Euler

 

Leonhard Paul Euler (Basiléia, 15 de Abril de 1707 - São Petersburgo, 18 de Setembro de 1783) foi um matemático e físico suíço de língua alemã que passou a maior parte de sua vida na Rússia e na Alemanha. Euler fez importantes descobertas em campos variados nos Cálculos . Ele também fez muitas contribuições para a matemática moderna no campo da terminologia e notação, em especial para as análises matemáticas, como a noção de uma função matemática.

Além disso ficou famoso por seus trabalhos em mecânica, óptica, e astronomia. Euler é considerado o proeminente matemático do século XVIII.

Sua imagem fora incluída ao franco suíço, em numerosas notas e selos postais. O asteróide 2002 Euler foi nomeado em sua homenagem. Ele também é homenageado pela Igreja Luterana em seu Calendário de santos em 24 de Maio - ele era um devoto cristão.

http://www.iem.unifei.edu.br/wlamir/Curiosidades/Leonhard%20Euler.pdf

 

Euclides

 Matemático grego, que viveu entre os séculos III e IV a.c., sabe-se que foi convidado a ensinar no museu escola, criado por Ptolomeu, em Alexandria, passando aí grande parte da sua vida. Muitas das obras de Euclides foram perdidas, mas a mais importante, Elementos, data de 300 a.c. Compõe-se de um conjunto de 13 livros (ou capítulos), em que Euclides faz uma exposição rigorosa e ordenada dos assuntos básicos da matemática elementar, incluindo aritmética, geometria e algébra.

Elementos é considerada a mais antiga obra da matemática e uma das mais importantes. Sua contribuição foi tão grande que a maior parte das proposições nela contidas é tratada na escola atual, principalmente no campo da geometria, conhecida hoje com Geometria Euclidiana, em homenagem a seu criador.

Por volta de 600a.c., filósofos e matemáticos gregos, entre os quais podemos incluir Tales de Mileto e Pitágoras, passaram a sistematizar os conhecimentos geométricos da época. Porém foi com o matemático grego Euclides que a geometria realmente se desenvolveu, deu ordem a lógica a esses conhecimentos, estudando a fundo as propriedades das figuras geométricas, as áreas e os volumes, fazendo da cidade egípcia de Alexandria, onde vivia Euclides, o centro mundial da geometria por volta de 300 anos a.c.

Seus estudos não se limitaram a geometria, mas estenderam-se a música, à astronomia, à física e à moral. Entre suas obras encontram-se: Elementos de Geometria (13 volumes), Dados (94 proposições), Divisões (na qual trata do problema da divisão das figuras geométricas num número dado de partes iguais ou obedecendo a uma razão dada), Óptica, Os fenômenos (onde estuda a geometria esférica e suas aplicações à astronomia etc. Pode-se dizer que nenhum livro didático permaneceu inalterado durante tanto tempo quanto os Elementos de Geometria de Euclides.

Euclides não fazia cálculos, usava apenas uma régua não graduada e um compasso.

Vários matemáticos desenvolveram geometria baseados nas hipóteses iniciais de Euclides.

 

http://vivibertolla.vilabol.uol.com.br/euclides.htm

Desafios Matemáticos

1.Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos pode ainda ele carregar?

2. Determine o próximo número da sequência:

5,11,19,29,41,...

3 Maria e o Manuel disputaram um jogo no qual são atribuídos 2 pontos por vitória e é retirado um ponto por derrota. Inicialmente cada um tinha 5 pontos. Se o Manuel ganhou exatamente 3 partidas, e Maria no final ficou com 10 pontos, quantas partidas eles disputaram?

4. Ache um número que tenha sua raiz quadrada maior do que ele mesmo.

5. Uma calculadora tem duas teclas: D, que duplica o número, e T, que apaga o algarismo das unidades. Se uma pessoa escrever 1999 e apertar em seqüência D,T, D e T, o resultado será qual número?

6. Calcular o valor do seguinte produto:

(x-a)(x-b)(x-c) ... (x-z) = ?

7. Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos
xy e yx, cuja soma é o número de três algarismos zxz.
Quanto valem x, y e z?

8. Luiz Eduardo comprou várias galinhas campeãs em pôr ovos. Ao testar a eficiência das galinhas, ele observou que de minuto em minuto o número de ovos na cesta duplicava. Às duas horas a cesta estava cheia. A que horas a cesta estava pela metade?

9. Um cachorro persegue uma lebre. Enquanto o cachorro dá 5 pulos, a lebre dá 8 pulos. Porém, 2 pulos de cachorro valem 5 pulos de lebre. Sendo a distância entre os dois igual a 36 pulos de cachorro, qual deverá ser o número de pulos que o cachorro deve dar para alcançar a lebre?

10. Três décimos de todos os homens de um certo lugar    são casados. Dois quintos de todas as mulheres desse mesmo lugar são casadas. Qual fração desse grupo é composta de homens solteiros?

11.  No último verão, houve um grande torneio eliminatório duplas de volêi de praia. Cento e vinte oito duplas se inscreveram para o evento. Considerando que a dupla Bolinha e Bolete ficou em terceiro lugar, quantos jogos foram realizados no torneio?

12.  Qual número está faltando?

           6 11 ? 27

 

RESPOSTAS :  

1) 144     2) 55     3) 7     4) qualquer número entre o e 1 

5) 79     6) zero     7) 2 , 9 e 1     8) 1 h 59 minutos

9) 100 pulos do cachorro     10) 40%     11) 128     12 ) 18

 

 

 

 

 

Exercícios sobre Funções Compostas

                    

1. (METODISTA) Sabendo que f(g(x)) = 3x - 7 e f( x ) = x/3 - 2, então :

a) g(x) = 9x - 15            b) g(x) = 9x + 15       c) g(x) = 15x - 9        d) g(x) = 15x + 9      e) g(x) = 9x – 5

 

2. (METODISTA) O domínio da função real f(g(x)), sabendo-se que f(x) = x^1/2 e g(x) = (x² + x)(x + 2)^-1 é:

a) D = {x Î R / x^1/2 ¹ -2}       b) D = {x Î R/ x ³ 0 e x ¹ -2}     c) D = {x Î R / -2 < x £ -1 ou x ³ 0}

d) D = {x Î R / -2 £ x £ -1 ou x  ³ 0 }     e) D = {x Î R / -2 < x < -1 ou x³ 0}

 

3. (CESGRANRIO) Para cada inteiro x > 0, f(x) é o número de divisores de x e g(x) é o resto da divisão de x por 5.

Então g(f(45)) é:

a) 4                  b) 3                  c) 2                  d) 1                  e) 0

 

4. (FGV) Considere as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x² - 1. Então as raízes da equação f(g(x)) = 0 são:

a) inteiras         b)negativas      c)racionais        d)inversas        e)opostas

 

5. (ITA) Sejam f(x) = x² + 1 e g(x) = x - 1 duas funções reais.

Definimos a função composta de f e g como sendo gof(x) = g(f(x)). Então gof(y - 1) é igual a:

a) y² - 2y + 1     b) (y - 1)² + 1     c) y² + 2y - 2     d) y² - 2y + 3     e) y² – 1

 

6. (UEL) A função de R em R é definida por f(x) = mx + p. Se f(2) = -5 e f(-3) = -10, então f(f(18)) é igual

a) -2                 b) -1                 c) 1                  d) 4                  e) 5

 

7. (FCG) As funções f e g, de R em R, são definidas por f(x) = 2x + 3 e g(x) = 3x + m. Se f(g(x)) = g(f(x)), então f(m) é um número:

a) primo           b) negativo       c) cubo perfeito                  d) menor que 18     e)múltiplo de 12

 

8. (MACK) Seja f: R ^→ R uma função definida por y = f(x).

Sabendo-se que f(0) = 3, f(1) = 2 e f(3) = 0, o valor de x tal que f(f(x+2)) = 3 é:

a) 0                  b) 1                  c) 2                  d) 3                  e) 4

 

9. (PUC-SP) Se f(x) = 3x - 4 e f(g(x)) = x + 4, então g(1) vale:

a) -2                 b) 0                  c) 1                  d) 3                  e) 5

 

10. (MACK) Se f(g(x)) = 2x² - 4x + 4 e f(x - 2) = x + 2, então o valor de g(2)  é:

a) -2                 b) 2                  c) 0                  d) 3                  e) 5

 

11. (ANGLO) Sendo f(x) = x² - 1 e g(x) = x + 2, então o conjunto solução da equação f(g(x)) = 0 é:

a) {1, 3}            b) {-1, -3}          c) {1, -3}           d) {-1, 3}           e) { }

 

12. (ANGLO) Sendo f e g funções de R em R, tais que f(x) = 3x - 1 e g(x) = x², o valor de f(g(f(1))) é:

a) 10                b) 11                c) 12                d) 13                e) 14

 

13. (MACK) Os gráficos das funções reais definidas por f(x) = x² - 1 e g(x) = k^x, 1 ¹ k > 0, se interceptam num ponto de abscissa 3. Então o valor de f(g(k)) é:

a) 3                  b) 9                  c) 12                d) 15                e) 18

 

14. (MACK) Dadas as funções reais definidas por f(x) = 4x + 1 e f(g(x)) = 3x, então o valor de k tal que g(f(k)) = 4 é:

a) 1/4               b) 4/5               c) 2                  d) 3                  e) 7/6

 

15. (MACK) Se f(x) = mx + n e f(f(x)) = 4x + 9, a soma dos possíveis valores de n é:

a) 6                  b) –12              c) –6                d) –18              e) 12

 

16-(MACK-02) Se x >1 e f (x) = x / (x – 1), então f(f(x + 1)) é igual a:

a) x + 1            b) 1 / (x – 1)       c) x – 1                       d) x / (x – 1)      e) (x + 1) / (x – 1)

 

17. (PUC) Se f e g são funções definidas por f ( x ) = x e g ( x ) = x² + m x + n, com m ¹ 0 e n ¹ 0, então a soma das raízes de fog é

a) m                 b) – m              c) n                  d) – n               e) m.n

 

18. (UFV) Se f e g são funções reais tais que f(x) = 2x - 2 e f(g(x)) = x + 2, para todo xÎR, então g(f(2)) é igual a:

a) 4                  b) 1                  c) 0                  d) 2                  e) 3

 

19. (UFV) Sejam as funções reais f e g tais que f(x) = 2x + 1 e (fog)(x) = 2x³ - 4x+1.

Determine os valores de x para os quais g(x) > 0.

 

20. (UERJ) Admita os seguintes dados sobre as condições ambientais de uma comunidade, com uma população p, em milhares de habitantes:

- C, a taxa média diária de monóxido de carbono no ar, em partes por milhão, corresponde a C(p) = 0,5 p + 1;

- em um determinado tempo t, em anos, p será igual a p(t) = 10 + 0,1 t².

Em relação à taxa C,

a) expresse-a como uma função do tempo;

b) calcule em quantos anos essa taxa será de 13,2 partes por milhão.

Resposta:
1) A 2) C 3) D 4) E 5) A 6) D 7) D 8) B 9) D 10) C 11) B 12) B 13) D 14) E 15) C 16) A 17) B 18) E 19) √2  20) a) C(p(t)) = 6 + 0,05 t² b) 12 anos

Parte inferior do formulário

 

 

Problemas Envolvendo Conjuntos

 

1.    Um grupo de 33 portugueses veio ao Brasil e fez questão de conhecer algumas capitais do nordeste. Sabe-se que deste grupo:

I- Vinte pessoas visitaram Salvador.

II- Oito pessoas visitaram Aracaju.

III- Dez pessoas não visitaram nem Salvador nem Aracaju.

     Pergunta-se:

a)  Quantas pessoas visitaram só Salvador.

b) Quantas pessoas visitaram as duas cidades

c) Quantas pessoas visitaram somente uma cidade ou outra.

 

2. Numa escola existem 30 meninas, 21 crianças ruivas, 13 meninos não ruivos e                                                            4 meninas ruivas.

a) Quantos são os meninos ruivos?

b) Quantos são meninos?

c) Quantas crianças existem na escola?

 

3.    Numa comunidade composta de 230 pessoas, 160 são alfabetizadas ou mulheres, 95 são alfabetizadas e 40 são homens alfabetizados. Qual o  número de mulheres ou homens analfabetos ?

 

4.    35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil, 16 visitaram Manaus, 16 São Paulo e 11 Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador, e desses 5,  3 visitaram também São Paulo. Qual o número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo ?

 

5.    No colégio A fez-se uma pesquisa entre os alunos, com duas perguntas apenas: Gosta de futebol?  Gosta de cinema?

75 alunos responderam sim à primeira pergunta e 86 responderam sim à segunda pergunta, sendo que 23 responderam sim às duas.  42 responderam  não às duas perguntas. Qual o número de alunos do colégio?

 

6.    Em uma pesquisa, com 160 pessoas, sobre o consumo das marcas de leite em pó A e B, foi obtido o seguinte resultado: 78 pessoas consumiram a marca A, e 62 pessoas, a B e 32 pessoas, nenhuma das duas.

Com base nessas informações, pode-se concluir que o número de pessoas que consumiam as duas marcas era igual a quanto?

 

7.    Uma pesquisa de opinião a respeito da real motivação da guerra entre os estados Unidos e o Iraque mostrou que, em um universo de 1000 pessoas consultadas, 600 delas apontaram, como um dos motivos dessa guerra, o combate ao terrorismo; Idêntico número indicou o petróleo, e 200 dessas pessoas não citaram nenhum desses motivos ou não quiseram opinar. Com base nessa informação, qual o total de pessoas que apresentaram o petróleo como única motivação da guerra?

 

8.    Durante uma viagem choveu 5 vezes. A chuva caía pela manhã ou á tarde, nunca o dia todo. Houve 6 manhãs e 3 tardes sem chuva. Quantos dias durou a viagem?

 

 

9.    Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C₁, C₂ e C₃ terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C₁ e C₂ terão 10 páginas em comum; C₁ e C₃ terão 6 páginas em comum; C₂ e C₃ terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C₁.

      Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a       montagem dos três catálogos, necessitará de um total de quantos originais de impressão ?

 

10. Uma pesquisa com três marcas concorrentes de refrigerantes, A, B e C, mostrou que 60% das pessoas entrevistadas gostam de A, 50% gostam de B, 57% gostam de C, 35% gostam de A e C, 18% gostam de A e B, 24% gostam de B e C, 2% gostam das três marcas e o restante das pessoas não gosta de nenhuma das três. Sorteando-se aleatoriamente uma dessas pessoas entrevistadas, a probabilidade de que ela goste de uma única marca de refrigerante ou não goste de marca alguma é de x%, calcule x.

 

RESPOSTAS : 1. a) 15   b) 5   c) 18          2. a) 17   b) 30   c) 60          3. 160

 

                           4. 29          5. 180          6. 12          7. 200          8. 7          9. 118

 

                          10.  27%