1. De acordo com o Ministério da Saúde, de dezembro de 2016 a 10
de fevereiro de 2017 foram confirmados 230 casos de febre amarela no Brasil.
Nesse período, foram notificados 1 170 casos suspeitos, sendo que 847
permanecem em investigação, 93 foram descartados e os demais confirmados. Das
186 mortes notificadas, 79 foram confirmadas como tendo sido causadas pela
febre amarela, 104 ainda são investigadas e 3 foram descartadas.
Vejamos :
Sabendo que de 12/2016 a 02/2017 = 230 casos de febre amarela.
Notificados 1170 casos suspeitos = 847(observação) +
93(descartados) +
230(confirmados).
Das 186 mortes = 79(confirmadas) + 104(investigadas) +
3(descartadas)
a) Suponha que, entre os casos investigados, X deles sejam
confirmados como febre amarela e que a porcentagem de casos confirmados, em
relação ao número total de casos suspeitos, passe a ser 20%. Nessas condições,
determine o valor de X.
Casos investigados = 1170 → X = 230 deles sejam confirmados.
A porcentagem de casos confirmados, em relação ao número total
de
casos suspeitos, passe a ser 20% → X = 234.
b) Suponha agora que o número de mortes notificadas aumente 50%,
que o número de casos de morte descartados aumente 100% e que o número de
mortes confirmadas seja 92. Nessas condições, determine a porcentagem
aproximada que o número de casos de mortes investigados representa em relação
ao novo total de mortes notificadas.
Mortes notificadas aumente 50% → 186 para 279.
morte descartados aumente 100% → 3 para 6.
de mortes confirmadas seja 92.
Das 279 mortes = 92(confirmadas) + Y(investigadas) +
6(descartadas) →
Y = 279 – 92 – 6 → Y = 181.
A porcentagem do número
de casos de mortes investigados
em relação ao novo total de mortes notificadas → 181/279 ≈ 65%
2. Uma pessoa empilhou caixas de fósforo, todas iguais entre si,
da seguinte maneira:
• A 1a e a 2a pilhas tinham 3 caixas cada
uma.
• A 3a e a 4a pilhas tinham 5 caixas cada
uma.
• A 5a e a 6a pilhas tinham 7 caixas cada
uma, e assim sucessivamente.
a) Determine o número total de caixas de fósforo empilhadas nas
20 primeiras pilhas.
Observe a sequência que indica a quantidade de caixas nas pilhas
→
( 3, 3, 5, 5, 7, 7, ... ).
Nas pilhas ímpares e pares estão caracterizadas duas
progressões aritméticas idênticas, portanto basta calcular o
dobro, da
somas de seus 10 primeiros.
Como an = a1 + (n - 1)r → a10 =
3 + (10 - 1).2 → a10 = 3 + 18 → a10 = 21.
Como Sn = (a1 + an).n/2 → S10
= (3 + 21).10/2 → S10 = 24.5 → S10 = 120
Então
a soma das 20 pilhas corresponde a 240 caixas de fósforo.
b) Quais são as duas pilhas, com o mesmo número de caixas de
fósforos em cada uma, que possuem juntas um total de 126 caixas?
Como as duas pilhas, com o mesmo número de caixas de fósforos,
possuem juntas um total de 126 caixas, então 2.Sn = 126 → Sn = 63 →
(a1 + an).n/2 = 63 → [a1 + a1
+ (n - 1)r].n = 126 → [3 + 3 +
(n - 1)2].n = 126 →
(6 + 2n - 2).n = 126
→ (4 + 2n).n = 126 →
2n2 + 4n – 126 = 0 (÷ 2) →
n2 + 2n – 63 = 0 → ∆ = 22 – 4.1.(- 63) = 4
+ 252 = 256 → x = (- 2 ± √256)/2 →
x = (- 2 ± 16)/2 → x' = 7 ou x'' = - 9(não convém).
Portanto
as duas pilhas são a 13a e a 14a.
3. Em um hospital foram internados, no mesmo dia, 6 pacientes
com pneumonia, 8 com febre amarela e 2 com AVC (acidente vascular cerebral),
sendo que cada um desses pacientes apresentava somente uma dessas doenças.
Suponha que os prontuários desses pacientes estejam todos em uma mesma caixa.
a) Retirando-se aleatoriamente 3 desses prontuários, um após o
outro, determine a probabilidade de que os 3 sejam de pacientes com febre
amarela.
Se 6 pacientes estavam com pneumonia, 8 com febre amarela e 2
com
AVC, então foram internados 16 pacientes em um mesmo dia.
Retirando-se aleatoriamente 3 doentes, todos com febre amarela :
P = 8/16 . 7/15 . 6/14 = 1/2 . 7/15 . 3/7 = 1/2 . 1/5 = 1/10 =
10%.
Portanto
a probabilidade de que os 3 sejam de pacientes com febre
amarela
é de 1/10 = 10%
b) Retirando-se aleatoriamente 2 desses prontuários, um após o
outro, determine a probabilidade de que, pelo menos um deles, seja de um
paciente com febre amarela.
Retirando-se aleatoriamente 2 desses prontuários, pelo menos um
deles, seja de um paciente com febre amarela.
P = 1(todos) - 8/16 . 7/15 (dois sem febre amarela) → P = 1 -
1/2 . 7/15 →
P = 1 - 7/30 → P = 23/30
Portanto
a probabilidade de que, pelo menos um deles, seja de um paciente com febre
amarela é de 23/30 ≈ 77%
4. Um determinado tipo de doença está infectando as pessoas de
uma cidade. Esse processo ocorre de acordo com a função f(x) = 5 + 10log2(2x),
em que x é o número inteiro de semanas e f(x) é o número aproximado de pessoas
infectadas até a semana x, com 1 ≤ x ≤ 10. Considerando que nenhuma pessoa
infectada se curou nessas 10 semanas:
a) Determine a semana em que há, no total, 20 pessoas infectadas
a mais do que o total de pessoas infectadas até a 2a semana.
Sendo f(x) = 5 + 10log2(2x) e f(x) = f(2) + 20 →
5 + 10log2(2x) = 5 + 10log2(2.2) + 20 → 10log2(2x)
= 10log24 + 20 →
10log2(2x) = 10.2 + 20 → 10log2(2x) = 40 →
log2(2x) = 4 → 2x = 24 → x = 8.
Portanto
na 8a semana haviam 20 pessoas a mais do que na 2a
semana.
b) Utilizando log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, determine o número de
pessoas infectadas até a 3a semana.
Sendo f(x) = 5 + 10log2(2x), então na 3a
semana → f(3) = 5 + 10log2(2.3) →
f(3) = 5 + 10(log22 + log23) → f(3) = 5 +
10(1 + log3/log2) →
f(3) = 5 + 10(1 + 0,48/0,30) → f(3) = 5 + 10(1 + 1,6) → f(3) = 5
+ 26 → f(3) = 31
Portanto na 3a semana haviam 31 pessoas
infectadas.
5. Considere o triângulo retângulo ABC, reto em B, de vértices
A(2, 6), B(2, 3) e C(6, 3) e o quadrado ACDE, com D(9, 7), conforme mostra a
figura.
Determine:
a) a área do triângulo BCD, destacado na figura.
A∆BCD = 1/2 . | XB .YC + XC .YD
+ XD .YB – XB .YD – XD
.YC – XC .YB |
A∆BCD = 1/2 . | 2 .3 + 6 .7 + 9 .3 – 2 .7 –
9 .3 – 6 .3 |
A∆BCD = 1/2 . | 6 + 42 + 27 – 14 – 27 – 18
| = 1/2 . | 75 – 59 | = 1/2 . 16 = 8
Portanto
a Área do ∆BCD é igual a 8 u.a.
b) a equação da reta suporte do lado AE do quadrado.
Como a reta suporte do lado AE é perpendicular à reta suporte do
lado
AC, então o coeficiente angular de AE é igual ao inverso
simétrico de AC.
Sendo aAC = (yC – yA)/(xC
– xA) = (3 – 6)/(6 – 2) = - 3/4 → aAE = - 1/aAC =
4/3.
Desta forma a reta suporte do lado AE é do tipo y = 4x/3 + b, e
contém o
ponto A(2, 6), então 6 = 4.2/3 + b → 6 = 8/3 + b → 18 = 8 + 3b →
b = 10/3
Portanto
a reta suporte do lado AE é y = 4x/3 + 10/3 ou 4x – 3y + 10 = 0
6. Considere as matrizes A, B
e C , com k um número real positivo.
Nessas condições, determine:
a) o valor de k, sabendo que det (A · B) = det C.
Através do teorema de Binet, para duas matrizes quadradas de
mesma
ordem ''A'' e ''B'', det (A · B) = det A · det B.
Então det A . det B = det
C → (2.0 – 1.1).(4.0 - (-1).3) = (2.3 – k.k) →
(-1).3 = 6 – k2 → k2 = 9 → k' = 3 ou k' =
- 3.
Portanto,
como k é um número real positivo, então k = 3.
b) a soma de todos os elementos da matriz X, tal que A · X = B.
Resolvendo os sistemas de equações, vem:
2a + c = 4 e a
= 3 → 2.3 + c = 4 → c = - 2
2b + d = - 1 e b
= 0 → 2.0 + d = - 1 → d = - 1
Portanto
a soma dos elementos de X é a + b + c + d = 3 + 0 + (- 2) + (- 1) = 0
