QUESTÕES VESTIBULAR UEFS 2018.1 – COMENTADAS

1. Sejam A, B e C conjuntos contidos no conjunto dos números naturais, tais que A é o conjunto dos números menores do que 250, B é o conjunto dos números múltiplos de 4 e C é o conjunto dos números pares. Sendo A^C, B^C e C^C os conjuntos complementares respectivamente de A, B e C, o número 33 pertence a :

(A) (A^C U B) ∩ C^C

(B) A^C ∩ B^C ∩ C^C

(C) (A ∩ B) U (A^C ∩ C^C)

(D) (A^C ∩ B^C) U (B^C ∩ C^C)

(E) (A U B^C) ∩ C

Vejamos :

● A é o conjunto dos números NATURAIS menores do que 250 →

  A = {0, 1, 2, 3, ... , 249}.

● B é o conjunto dos números NATURAIS múltiplos de 4 →

  B = {0, 4, 8, 12, ... }.

● C é o conjunto dos números NATURAIS pares →

  C = {0, 2, 4, 6, ... }

● Sendo  A^C, B^C e C^C os conjuntos complementares respectivamente de A,

B e C, em relação aos NATURAIS →

A^C = Naturais – A = {250, 251, 252, ... }

B^C = Naturais – B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, ... }

C^C = Naturais – C = {1, 3, 5, 7, ... }

Então :

(A) FALSO, 33 não pertence a  (A^C U B) ∩ C^C = ({250, 251, 252, ... } U {0, 4,

      8, 12, ... }) ∩ {1, 3, 5, 7, ... }

(B) FALSO, 33 não pertence a  A^C ∩ B^C ∩ C^C = {250, 251, 252, ... } ∩ {1, 2, 3,

     5, 6, 7, 9, ... } ∩ {1, 3, 5, 7, ... }

(C) FALSO, 33 não pertence a  (A ∩ B) U (A^C ∩ C^C) = ({0, 1, 2, 3, ... , 249} ∩

     {0, 4, 8, 12, ... }) U ({250, 251, 252, ... } ∩ {1, 3, 5, 7, ... })

(D) VERDADEIRO, 33 pertence a  (A^C ∩ B^C) U (B^C ∩ C^C) = ({250, 251, 252, ...

       } ∩ {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, ... }) U ({1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, ... } ∩ {1, 3, 5, 7, ... }) *33

       pertence a esta interseção.

(E) FALSO, 33 não pertence a  (A U B^C) ∩ C = ({0, 1, 2, 3, ... , 249} U {1, 2, 3,

      5, 6, 7, 9, ... }) ∩ {1, 3, 5, 7, ... }

2. Gabriela possuía uma quantia, em reais, que correspondia a 21/25 do que possuía sua irmã Heloísa. No dia das crianças, cada uma dessas irmãs ganhou R$ 20,00 e, com isso, Gabriela passou a ter o correspondente a 22/25 da quantia de sua irmã. A diferença entre as quantias que essas irmãs possuem é igual a :

(A) R$ 9,30.

(B) R$ 9,60.

(C) R$ 9,90.

(D) R$ 10,20.

(E) R$ 10,50.

Vejamos :

● Gabriela (x) possuía uma quantia, que correspondia a 21/25 do

   que possuía Heloísa (y) → x = 21y/25.

● Cada uma ganhou R$ 20,00 e, com isso, Gabriela passou a ter 22/25 da  

   quantia de sua irmã → (x + 20) = 22(y + 20)/25      

   Resolvendo o sistema, x = 21y/25 e (x + 20) = 22(y + 20)/25     

   21y/25 + 20 = 22(y + 20)/25 → 21y + 500 = 22y + 440 → - y = - 60 →

   y = 60 e x = 21y/25 → x = 21.60/25 → x = 50,4            

● A diferença entre as quantias que essas irmãs possuem é igual a

   R$ 60,00  – R$ 50,40 = R$ 9,60

3. Uma progressão aritmética (PA) possui 17 termos, todos positivos. A diferença entre o maior termo (a₁₇) e o menor termo (a₁ ) dessa PA é igual a 48. Sabendo que, dentre os números primos que ocorrem nessa PA, 13 é o menor e 43 é o maior, o valor de a₁ + a₁₇  é :

(A) 59.

(B) 62.

(C) 65.

(D) 68.

(E) 71.

Vejamos :

● Como a PA apresenta 17 termos então n = 17.

● Como a diferença entre o maior termo (a₁₇) e o menor termo (a₁ ) dessa

   PA é igual a 48, então a₁₇ – a₁ = 48.

● Como em uma PA, a_n = a₁ + (n - 1)r, então a₁₇ = a₁ + 16r → a₁₇ – a₁ = 16r,

   portanto 16r = 48 → r = 48/16 → r = 3.

● Como dentre os números primos que ocorrem nessa PA, 13 é o menor, 

   (portanto 7 não pertence), e 43 é o maior (portanto 61 não pertence), ou

   Seja,   ....... "7", 10, 13 ........................ 43, 46, 49, 52, 55, 58, "61" ........,

   Então:  a₁ = 10, a₁₇ = 58 e a₁ + a₁₇ = 10 + 58 = 68

4. O resto da divisão de um polinômio do terceiro grau p(x) por (x – 3) é igual a 24. Sabendo que as raízes do polinômio p(x) são –3, 1 e 2, o valor de p(0) é :

(A) 12.

(B) 15.

(C) 18.

(D) 21.

(E) 24.

Vejamos:

Vamos considerar o polinômio p(x) = a(x – x₁).(x – x₂).(x – x₃), do terceiro

grau, onde x₁, x₂ e x₃  são suas raízes.

Se suas raízes são –3, 1 e 2, então p(x) = a(x + 3).(x – 1).(x - 2).

Como o resto da divisão de p(x) por (x – 3) é igual a 24, então pelo

teorema do resto p(3) = 24 → 24 = a(3 + 3).(3 – 1).(3 - 2) → 24 = a.6.2.1

12a = 24 → a = 2.

Finalmente, como p(x) = 2(x + 3).(x – 1).(x - 2) então p(0) = 2(0 + 3).(0 – 1).

(0 - 2) → p(0) = 2.3.(– 1).(- 2) → p(0) = 12

5. Daniela tem 5 pulseiras diferentes e as utiliza necessariamente colocando-as uma após a outra. Ela pode usar todas as pulseiras em apenas um braço ou distribuí-las entre os braços direito e esquerdo. Daniela considera como um arranjo diferente tanto o braço em que as pulseiras são colocadas quanto a ordem como elas são distribuídas. As figuras mostram três arranjos diferentes que Daniela pode fazer.

O número de arranjos diferentes que Daniela pode fazer usando todas essas pulseiras é :

(A) 240.

(B) 360.

(C) 480.

(D) 600.

(E) 720.

Vejamos :

Como a ordem das pulseiras altera os resultados, então o problema é de Arranjo.

A5,0 . A5,5 + A5,1 . A4,4 + A5,2 . A3,3 + A5,3 . A2,2 + A5,4 . A1,1 +

A5,5 . A0,0 =

5!/(5 - 0)! . 5!/(5 - 5)! + 5!/(5 - 1)! . 4!/(4 - 4)! + 5!/(5 - 2)! . 3!/(3 - 3)! +

5!/(5 - 3)! . 2!/(2 - 2)! + 5!/(5 - 4)! . 1!/(1 - 1)! +  5!/(5 - 5)! . 0!/(0 - 0)! =

1 . 120 + 5 . 24 + 20 . 6 + 60 . 2 + 120 . 1 + 120 . 1 =

120 + 120 + 120 + 120 + 120 + 120 = 720

           

6. Dado um número complexo z = a + bi, com a e b reais, define-se afixo de z como o ponto do plano complexo de coordenadas (a, b). Sejam A, B e C os afixos dos números complexos z_A = 14 + 4i, z_B = 6 – 2i e z_C = 16 – 2i. A área do triângulo de vértices A, B e C é :

(A) 18.

(B) 24.

(C) 30.

(D) 36.

(E) 40.

Vejamos :

Sejam A, B e C os afixos dos números complexos z_A = 14 + 4i, z_B = 6 – 2i e

z_C = 16 – 2i, então A(14, 4); B(6, -2) e C(16, -2).

Observando a figura abaixo :

                               

                  

Podemos calcular a área do ∆ABC = base.altura/2 = (16 - 6).(4 - (-2))/2

∆ABC = 10.6/2 = 60/2 = 30

7. Em uma empresa com 33 funcionários, 22 são fluentes em italiano, 14 são fluentes em alemão e 27 são fluentes em francês. Sabe-se que todos os funcionários são fluentes em pelo menos uma dessas línguas e que, no total, 18 desses funcionários são fluentes em exatamente duas dessas línguas. O número de funcionários nessa empresa que são fluentes nessas três línguas é :

(A) 2.

(B) 3.

(C) 4.

(D) 5.

(E) 6.

Vejamos :

             

Em uma empresa com 33 funcionários → x + y + z + a + b + c + d = 33

● 22 são fluentes em italiano → x +  a + b + c = 22

●14 são fluentes em alemão  → y + a + c + d = 14

● 27 são fluentes em francês → z + b + c + d = 27

● 18 desses funcionários são fluentes em exatamente duas dessas 

    línguas → a + b + d = 18.

Como para três conjuntos, podemos escrever :

n(I U A U F) = n(I) + n(A) + n(F) - n(I ∩ A) - n(I ∩ F) - n(A ∩ F) + n(I ∩ A ∩ F)

33 = 22 + 14 + 27 - [n(I ∩ A) + n(I ∩ F) + n(A ∩ F)] + n(I ∩ A ∩ F)

33 = 22 + 14 + 27 - (a + c + b + c + d + c) + c

33 = 22 + 14 + 27 - (a + b + d ) – 3c + c

33 = 22 + 14 + 27 - 18 – 2c

33 = 45 – 2c → 2c = 12 → c = 6

8. A reta r, de equação y = 4, intersecta a reta t, formando um trapézio de área 12 com o sistema de eixos cartesianos, conforme mostra a figura.

Se a reta t intersecta o eixo x no ponto de abscissa –4, ela intersecta o eixo y no ponto de ordenada :

(A) 8.

(B) 9.

(C) 10.

(D) 11.

(E) 12

Vejamos :

Observando a figura abaixo podemos dizer que como a área do trapézio é 12, então :

                                          

Área = (base maior + base menor). altura/2 → 12 = (4 + m).4/2 → m = 2

Portanto como a reta t passa pelos pontos (-4, 0) e (- 2, 4), então será do

tipo y = ax + b, tal que 0 = -4a + b e 4 = - 2a + b. Resolvendo o sistema             

4a = b e 4 + 2a = b → 4a = 4 + 2a → 2a = 4 → a = 2 → b = 8 .

Finalmente y = 2x + 8, intersecta o eixo y no ponto (0, 8), de ordenada 8.

9. Um restaurante tem 30 funcionários, sendo que alguns deles são garçons e os demais ocupam outros cargos. Em certo dia, as gorjetas foram divididas de maneira que R$ 180,00 foram distribuídos igualmente entre os garçons e R$ 180,00 foram distribuídos igualmente entre os demais funcionários. Se o valor recebido por cada garçom foi R$ 15,00, o valor recebido por cada um dos demais funcionários foi :

(A) R$ 5,00.  

(B) R$ 10,00.

(C) R$ 15,00.

(D) R$ 20,00.

(E) R$ 25,00.

Vejamos :

Um restaurante tem 30 funcionários, sendo que alguns deles são

garçons(x) e os demais(y), x + y = 30.

As gorjetas foram divididas de maneira que R$ 180,00 foram distribuídos

igualmente entre os garçons(180/x) e R$ 180,00 igualmente entre os

demais funcionários(180/y).

Se cada garçom recebeu R$ 15,00 → 180/x = 15 → x = 12 → y = 18.

Portanto os demais funcionários receberam 180/18 = R$ 10,00

10. A figura mostra parte do gráfico da função  f(x) = senx/(cosx - 2)

No intervalo aberto (0, 2π), a solução de sen (x) > f(x) é o conjunto:

(A) {x ε R / 0 < x < π/2}

(B) {x ε R / π/2 < x < π}

(C) {x ε R / 0 < x < π}

(D) {x ε R / π < x < 2π}

(E) {x ε R / 0 < x < 2π}

Vejamos :

Como sen (x) > f(x) e f(x) = senx/(cosx - 2), então senx > senx/(cosx - 2)

senx.(cosx - 2) - senx > 0 → senx.(cosx – 2 - 1) > 0 → senx.(cosx - 3) > 0

Resolvendo a inequação produto, obtemos :

senx = 0 ou cosx = 3 (não convém, porque o maior valor do cosseno é 1)

Portanto como senx > 0 então 0 < x < π.

11. Uma folha de papel retangular de área 32 cm² , colorida na frente e branca no verso, é dobrada ao longo de uma linha tracejada. Após essa dobra, a parte do verso da folha que fica visível tem a forma de um triângulo e a parte colorida que não ficou encoberta tem a forma de um pentágono, conforme mostra a figura.

Dado que o perímetro desse pentágono é 24 cm, a diferença entre o maior e o menor lado dessa folha de papel é :

(A) 2 cm.                                                                             

(B) 3 cm.

(C) 4 cm.

(D) 5 cm.

(E) 6 cm.

Vamos imaginar que a folha de papel retangular, tenha dimensões x e y,  

como sua área 32 cm² , então x.y = 32.

                                                                          

                                                            

Agora através do desenho podemos notar que como o perímetro desse pentágono é 24 cm, então y + a + x – a + y + x = 24 → 2x + 2y = 24 →

x + y = 12.

Resolvendo o sistema xy = 32 e x + y = 12 ou x = 12 – y, encontraremos :

(12 - y).y = 32 → 12y – y² = 32 → y² – 12y + 32 = 0 → ∆ = 144 – 128 = 16

y = (12 ± 4)/2 → y' = 8 ou y'' = 4 → x' = 4 ou x'' = 8.

Portanto a diferença entre o maior e o menor lado é igual a 4 cm.

12. Um cubo de isopor foi cortado em dois paralelepípedos reto-retângulos congruentes, cada um com área total igual a 144 cm² . A medida da aresta desse cubo é :

(A) 6 cm.

(B) 8 cm.

(C) 12 cm.

(D) 18 cm.

(E) 24 cm    

Vejamos :

                          

Á_{Total 1} = 2ax + 2a² + 2ax = 144 → 2a² + 4ax = 144

Á_{Total 2}   = 2ay + 2a² + 2ay = 144 → 2a² + 4ay = 144

Á_{Total 1 =} Á_{Total 2} → 2a² + 4ax = 2a² + 4ay → 4ax = 4ay → x = y, como

a = x + y → a = x + x → a = 2x → x = a/2 ou y = a/2

Agora se 2a² + 4ax = 144 e x = a/2 → 2a² + 4a.a/2 = 144 → 2a² + 2a²  = 144

4a² = 144 → a² = 36 → a = 6 cm

13. Os pontos D, E e F pertencem aos lados de um triângulo retângulo ABC, determinando o retângulo BFDE, com BF = 6 cm, conforme mostra a figura.

Dadas as medidas AB = 8 cm e BC = 10 cm, o comprimento do segmento BE é :

(A) 2,4 cm.

(B) 2,7 cm.

(C) 3 cm.

(D) 3,2 cm.

(E) 3,5 cm.

Vejamos :

Através de semelhança entre esses triângulos

       

Portanto AB/BC = AE/ED → 8/10 = AE/6 → 10AE = 48 → AE = 4,8 cm,

então como AB = AE + EB → 8 = 4,8 + EB → EB = 3,2 cm.

14. Parte dos gráficos de duas funções polinomiais do primeiro grau, f e g, estão representados na figura, em que f(3) = g(3).

Se f(4) = 0 e g(0) = 0, o conjunto solução de f(x).g(x) > 0 é :

(A) {x ∈ IR | x < 0}

(B) {x ∈ IR | 0 < x < 4}

(C) {x ∈ IR | 3 < x < 4}

(D) {x ∈ IR | x > 3}

(E) {x ∈ IR | x > 4}

Vejamos :

Se f(x) e g(x) são funções polinomiais do primeiro grau então são do tipo

f(x) = ax + b  g(x) = cx + d.

Se f(4) = 0 → 4a + b = 0 e g(0) = 0 → c.0 + d = 0 → d = 0.

Como f(3) = g(3) = 2 → f(3) = 3a + b = 2 e g(3) = 3c = 2 → c = 2/3

Resolvendo o sistema 4a + b = 0 → b = - 4a e 3a + b = 2 → 3a – 4a = 2 →

a = - 2  e b = 8.

Assim sendo f(x) = - 2x + 8 e g(x) = 2x/3, então f(x).g(x) > 0 →

(- 2x + 8).(2x/3) > 0 → - 2x + 8 = 0 → x = 4 e 2x/3 = 0 → x = 0.

Analisando os sinais das funções :

                            0                      4

        ------------------○------------------○------------------

f(x)  -----------+------○----------+------○---------‾----------

g(x)  --------‾---------○----------+------○----------+--------

f(x).g(x) ------‾------○-----------+------○----------‾---------

Finalmente f(x).g(x) > 0 → { x ɛ R / 0 < x < 4}

15. No triângulo retângulo ABC, AB = 4 cm e o segmento AD divide o ângulo BÂC em dois ângulos de medidas α e β. D é um ponto do cateto BC, tal que CD = 3 cm e DB = 2 cm, conforme mostra a figura :

Dada a identidade trigonométrica tg(α + β) = (tgα + tgβ)/(1 – tgα.tgβ), o valor de tg β é:

(A) 2/7

(B) 3/8

(C) 4/9

(D) 5/11

(E) 6/13

Vejamos :

Observando a figura, podemos notar que tgα = DB/AB = 2/4 = 1/2 e

tg(α + β) = CB/AB = 5/4.

Através da identidade trigonométrica tg(α + β) = (tgα + tgβ)/(1 – tgα.tgβ)

5/4 = (1/2 + tgβ)/(1 – 1/2.tgβ) → 5.(1 - tgβ/2) = 4.(1/2 + tgβ) →

5.(2 - tgβ)/2 = 4.(1+ 2tgβ)/2 → 10 – 5tgβ = 4 + 8tgβ → - 5tgβ – 8tgβ = 4 – 10

- 13tgβ = - 6 → tgβ = 6/13