DÚVIDA QUESTÃO PA/PG ENVOLVENDO RELATIVA DIFICULDADE ALGÉBRICA

A sequência (a1, a2, a3, ...) é uma progressão aritmética de razão 3, e a sequência  (b1, b2, b3, ...) é uma progressão geométrica crescente. Sabendo que a2 = b3, a10 = b5 e a42 = b7, então o valor de b4 – a4 é :

a)    2

b)   0

c)    1

d)   - 1

                                       RESOLUÇÃO

a2 = b3 → a1 + r =  b1 .q² → a1 + 3 =  b1 .q²

a10 = b5 → a1 + 9r =  b1 .q⁴ → a1 + 27 =  b1 .q⁴ → a1 + 3 + 24 =  b1 .q⁴

b1.q² + 24 =  b1 .q⁴ → 24 =  b1 .q⁴ - b1.q² → 24 =  b1(q⁴ - q²) →

a42 = b7 → a1 + 41r =  b1 .q⁶ → a1 + 123 =  b1 .q⁶ → a1 + 3 + 120 =  b1 .q⁶ 

b1.q² + 120 =  b1 .q⁶ → 120 =  b1 .q⁶ - b1.q²  → 120 =  b1(q⁶ - q²)

24/120 =  b1(q⁴ - q²)/b1(q⁶ - q²) → 24/120 =  b1.q².(q² - 1)/b1.q².(q⁴ - 1) →

1/5 =  (q² - 1)/(q⁴ - 1) → q⁴ – 1 = 5.(q² - 1) → q⁴ – 1 = 5q² – 5 →

q⁴ – 5q² + 4 = 0  → fazendo q² = x → x² – 5x + 4 = 0 → ∆ = 9 → x = (5 ± 3)/2  

x' = 4 ou x'' = 1.

Se q² = 4 → q' = 2 ou  q" = - 2 (não convém) ou

Se q² = 1 → q' = 1(não convém)  ou q" = - 1(não convém)

Portanto como 24 =  b1(q⁴ - q²) → 24 =  b1(2⁴ - 2²) → b1 = 2 e

a1 + 3 =  b1 .q² → a1 + 3 =  2.2² → a1 = 5.

Finalmente b4 – a4 = b1.q³ – a1 - 3r = 2.2³ – 5 - 9 = 16 – 14 = 2