TREINAMENTO FUVEST 2017 (Simulado SAS)

1. Em um grupo de estudantes, alguns conseguem se comunicar apenas em espanhol, outros apenas em inglês, e o restante do grupo consegue se comunicar em ambas as línguas.

Sabe-se que:

● 40 alunos podem se comunicar somente em espanhol;

● 40 estudantes homens e 50 estudantes mulheres conseguem se comunicar em espanhol;

● 50 estudantes homens e 60 estudantes mulheres conseguem se comunicar em inglês.

Com base nas informações apresentadas, quantos estudantes conseguem se comunicar somente em inglês?

a) 45

b) 50

c) 55

d) 60

e) 65

2. Se z é um número não real tal que z² + z + 1 = 0, então o valor numérico da soma  (z + 1/z) + (z³ + 1/z³) é :

a) –2.

b) –1.

c) 0.

d) 1.

e) 2.

3. Seja (a₁, a₂, a₃, ...) uma progressão aritmética de termos positivos.

Se (a₁ + a₂ + ... + a_p)/(a₁ + a₂ + ... + a_q) = p²/q² com p ≠ q, então a₆/a₂₁ é igual a :

a) 11/41

b) 2/7

c) 30/11

d) 7/2

e) 41/11

4. Na figura a seguir, ABCD é uma região quadrada, e M é o ponto médio do lado DC.

A medida do lado do quadrado ABCD em função de α, para que a distância EA seja igual a 2 metros, é :

a) 4tgα/(2 - tgα)

b) 2tgα/(2 - tgα)

c) 3 tg α

d) 4 tg α

e) tg α

5. O número de anagramas da palavra BANANA em que as duas letras N aparecem separadas é :

a) 80.

b) 70.

c) 60.

d) 50.

e) 40.

6. Se a, b, c, d são números positivos tais que a + b + c + d = 2, então                          M = (a + b) · (c + d) satisfaz a relação :

a) 0 < M ≤ 1.

b) 1 < M ≤ 2.

c) 2 < M < 3.

d) 3 ≤ M < 4.

e) 4 ≤ M < 5.

7. Um problema de Matemática é apresentado a três estudantes, Pedro, Mariana e Leo, e as respectivas probabilidades de cada um resolvê-lo são 1/2 , 1/3 e 1/4 . Qual a probabilidade de o problema ser resolvido?

a) 1/2

b) 1/3

c) 2/3

d) 2/5

e) 3/4

8. Sabendo que ƒ: [- π/4, π/4], R é a função definida pelo determinante

                                 2sen x    3cos x    4cos x

                     ƒx) =    2cos x    3sen x    4cos x

                                  2cos x   3cos x    4sen x  

determine o número real α tal que ƒ(α) = 0.

a) −π/4

b) −π/6

c) 0

d) π/6

e) π/4

9. Se A = {(x, y) ∈ R² | x² + y² = 25} e B = {(x, y) ∈ R² | x² + 9y² = 144}, então o número de elementos de A ∩ B é igual a :

a) 0.

b) 1.

c) 2.

d) 3.

e) 4.

10. Um grupo de micróbios desenvolve-se tão rapidamente que, a cada hora, o seu volume aumenta em 50%. Quantas horas, aproximadamente, serão necessárias para que o seu volume seja 40 vezes maior que o volume inicial? (Note e adote: log 2 = 0,30103 log 3 = 0,47712)

a) 9

b) 8

c) 7

d) 6

e) 5

GABARITO COMENTADO

1. Com as informações dadas no enunciado, constrói-se a tabela a seguir

                                            Homens         Mulheres

          Somente espanhol :           a                        b

          Somente inglês :                c                        d

          Espanhol e Inglês :            e                         f

Diante disso:

a + b = 40

a + e = 40 ɛ b + f = 50 → a + b + e + f = 90 → 40 + e + f = 90 → e + f = 50

c + e = 50 ɛ  d + f = 60→c + d + e + f = 110 →c + d + 50 = 110 →c + d = 60

Portanto, a quantidade de alunos que se comunicam somente em

inglês é c + d = 60. (Resposta correta: D)

2. Diante do exposto no enunciado, tem-se: z² + z + 1 = 0 ⇒ z² + 1 = –z

Dividindo ambos os membros por z, obtém-se: z + 1/z = - 1   ɛ

Multiplicando ambos os membros por z, obtém-se: z³ + z² + z = 0 →

z³ - 1= 0 → z³ = 1 → 1/z³ = 1 → z³ + 1/z³ = 2.  

     Portanto: (z + 1/z) + (z³ + 1/z³) = - 1 + 2 = 1. (Resposta correta: D)

3. Diante do exposto, para p = 6 e q = 21:

 (a₁ + a₂ + ... + a₆)/(a₁ + a₂ + ... + a₂₁) = 6²/21²

  [(a₁ + a₆).6/2]/[(a₁ + a₂₁).21/2] = 6²/21² →

[(a₁ + a₆).6]/[(a₁ + a₂₁).21]= 6²/21² → (a₁ + a₆)/(a₁ + a₂₁)= 6/21 = 2/7

    Sabe-se que a₆ = a₁ + 5r e a₂₁ = a₁ + 20r, em que r é a razão da P.A.

Por substituição, encontra-se: (a₁ + a₁ + 5r)/(a₁ + a₁ + 20r) = 2/7

(2a₁ + 5r)/(2a₁ + 20r) = 2/7 → 14a₁ + 35r = 4a₁ + 40r  → 10a₁ = 5r

     Portanto a₆/a₂₁ = (a₁ + 5r)/( a₁ + 20r) = (a₁ + 10a₁)/( a₁ + 40a₁) = 11/41.

     (Resposta correta: A)

     4. Da figura, tem-se:

      ∆EFM → tgα = 2a/(a + 2) → (a + 2).tgα = 2a → atgα + 2tgα = 2a

      Então: 2tg α = 2a – atg α → 2tg α = a(2 – tg α) → a = 2tgα/(2 - tgα)

      Portanto o lado do quadrado é 2a → 4tgα/(2 - tgα)

      (Resposta correta: A)

      5. Número de arranjos da palavra banana: P₆²³ = 6!/2!3! = 60

        

      Número de arranjos da palavra BANANA com as letras N juntas:

         

      P₅³ = 5!/3! = 20

       Portanto, o número de anagramas da palavra BANANA em que as

  

       letras N aparecem separadas é: 60 – 20 = 40.

       (Resposta correta: E)

    

      6. De acordo com o enunciado, fazendo x = a + b e y = c + d, segue  

      que x + y = 2 e M = x · y.

    

       Assim: M = x(2 – x) = –x² + 2x (parábola com concavidade para  

 

       baixo). Então, o maior valor de M é dado por: M_máx = - ∆/4a →

       M_máx = - [2² – 4.(-1).0]/4.(-1) = -4/(-4) = 1.

       Como a, b, c e d são positivos, é possível concluir que M ∈ (0, 1].

       (Resposta correta: A)

   7. De acordo com o texto, tem-se:

   Probabilidade de acerto dos estudantes:

        Pedro = P(E₁) = 1/2

        Mariana = P(E₂) = 1/3

        Leo = P(E₃) = 1/4

   Probabilidade de erro dos estudantes:

        Pedro = P'(E₁) = 1 - 1/2 = ½

        Mariana = P'(E₂) = 1 - 1/3 = 2/3  

        Leo = P'(E₃) = 1 - 1/4 = 3/4  

   Então, a probabilidade de o problema ser resolvido é dada por:

   P(E₁ U E₂ U E₃) = 1 - P'(E₁ Ո E₂ Ո E₃) = 1 - 1/2.2/3.3/4 = 3/4

       (Resposta correta: E)

   8. Do enunciado, tem-se:

                               2sen α    3cos α    4cos α                 2a     3b     4b

                  ƒ(α) =   2cos α    3sen α    4cos α  → f(α) =  2b     3a     4b

                               2cos α    3cos α    4sen α                 2b     3b     4a

                                                                                                         a    b    b                     

                   em que a = sen α e b = cos α. Entao :  f(α) =  2.3.4  b    a    b

                                                                                                    b    b    a

                                a    b    b

                   f(α) = 24.   b    a    b   

                                b    b    a

                   

        Multiplicando-se a 1^a coluna por (–1) e somando-a à 2^a e à 3^a  

                  

        colunas, encontra-se um determinante equivalente:

                                     a   (b-a)   (b-a)                               a    1   1

                    f(α) = 24   b   (a-b)     0       = 24.(b-a).(b-a).  b   -1   0

                                     b     0       (a-b)                               b    0  -1

    f(α) = 24.(b-a).(b-a).(a+2b). Como ƒ(α) = 0, tem-se:

    b = 0 ou a = –2b ⇒ tg α = 1 ou tg α = –2.

   Assim: tg α = 1 ⇒ α= π/4, pois α ∈ [− π/4, π/4]  ou

        tg α = –2 ⇒ não existe, pois α não pertence [− π/4, π/4] 

   

       9. Diante do exposto, tem-se:

    

       λ₁: x² + y² = 25 ⇒ (x – 0)² + (y – 0)² = 5²

      

       Logo, λ1 representa uma circunferência de centro (0, 0) e de raio 5.

      Tem-se ainda que:

     

       λ₂ : x² + 9y²  = 144 → x²/144 + y²/16  = 1 → (x - 0)²/12² + (y - 0)²/4²  = 1

       Logo, λ2 representa uma elipse horizontal de centro (0, 0), com

       medida do eixo menor ou igual a 8 e do eixo maior ou igual a 24.

      Graficamente, é possível concluir que A ∩ B possui quatro elementos.

      (Resposta correta: E)

      10. Do exposto, tem-se:

      V₀ = V ; V₁ = 1,5 · V ; V₂ = (1,5)2 · V ; ... ; V_t = (1,5)t · V

      Desse modo:

      40 · V = (1,5)t · V ⇒ 40 = (1,5)t ⇒ t = log 40 / log 1,5

      Então:

     

      t = (log 2² + log 10)/(log 3 – log 2) → t = 1,60206/0,17609 → t ≈ 9

      (Resposta correta: A)