QUESTOES VESTIBULAR IME 2017 (TIPO ANALITICA) - COMENTADAS

1. (Ime 2017)  Classifique o sistema abaixo como determinado, possível indeterminado e impossível de acordo com os valores reais de m.

(m-2)x+2y–z = m + 1 ; 2x+my+2z = m² + 2 ; 2mx+2(m+1)y+(m+1)z = m³ + 3

Resposta da questão 1:

 

Logo,

m ε R - {0, 1, 2} → sistema possivel e determinado

m = 0 → sistema possivel e indeterminado

m ε {1, 2} → sistema impossivel

  

  2. (Ime 2017)  Seja A = {1, 2, 3, 4}.

- Quantas funções de A para A têm exatamente 2 elementos em seu conjunto imagem?

- Entre as 256 funções de A para A, sorteiam-se as funções f e g, podendo haver repetição. Qual a probabilidade da função composta fog ser uma função constante?

  

Resposta da questão 2:
 a) Considerando o conjunto dado, há 6 formas distintas de se escolher dois elementos C_4,2 . Existem 2⁴ funções do conjunto destes dois elementos. Em 2 casos o conjunto imagem tem apenas um elemento. Assim, o total de funções será: 6.(2⁴ - 2) = 84

b) A função g poderá ter imagem com:

Caso 1: quatro elementos

n⁰ funçoes g = 4! = 24 e n⁰ funçoes f = 4 → Total = 24 . 4 = 6 . 16

Caso 2: um elemento

n⁰ funçoes g = 4 e n⁰ funçoes f = 4.4³ → Total = 4.4.4³ = 4⁵ = 64.16

   Caso 3: dois elementos

  n⁰ funçoes g = 6.(2⁴ - 2) = 84 e n⁰ funçoes f = 4.4²→Total = 84.4.4² = 336.16

Caso 4: três elementos

n⁰ funçoes g = 4⁴ – 4 – 84 – 24 = 144 e n⁰ funçoes f = 4.4 → Total = 144.16

Assim, a probabilidade da função composta fog ser uma função constante será:

P(x) = Total favoraveis/total possíveis = (6 + 64 + 336 + 144) . 16/4⁴.4⁴ =

550.4²/256.16.4² = 275/256.8 = 275/2048

   

3. (Ime 2017)  Um triângulo ABC tem o seu vértice A na origem do sistema cartesiano, seu baricentro é o ponto D(3,2) e seu circuncentro é o ponto E(55/18, 5/6). Determine:

- a equação da circunferência circunscrita ao triângulo ABC,

- as coordenadas dos vértices B e C.

  

Resposta da questão 3:

 Calculando o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC:

 Raio = d_AE = √[(55/18 - 0)² + (5/6 - 0)²] → r = √625/162

 Equação da circunferência ג :

(x - 55/18)² + (y - 5/6)² = 1625/162 → 9x² + 9y² – 55x – 15y = 0

Calculando as coordenadas dos vértices B e C :

Se o baricentro D(3, 2) ; x_D = (x_A+x_B+x_C)/3 ; y_D = (y_A+y_B+y_C)/3 e A(0,0), entao

3 = (x_B + x_C)/3 → x_B + x_C = 9 e 2 = (y_B + y_C)/3 → y_B + y_C = 6

Ponto Médio de BC → x_M = (x_B + x_C)/2 = 9/2 e y_M = (y_B + y_C)/2 = 3 →M(9/2,3)

Cálculo do coeficiente angular da equação da reta suporte de BC :

EM │┐ BC → coeficiente angular m_EM = -1/m_BC = (3-5/6)/(9/2 - 55/18) = 3/2,

entao m_BC = - 2/3 .

Reta r, suporte de BC : y – 3 = -2/3(x - 9/2) → y = -2x/3 + 6

Intersecção entre r e a circunferência:

9x² + 9y² – 55x – 15y = 0 e y = -2x/3 + 6

9x² + 9(-2x/3 + 6)² – 55x – 15(-2x/3 + 6) = 0 → 13x² – 117x + 234 = 0

x² – 9x + 18 = 0 → x' = 3 e y' = 4 ou x'' = 6 e y'' = 2

Portanto quando B^'(3,4) entao C^'(6,2) e B^''(6,2), C^''(3,4)

   

4. (Ime 2017)  Resolva o sistema de equações, onde x ε R₊^* e y ε R₊^*

             log₃(log_√3^x) - _log√3(log₃^y) = 1  e  (y³√x)² = 3¹⁴³

Resposta da questão 4:
Calculando:  log₃(log_√3^x) - _log√3(log₃^y) = 1  e  (y³√x)² = 3¹⁴³

Substituindo: x = 3^a e y = 3^b , teremos :

 log₃(log_√33^a) - _log√3(log₃3^b) = 1  e  (3^{b 3}√3^a)² = 3¹⁴³ →

log₃2a – 2log₃b = 1 e 3^2b+2a/3 = 3¹⁴³ → log₃(2a/b²) = 1 e 2b + 2a/3 = 143

2a/b² = 3 e 2b + 2a/3 = 143 → 3b² + 6b – 429 = 0 → b' = 11 ou b'' = -13(não

convem), então a' = 363/2. Portanto y = 3¹¹ e x = 3^363/2

  

5. (Ime 2017)  Sejam os complexos z = a + bi e w =47 + ci, tais que z³+ w = 0. Determine o valor de a, b e c, sabendo que esses números são inteiros e positivos.

  

Resposta da questão 5:

Calculando: z³+ w = 0 → (a + i)³ + 47 + ci = 0 → a³+3a²bi-3ab²-b³i +47+ci = 0

(a³-3ab+47) + (3ab²-b³+c)i = 0 + 0i

 a³-3ab+47 = 0 → a(-a²+3b²) = 47→ a ε N, logo a = 1 e b = 4

3ab²-b³+c = 0 → 3.1².4 – 1³ + c = 0 → c = 52

  

6. (Ime 2017)  Se cosx/cosy + senx/seny = - 1, calcule o valor de S

S = (3coxy + cos3y)/cosx + (3seny – sen3y)/senx

Resposta da questão 6:

Se cosx/cosy + senx/seny = - 1 → cosx/cosy + senx/seny = - seny.cosy

Como sen3y = 3seny - 4sen³y e cos3y = 4cos³y - 3cosy, entao :

S = (3cosy + cos3y)/cosx + (3seny – sen3y)/senx

S = (3cosy + 4cos³y - 3cosy)/cosx + (3seny –3seny + 4sen³y)/senx

S = 4(cos³y /cosx  + sen³y/senx ) = 4(cos³ysenx + sen³ycosx)/cosxsenx

S = 4(cos²ycosysenx + sen²ysenycosx)/cosxsenx

S = 4[(1-sen²y)cosysenx + (1-cos²y)senycosx)]/cosxsenx

S = 4[cosysenx -sen²ycosysenx + senycosx -cos²ysenycosx]/cosxsenx

S = 4(cosysenx + senycosx) -sen²ycosysenx -cos²ysenycosx]/cosxsenx

S = 4(cosysenx + senycosx) +(-senycosy)(senysenx+cosycosx)]/cosxsenx

S = 4[cosysenx + senycosx)]/cosxsenx +[(-senycosy) (senysenx+ cosycosx)]/cosxsenx

S = 4(cosy/cosx +seny/senx) .(senxcosy+cosxseny + 1)

S = 4[(cosysenxseny)cosx +cos²y + cosy/cosx + sen²y + (cosxsenycosy)/senx + seny/senx]

S = 4[1 + (senx/cosx + cosx/senx)senycosy + (senxcosy + senycosx)/senxcosx]

S = 4[ 1 + (1/senxcosx) .senycosy - senycosy/senxcosx]

S = 4 . 1 = 4

7.(Ime 2017)  Em um cone equilátero são inscritas duas esferas de raios (√3 - 1)R/(√3 + 1) e R, conforme a figura abaixo. Um plano secante ao cone é traçado de forma que este seja tangente às duas esferas. Determine em termos de  o maior segmento possível que une dois pontos da curva formada pela interseção do referido plano com o cone.

  

                                        

  

Resposta da questão 7:
 Teremos:

                               

Como A, B, X e Y são pontos de tangência, podemos escrever:

PA = PX , PB = PY , PA + PB = PX + PY = XY → geratriz do tronco de cone

Assim, podemos desenhar:

                                

√3 = tg 60⁰ = MV/R → MV = R√3

NV = R . (√3 - 1)/(√3 + 1) . √3 → NV = R . (3 - √3)/(√3 + 1)

MN =  R√3  -  R(3 - √3)/(√3 + 1) = R(3 + √3 – 3 + √3)/(√3 + 1) = 2R√3/(√3 + 1)

MN = R(3 - √3) → maior segmento possível

8. (Ime 2017)  Em um triângulo ABC, a medida da bissetriz interna AD é a média geométrica entre as medidas dos segmentos BD e DC e a medida da mediana AM é a média geométrica entre os lados AB e AC. Os pontos D e M estão sobre o lado BC de medida a. Pede-se determinar os lados AB e AC do triângulo ABC em função de a.

 

Resposta da questão 8:
 Teremos:

                                  

Considerando o teorema das bissetrizes e o teorema de Stewart,

podemos escrever: n/c = m/b = ab/(b+c) → m = ab/(b+c) e n = ac/(b+c)

b²/am - (√mn)²/mn + c²/an = 1 → b²/am + c²/an = 2

b²/a(ab/(b+c) + c²/a(ac/(b+c)  = 2 → b + c = a√2

b²/(a.a/2) - (√bc)²/(a/2)² + c²/(a.a/2) = 1 → b - c = a√2

Portanto, sendo b + c = a√2 e  b - c = a√2, então b = 3a√2/4 e c = a√2/4

9. (Ime 2017)  Resolva a inequação 9x² / (1 - √3x+1)² > 4, onde x є R.

Resposta da questão 3 :
 Calculando:

9x² / (1 - √3x+1)² > 4 → 1 - √3x+1 ≠ o → 3x + 1 ≥ 0

[9x² / (1 - √3x+1)²] . [(1 - √3x+1)² / (1 - √3x+1)²] > 4→  (1 - √3x+1)²  > 4

1 - √3x+1 > 2 ou 1 - √3x+1 < -2 ( não convem )

1 - √3x+1 > 2 → √3x+1 >1 → x > 0 → S = R₊^*