⁹ = C_6,p . 2^{3 – p} . x^{9 – 3p} . Como k =7, queremos o

coeficiente de x⁶ logo, 9 – 3p = 6 → p = 1

Dessa forma, o coeficiente procurado é: C_6,1 . 2^{3 – 1} = 6!/1!.5! . 2² = 24

7. (Esc. Naval 2017)  Se A = lim_x→0(³√(x + 3)² - ³√9)/x,

B = lim_x→0(|x² - 2| - |x - 2|)/x  e C = lim_x→1(x - 1)⁹.sen[1/(x - 1)³],

então o valor de A^3B - C é igual a :

a) 8/3⁴   

b) 2/³√3⁴ - 1/3   

c) 64/3⁸   

d) 64/3⁸ - 1   

e) 8/3⁴ - 1/3   

Resposta da questão 7: [A]

                   

Para x → 0⁺,  B = lim_x→0+ [-x² + 2 - (-x + 2)]/x = lim_x→0+ (-x² + x)/x =

lim_x→0+ x(-x + 1)/x = lim_x→0+ (-x + 1) = 1

Para x → 0^-,  B = lim_x→0- [-x² + 2 - (-x + 2)]/x = lim_x→0- (-x² + x)/x =

lim_x→0- x(-x + 1)/x = lim_x→0- (-x + 1) = 1

Como lim_x→0+ = lim_x→0-, então B = 1

C = lim_x→1(x - 1)⁹.sen[1/(x - 1)³], como  – 1 ≤ sen[1/(x - 1)³] ≤ 1, então

(x - 1)⁹ . (-1) ≤ (x - 1)9 . sen[1/(x - 1)³] ≤ (x - 1)⁹ . 1 →

- (x - 1)⁹ ≤ (x - 1)9 . sen[1/(x - 1)³] ≤ (x - 1)⁹ →

Sendo lim_x→1 - (x - 1)⁹ = lim_x→1 (x - 1)⁹ = 0, e pelo Teorema do Confronto

C = lim_x→1(x - 1)⁹.sen[1/(x - 1)³] = 0 . sen[1/(x - 1)³] → C = 0

Assim, A^3B – C = (2/3³√3)^3.1 – 0 = 2³/3³.³√3³ = 8/3⁴

8. (Esc. Naval 2017)  Nas proposições abaixo, coloque V (verdadeiro) ou F (Falso) e assinale a opção que apresenta a sequência correta.

(     ) Existe pelo menos um a ɛ R e a ≠ 0, para que as curvas y = ax² e x² + 2y² = 1 não se interceptem ortogonalmente.

(     ) A negação da proposição (Ǝx ɛ A)(p(x)) → (Ɐx ɛ A)(~q(x)) é

        (Ǝx ɛ A)(p(x)) ʌ (Ǝx ɛ A)(q(x)).

(     ) Se ∫₀^π/2 1/(1 + senx) dx = M, então M² = 2.

(     ) Seja z um número complexo e i a unidade imaginária. Se z = |z|. ɛ^iƟ, então |ɛ^iz| = ɛ^{|z|sen Ɵ}.

a) (F) (V) (F) (F)   

b) (F) (F) (V) (V)   

c) (V) (F) (F) (V)   

d) (V) (V) (V) (F)    

e) (F) (V) (V) (F)   

  

Resposta da questão 8: [A]

Análise da primeira proposição

Seja P(x₀, y₀ ) um ponto comum às curvas y = ax² e x² + 2y² = 1.

r é a reta tangente à curva y = ax² no ponto P.

De y = ax² → y' = 2ax, então, o coeficiente angular de r no ponto P é

m_r = 2ax₀.

s é a reta tangente à curva x² + 2y² = 1 no ponto P.

De x² + 2y² = 1 → 2x + 4y.y' = 0 → y' = -x/2y.

Então, o coeficiente angular de s no ponto P é m_s = -x₀/2y₀

Como P é um ponto da curva y = ax², y₀ = ax₀², logo, a = y₀/x₀²

Dessa forma, m_r = 2. (y₀/x₀²).x₀ = 2y₀/x₀

Repare que: m_r . m_s = (2y₀/x₀).( -x₀/2y₀) = - 1

Portanto, r e s são sempre perpendiculares, ou seja, as curvas dadas são

ortogonais. Assim, a primeira proposição é falsa.

Análise da segunda proposição

Lembrando que ~ (p → q) é equivalente a p ʌ ~ q, temos que a negação de

(Ǝx ɛ A)(p(x)) → (Ɐx ɛ A)(~q(x)) é (Ǝx ɛ A)(p(x)) ʌ (Ǝx ɛ A)(q(x)).

Assim, a segunda proposição é verdadeira.

Análise da terceira proposição

M =  ∫₀^π/2 1/(1 + senx) dx = ∫₀^π/2 [1/(1 + senx)] . [(1 - senx)/(1 - senx)]dx =

∫₀^π/2  [(1 - senx)/(1 - sen²x)]dx = ∫₀^π/2  [(1 - senx)/cos²x]dx =

∫₀^π/2  [1/cos²x - senx/cos²x]dx = ∫₀^π/2  [sec²x – tgx.secx]dx 

M = (tgx - secx)|₀^π/2 = lim_x→π/2 (tgπ/2 - secπ/2) - (tg0 – sec0) = 1

                      

Então, M² = 1 ǂ 2. Assim, a terceira proposição é falsa.

Análise da quarta proposição

Tomando z = i, temos ϴ = π/2, |e^i.j| = |e^-1| = 1/e  ;  e^|i|.senπ/2 = e¹ = e .

 Então, |e^iz| ǂ e^|z|senϴ . Assim, a quarta proposição é falsa.  

9. (Esc. Naval 2017)  Analise as afirmativas abaixo.

I. Seja f derivável no intervalo "I", f é estritamente crescente em "I" se, e somente se f '(x) > 0 em "I".

II. Se f : A → B é periódica de período T, então qualquer número da forma kT com k inteiro positivo, também é um período de f.

III. Toda função contínua é derivável.

IV. Se uma função f : A → B é estritamente crescente ou decrescente em um conjunto x está contido em A, então ela é sobrejetiva em tal conjunto.

V. Sejam f e g duas funções continuamente deriváveis que satisfazem as relações f '(x) = g(x) e f "(x) = - f(x). Seja h(x) = f ²(x) + g²(x), se h(0) = 5, então h(10) = 5.

Assinale a opção correta.

a) Apenas as afirmativas I, II e IV são verdadeiras.   

b) Apenas as afirmativas II, III, IV e V são verdadeiras.    

c) Apenas as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.   

d) Apenas as afirmativas III e V são verdadeiras.   

e) Apenas as afirmativas II e V são verdadeiras.   

  

Resposta da questão 9:[E]

Análise da afirmação [I]

Tomemos f : I → R, f(x) = x³, onde I = [0, 3].

 f é derivável, logo é derivável no intervalo I.

 f é estritamente crescente, logo é crescente no intervalo I.

 f '(x) = 3x² → f '(0) = 3.0² → f '(0) = 3.0 = 0

 Assim, a afirmação [I] é falsa.

Análise da afirmação [II]

Como f é uma função periódica de período T.

f(x) = f(x + T), Ɐx ε A

É possível mostrar, por indução finita, que qualquer número da forma kT,

com k inteiro positivo, também é um período de f.

Assim, a afirmação [II] é verdadeira.

Análise da afirmação [III]

Tomemos f : R → R, f(x) = |x|, f é contínua.

Notemos que:

lim_x→0+ [f(x) - f(0)]/(x - 0) = 1  e  lim_x→0- [f(x) - f(0)]/(x - 0) = -1  

Como os limites laterais são diferentes, então  não é derivável em x = 0.

Portanto, a afirmação [III] é falsa.

Análise da afirmação [IV]

Seja f : R → R, f(x) = x².

Tomemos  X = [0, 2], logo, X esta contido em A, então f  é estritamente

crescente em X.

Im_f = [0, 4] ǂ B, logo, f não é sobrejetiva em X.

Assim, a afirmação [IV] é falsa.

Análise da afirmação [V]

De h(x) = f²(x) + g²(x) → h'(x) = [f '(x).f(x) + f (x).f '(x)] + [g'(x).g(x) + f(x).g'(x)] 

h'(x) = 2f '(x).f(x) + 2g'(x).g(x) (eq. I).

De f '(x) = g(x) e f "(x) = g'(x), como f "(x) = - f(x) e f "(x) = g'(x), então

g'(x) = - f(x)  (eq. II).

Das equações I, II e f '(x) = g(x), h'(x) = 2g(x).f(x) + 2(-f(x).g(x) = 0

Como h'(x) = 0, então h(x) = c, onde c é uma constante real.

Assim, como h(0) = 5, h(x) = 5. Portanto h(10) = 5.

Então, a afirmação [V] é verdadeira.  

10. (Esc. Naval 2017)  A Imagem de f : R → R, dada por f(x) = 2cos²x + sen2x – 1, é [a, b]. Seja π o plano que passa pelo ponto A(9, -1, 0) e é paralelo aos vetores u = (0, 1, 0) e v = (1, 1, 1). Calcule a menor distância do ponto P(b/a , a, 1) ao plano π e assinale a opção correta.

a) 7√2   

b) 5√2   

c) (9√3)/4   

d) (11√2)/2   

e) 4√3   

  

Resposta da questão 10: [D]

f(x) = 2cos²x + sen2x – 1 → f(x) = 2cos²x + sen2x – sen²x – cos²x →

f(x) = sen2x + cos²x – sen²x  → f(x) = sen2x + cos2x  (÷√2 ) →

f(x)/√2 = sen2x . √2/2 + cos2x . √2/2 →

f(x)/√2 = sen2x . cos π/4 + cos2x . senπ/4 → f(x)/√2 = sen(2x + π/4)  →

f(x) = √2sen(2x + π/4), como – 1 ≤ sen(2x + π/4) ≤ 1 (.√2) →

– √2 ≤ √2sen(2x + π/4) ≤ √2 → – √2 ≤ f(x) ≤ √2 .

Então, a = - √2 e b = √2 , o que nos dá P(- 1, - √2, 1).

Como os vetores u e v são linearmente independentes, eles formam um

par de vetores diretores de π.

Seja X = (x, y, z), então AX = (x - 9, y + 1, z). Como  A ε π, (AX, u, v) é uma

tripla de vetores linearmente dependentes, portanto,

| x – 9     y + 1     z |

|    0           1        0 |   =    0.

|    1           1        1 |

Desenvolvendo o determinante acima, obtemos a equação do plano π,

que é dada por: x – z – 9 = 0.

Dessa maneira, a menor distância do ponto P ao plano π é dada por:

d_P,π = |1.(- 1) + 0.(- √2) + (- 1). 1 + (- 9)|/√[1² + 0² + (-1)²] = 11/√2 = 11√2/2.

  

11. (Esc. Naval 2017)  A é um conjunto com n elementos e B é seu subconjunto com p elementos, com n > p e n, p ε N. Determine o número de conjuntos X tais que B  está contido em X que por sua vez está contido em A e assinale a opção correta.

a) 2^{n - p}   

b) 2^{n – p + 1}      

c) 2^{n + p}      

d) 2^{n + p-1}     

e) 2^{n – p-1}      

  

Resposta da questão 11:[A]

Do enunciado, temos:

A = { x₁, x₂, x₃,..., x_p-1, x_p, ..., x_n }

B = { x₁, x₂, x₃,..., x_p }

X = { x₁, x₂, x₃,..., x_p, .................. }

                                  _{(n - p) elementos}

Cada um dos (n - p) elementos podem pertencer ou não ao conjunto X,

assim, pelo princípio da multiplicação, há 2^(n-p) possibilidades para montar

o conjunto X.  

12. (Esc. Naval 2017)  Sejam g e f funções reais, determine a área da região limitada pelo eixo y, por g(x) = - |x - 3| + 4 e pela assíntota de f(x) = ³√(x³-x²) e assinale a opção correta.

a) 13/4   

b) 40/9   

c) 7   

d) 81/16   

e) 9   

  

Resposta da questão 12: [B]

De g(x) = - |x - 3| + 4,

                                           3              

                         ────────────────   

             |x - 3|      - x + 3     |      x - 3         

                         ────────────────

           - |x - 3|        x – 3     |    - x + 3

                         ────────────────

     - |x - 3| + 4        x + 1     |     - x + 7

                         ────────────────

Então, g(x) = x + 1 se x < 3 ou g(x) = - x + 7 se x ≥ 3

De f(x) = ³√(x³ – x²) , temos que sua assíntota é dada por y = ax + b, de tal

modo que:

a = lim f(x)/x ou a = lim f(x)/x ou b = lim [f(x) - ax] ou  b = lim [f(x) - ax]

      x→∞                   x→-∞                  x→∞                           x→-∞

     

De f(x) = ³√(x³ – x²),

 [f(x)]/x = [³√(x³ – x²)]/x = [³√x³.(1-1/x)]/x= [x.³√(1-1/x)]/x = ³√(1-1/x)

 lim f(x)/x = lim ³√(1-1/x) = 1  e   lim f(x)/x = lim ³√(1-1/x) = 1 .

 x→∞          x→∞                         x→- ∞        x→ - ∞        

Assim, a = 1.

Com a = 1, temos: f(x) – ax = ³√(x³ – x²) – x = [³√x³.(1-1/x)] – x =

= [x³√(1-1/x]– x = x[³√(1-1/x) – 1] → f(x) – ax = [³√(1-1/x) – 1]/(1/x)

Portanto lim f(x) – ax = lim [³√(1-1/x) – 1]/(1/x) = 0/0

               x→∞                x→∞

Como houve uma indeterminação do tipo 0/0, vamos usar a Primeira

Regra de L’ Hospital.

Fazendo 1/x = u, lim [³√(1-u) – 1]/u = lim [1/3(1-u)^-2/3. (-1)]/1 = -1/3

                            u→0⁺                         u→0⁺             

                                 

Assim, b = -1/3

Dessa forma, a assíntota de f(x) = ³√(x³ – x²) é y = x - 1/3.

                     

As retas y = - x + 7 e y = x - 1/3 são perpendiculares, assim como as retas

y = - x + 7 e y = x + 1.

B é ponto de intersecção das retas y = - x + 7 e y = x - 1/3 → B(11/3, 10/3).

A área do trapézio ABCD é dada por:

1/2 . [(√(3-0)²+(4-1)²) + (√(11/3-0)²+(10/3+1/3)²)].[√((11/3-3)²+(10/3-4)²)] = 40/9

  

13. (Esc. Naval 2017)  Calcule o número de soluções inteiras não negativas de x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆ = 20, nas quais pelo menos 3 incógnitas são nulas, e assinale a opção correta.

a) 3332   

b) 3420   

c) 3543   

d) 3678   

e) 3711   

Resposta da questão 13:[E]

Do enunciado, devemos ter as seguintes situações:

3 incógnitas nulas ou 4 incógnitas nulas ou 5 incógnitas nulas.

Com 3 incógnitas nulas

C_6,3 = 6!/3!3! = 20 é o total de maneiras de escolher as três incógnitas

nulas.

Analisemos o caso em que x₁ = x₂ = x₃ = 0. Assim, queremos encontrar o

total de soluções inteiras não negativas e não nulas da equação  x₄ + x₅ +

x₆ = 20.

Assim, podemos escrever: x₄ = a + 1, x₅ = b + 1 e x₆ = c + 1.

Então, a + 1 + b + 1 + c + 1 = 20 → a + b + c = 17

O total de soluções inteiras não negativas da equação a + b + c = 17

é: P₁₉^2,17 = 19!/2!17! = 19.18.17!/2!17! = 171

Logo, pelo princípio da multiplicação, há 20.171 = 3420 soluções para a

equação x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆ = 20 na qual 3 incógnitas são nulas.

Com 4 incógnitas nulas

C_6,4 = 6!/4!2! = 6!/4!2! = 15 é o total de maneiras de escolher as quatro

incógnitas nulas.

Analisemos o caso em que x₁ = x₂ = x₃ = x₄ = 0 . Assim, queremos

encontrar o total de soluções inteiras não negativas e não nulas da

equação x₅ + x₆ = 20.

Assim, podemos escrever: x₅ = d + 1 e x₆ = e + 1

Então, d + 1 + e + 1 = 20 → d + e = 18

O total de soluções inteiras não negativas da equação d + e = 18, é:

P₁₉¹⁸ = 19!/18! = 19.18!/18! = 19.

Logo, pelo princípio da multiplicação, há 15.19 = 285 soluções para a

equação x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆ = 20 na qual 4 incógnitas são nulas.

Com 5 incógnitas nulas

C_6,5 = 6!/!1! = 6 é o total de maneiras de escolher as quatro incógnitas

nulas.

Analisemos o caso em que x₁ = x₂ = x₃ = x₄ = x₅ = 0. Assim, queremos

encontrar o total de soluções inteiras não negativas e não nulas da

equação x₆ = 20.

Só há uma solução para esse caso.

Logo, pelo princípio da multiplicação, há 6.1 = 6 soluções para a equação

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆ = 20 na qual 5 incógnitas são nulas.

Portanto, o total de soluções inteiras não negativas de x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅

+ x₆ = 20, nas quais pelo menos 3 incógnitas são nulas é 3420 + 285 + 6 =

3711.

  
14. (Esc. Naval 2017)  Um exame de laboratório tem eficiência de 90% para detectar uma doença quando essa doença existe de fato. Entretanto, o teste aponta um resultado “falso positivo” (o resultado indica doença, mas ela não existe) para 1% das pessoas sadias testadas. Se 1,5% da população tem a doenças, qual a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que seu exame foi positivo?

a) 95/294   

b) 160/433   

c) 270/467   

d) 75/204   

e) 73/255   

  

Resposta da questão 14:[C]

Sendo P o total de pessoas da população, temos:

Pessoas sadias que são consideradas doentes: 1/100 . 98,5/100 . P

Pessoas doentes que são consideradas doentes: 90/100 . 1,5/100 . P

Assim, a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que o exame

apontou positivo é:

(90/100 . 1,5/100 . P)/ (1/100 . 98,5/100 . P + 90/100 . 1,5/100 . P) = 270/467

15. (Esc. Naval 2017)  Uma partícula se desloca da direita para a esquerda ao longo de uma parábola y = √-x, de modo que a sua coordenada x (medida em metros) diminua a uma velocidade de 8 m/s. É correto afirmar que a taxa de variação do ângulo de inclinação Ɵ em rad/s, da reta que liga a partícula à origem, quando x = - 4, vale :

a) 3/2   

b) 2/5   

c) 3/4   

d) 1/5   

e) 4/3   

  

Resposta da questão 15:[B]

Do enunciado, temos:

                         

Das equações (i) e (ii), x = - (x.tgƟ)² → x = - x².tg²Ɵ → 1 = - x.tg²Ɵ →

1 + x.tg²Ɵ = 0.

Daí, d(1 + x.tg²Ɵ)/dt = d0/dt → 2tgƟsec²Ɵ d0/dt . x + tg² Ɵ dx/dt = 0

Do enunciado, dx/dt  = - 8.

Para x = - 4, tg Ɵ = -1/2 e sec²Ɵ = 5/4

Assim, 2.(- 1/2).(5/4) d0/dt . (- 4) + (- 1/2)². (- 8) = 0 → 5 d0/dt – 2 = 0 →

d0/dt = 2/5.

16. (Esc. Naval 2017)  A figura abaixo mostra o esboço do gráfico que representa a função real f, Ɐx ɛ ]a, b[

                                    

Assinale a opção que melhor representa o esboço do gráfico de   f ', Ɐx ɛ ]a, b[

   

  

Resposta da questão 16:[E]

Note que no intervalo ]a, b[, f apresenta 2 pontos de máximo local e 1

ponto de mínimo local.

Sejam x₁ a abscissa do ponto de máximo local, tal que a < x₁ < 0, x₂ a

abscissa do ponto de mínimo local, tal que x₁ < x₂ < 0 e x₃ a abscissa do

ponto de máximo local, tal que 0 < x₃ < b.

Assim, devemos ter:

f '(x₁) = f '(x₂) = f '(x₃) = 0, ou seja, x₁.x₂ e x₃ são raízes da derivada de f, o

que quer dizer que o gráfico da derivada de f deve cortar o eixo x nos

pontos x₁, x₂ e x₃, logo, a opção que melhor representa o gráfico da

derivada de f é o da alternativa [E].  

17. (Esc. Naval 2017)  Sejam f e g funções reais dadas por                            

          f(x) = 1/(1 – cosx + senx) e g(x) = (1 + tgx)/(1 - tgx)

Calcule o valor da integral ʃ_a^b f(x)dx, em que a = P/4, b = P/2, e P é o

período da função g e marque a opção correta.

a) ln[(4 - 2√2)/3]   

b) ln[(2 + √2)/2]   

c) ln(√5 - √3)   

d) ln[(2 - √3)/4]   

e) ln(2√3 + √2)   

  

Resposta da questão 17:[B]

De g(x) = (1 + tgx)/(1 - tgx) → g(x) = (tgπ/4 + tgx)/(1 - tgπ/4 . tgx) →  

g(x) = tg(x + π/4) →  P = π.

Então, a = π/4 e b = π/2

Note que: 1 + tg²(x/2) = 1 + [sen²(x/2)/cos²(x/2)] =

[cos²(x/2) + sen²(x/2)]/ cos²(x/2) → 1 + tg²(x/2) = 1/ cos²(x/2) (eq. I)

1 - tg²(x/2) = 1 - [sen²(x/2)/cos²(x/2)] =

[cos²(x/2) - sen²(x/2)]/ cos²(x/2) → 1 - tg²(x/2) = cosx/ cos²(x/2) (eq. II)

Das equações, vamos dividir (I) por (II) :

[1 + tg²(x/2)] / [1 - tg²(x/2)] = [1/ cos²(x/2)] / [cosx/ cos²(x/2)]

[1 + tg²(x/2)] / [1 - tg²(x/2)] = [1/ cosx] → cosx = [1 - tg²(x/2)] / [1 + tg²(x/2)]

Como tgx = senx/cosx e tgx = 2tg(x/2)/[1-tg²(x/2)], então

senx/cosx = 2tg(x/2)/[1-tg²(x/2)] → senx = [2tg(x/2)]/[1-tg²(x/2)].cosx →

Mas cosx = [1 - tg²(x/2)] / [1 + tg²(x/2)], logo, senx = [2tg(x/2)]/[1+tg²(x/2)].

Fazendo tg (x/2) = u, arctg u = x/2 → 2arctg u = x → dx/du = 2/(1 + u²) →

dx = [2/(1 + u²)]du.

Como cosx = (1 – u²)/(1 + u²) e senx = 2u/(1 + u²) então

1 – cosx + senx = 2u(u + 1)/(1 + u²) e 1/(1 – cosx + senx) = (1+u²)/2u(u+1)

   

tgπ/4 = (2tgπ/8)/(1 – tg²π/8) → (1 – tg²π/8) = 2tgπ/8 →

tg²π/8 + 2tgπ/8 – 1 = 0 → tgπ/8 = √2 - 1

Então, ʃ_a^b f(x)dx = ln1/2 = ln(2-√2)/2 = ln(2 +√2)/2

18. (Esc. Naval 2017)  Determine o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os pontos (x, y), tais que  0 ≤ x ≤ 2, y ≥ √(x - 1) e 0 ≤ y ≤ x². A seguir, assinale a opção correta.

a) 28π/15   

b) 88π/15   

c) 108π/15   

d) 118π/15   

e) 188π/15   

  

Resposta da questão 18:[B]

Do enunciado, temos:

       

V₁ : Volume do cilindro reto de raio da base medindo 2 e altura medindo 4.

V₂ : Volume do sólido gerado pela rotação da parábola y = x² em torno do eixo y.

V₃ : Volume do cilindro reto de raio da base medindo 2 e altura medindo 1.

V₄ : Volume do sólido gerado pela rotação de y = √(x-1) em torno do eixo y.

O volume pedido é dado por: V = V₁ – V₂ – (V₃ – V₄)

V₁ = π.2².4 = 16π 

V₂ = 2πʃ₀²x.x²dx = 2πx⁴/4|₀² = 2π.(2⁴/4 – 0⁴/4) = 8π

V₃ = π.2².1 = 4π

De y = √(x-1) → x = y² + 1 → V₄ = π∫₀¹(y²+1)²dy = π∫₀¹(y⁴+2y²+1)²dy =

V₄ = π(y⁵/5 +2y³/3+y)|₀¹ = π[(1⁵/5 +2.1³/3+1) - (0⁵/5 +2.0³/3+0)] = 28π/15

Assim, V = V₁ – V₂ – (V₃ – V₄) = 16π - 8π = (4π - 28π/15) → V = 88π/15

19. (Esc. Naval 2017)  Chama-se conjunto-verdade de uma sentença aberta p(x) em um conjunto A o conjunto de todos os elementos a ɛ A, tais que p(a) é uma proposição verdadeira (V). Sejam p(x), q(x) e r(x) sentenças abertas em um mesmo conjunto A. Encontre o conjunto-verdade da sentença aberta composta (p(x) → q(x)) ˅ ~ r(x), em função de V_p, V_q e V_r , assinale a opção correta.

a) C_AV_P  U (Vq U C_AV_r)   

b) V_r  ∩ (C_AVq U C_AV_p)      

c) C_AV_q  U (Vp ∩ C_AV_r)      

d) C_AV_r  U (Vq ∩ C_AV_p)      

e) V_P  ∩ (C_AVq U C_AV_r)      

  

Resposta da questão 19:[A]

Vamos usar a notação C_AB para representar o conjunto complementar de

B em A.

Sendo V₁ o conjunto verdade de p(x) → q(x), temos:

V₁ = C_A(C_AV_q Ո V_p) = V_q U C_AV_p

Para ~ r(x), temos: ~ r(x) = C_AV_r

Assim, o conjunto verdade de (p(x) → q(x)) ˅ ~ r(x) é dado por:

V₁ U C_AV_r  = V_q U C_AV_p U C_AV_r = C_AV_p U (Vq U C_AV_r)

  

20. (Esc. Naval 2017)  Seja z um número complexo e i a unidade imaginária. Determine z de forma que o triângulo de vértices i, z e iz seja equilátero e assinale a opção correta.

Resposta da questão 20: [D]

Sendo z = (x, y), iz = (-y, x).

Os vértices do triângulo equilátero são: A(0, 1); B(x, y) e C(-y, x).

Então, |AB| = |AC| = |BC| → |AB|² = |AC|² = |BC|² →

(x - 0)² + (y - 1)² = (- y - 0)² + (x - 1)² = (- y - x)² + (x - y)²

x² + (y - 1)² = y² + (x - 1)² = (y + x)² + (y - x)²

Das igualdades acima, x² + (y - 1)² = y² + (x - 1)² → x = y (eq.I)

Mais uma vez das igualdades acima, y² + (x - 1)² = (y + x)² + (y - x)²

x² + 2x – 1 + y² = 0 (eq.II)

Substituindo eq.I em eq. II, x² + 2x – 1 + x² = 0 → x = (- 1 ± √3)/2   

Dessa maneira, z = ( - 1 - √3)/2 =  [(√6 + √2) e^5πi/4]/2

ou z = ( - 1 + √3)/2 =  [(√6 - √2) e^πi/4]/2