1. O polinômio p(x) =x4-9x3+26x2-34x +20 admite uma raiz igual a (1 -i ).
A maior raiz real desse polinômio é :
(A) 10
(B) 1
(C) 5
(D) 2
(E) 4
Vejamos :
Segundo as relações de Girard, em uma equação polinomial
definida no
campo dos complexos, do tipo ax4 + bx3 +
cx2 + dx + e = 0 :
● se (a + bi) for solução, então seu conjugado (a – bi) também
será, ou
seja se x' = (1 – i) é solução, então x'' = (1 + i) também será.
● A soma das raízes é igual a (- b/a) → x' + x" + x"'
+ x"" = - b/a →
(1 – i) + (1 + i) + x"' + x"" = - (- 9)/1 → 2 +
x"' + x"" = 9 → x"'
+ x"" = 7
● O produto das raízes é igual a (e/a) → x' . x". x"'. x"" = e/a →
(1 – i).(1 + i).x"'.x"" = 20/1 → (1 – i2).x"'.x""
= 20 → 2x"'.x"" = 20 →
x"'.x""
= 10.
Resolvendo o sistema x"' + x"" = 7 e x"'. x"" = 10 → x"' = 2 e
x"" = 5.
Portanto
a maior raíz real é 5.
2. Um hospital dispõe de 6
medicamentos que combatem o vírus do tipo A e de 4 medicamentos que combatem o
vírus do tipo B. Todos esses 10 medicamentos são diferentes e combatem apenas
um tipo de vírus. O hospital montará um coquetel de combate viral pela formação
de um con-
junto de 4 medicamentos diferentes,
escolhidos dentre os 10 disponíveis, considerada a restrição de que dois deles
devem combater o vírus do tipo A, e os outros dois devem combater o vírus do
tipo B. Dois coquetéis de combate viral terão sido montados da mesma forma
quando, e apenas
quando, os dois conjuntos formados
forem iguais. De quantas formas diferentes o hospital pode montar um coquetel
de combate viral?
(A) 21
(B) 5040
(C) 90
(D) 360
(E) 210
Vejamos :
Sendo 6 medicamentos que combatem o
vírus do tipo A e de 4 que
combatem o vírus do tipo B.
Sendo 4 medicamentos diferentes, dois
deles devem combater o vírus do
tipo A, e os outros dois devem
combater o vírus do tipo B → C6,2 . C4,2 =
(6!/4!2!).(4!/2!.2!) =
(6.5.4!/4!2!).(4.3.2!/2!.2!) = (6.5/2).(4.3/2) = 15.6 = 90
Portanto o hospital pode montar 90 coquetéis
diferentes.
3. Usando os vértices A, C, H e F do
cubo ABCDEFGH constrói-se o tetraedro regular, mostrado na Figura a seguir.
Qual a razão entre a área total do
cubo e a área total do tetraedro?
(A) 2√3
(B) √2
(C) 2√2
(D) √3
(E) √6/3
Vejamos :
Admitindo "a" como aresta
do cubo, sua área total será ACUBO = 6a2
Observando o tetraedro regular,
notamos que sua aresta é igual à
diagonal de uma das faces do cubo, d
= a√2.
Como a área de um tetraedro regular é
igual a 4 triangulos equiláteros,
então ATETRAEDRO = 4.d2.√3/4
= 4.(a√2)2.√3/4 = 4.a2.2.√3/4 = 2√3a2 .
Portanto razão entre a área total do
cubo e a área total do tetraedro, é
igual a (6a2)/(2√3a2)
= 6/2√3 = 3/√3 = √3
4. Sejam f: R → Re g: R→ R as funções
definidas algebricamente por f(x) = 3x + 5 e g(x) = (x + 1)2. A
função h: R→ R, dada por h(x) = g(f(x)), é definida
algebricamente por :
(A) h(x) = 6x + 12
(B) h(x) = 9x2 + 36x + 36
(C) h(x) = 9x2 + 36
(D) h(x) = 9x2 + 30x + 26
(E) h(x) = 3x2 + 6x + 6
Vejamos :
Sendo h(x) = g(f(x)), então h(x) = (3x
+ 5 + 1)2 = (3x + 6)2 = 9x2
+ 36x + 36
5. Considere que soro glicosado n% é uma solução de água destilada com
glicose que contém, em cada 100 mililitros, n gramas de glicose. Em um
recipiente vazio, foram colocados 400 ml de soro glicosado 5% e, em seguida,
certa quantidade de soro glicosado 20%. A mistura obtida foi soro glicosado
10%. Quantos mililitros de soro glicosado 10% foram obtidos?
(A) 600
(B) 415
(C) 480
(D) 450
(E) 460
Vejamos :
Soro glicosado n% é uma solução de
água destilada com glicose que
contém, em cada 100 ml, "n"
gramas de glicose.
Em um recipiente vazio, foram colocados
400 ml de soro glicosado 5%
(400 ml água destilada, 5g de glicose)
+ certa quantidade de soro
glicosado 20% (20 g de glicose).
Se a mistura contém 400 ml + 25 g de
glicose gerou uma mistura a
10%, então através da regra de três simples
e inversa, vem :
↓
400 ml → ↑ 25 g
400 + x → 10 g
400/(400 + x) = 10/25 → 10(400 + x) =
400.25 → 4000 + 10x = 10000 →
10x = 10000 – 4000 → 10x = 6000 → x = 600 ml
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