QUESTOES VESTIBULAR UNEB MEDICINA 2015 – COMENTADAs

1.Considere a sequência s: 2, − 2, 10, − 26, 82, ... Continuando com a mesma regularidade, pode-se afirmar corretamente que o próximo elemento de s é :

01) − 246

•02) − 242

03) − 238

04) − 234

05) – 230

Vejamos :

Observe que as diferenças positivas, entre um elemento qualquer e o seu antecessor, formam uma progressão geométrica de razão 3, ou seja :

|-2-2|; |10-(-2)|; |-26-10|; |82-(-26)|;... → 4, 12, 36, 108, ... , desse modo o próximo elemento sera  324.

Note que o próximo elemento da sequencia apresenta uma formação do tipo  |a – b|  = 324 →  |82 – x|  = 324 → 82 – x  = ± 324 →

82 - x  = 324 → x = - 242  ou  82 - x  = - 324 → x = 406 (não convem)

2. Com a escassez de água, no planeta, a palavra de ordem é economizar!

Pensando assim, um cidadão encheu um barril, depósito que estava vazio, com 16 litros de água. Depois, equivocado, retirou 4 litros e os substituiu por 4 litros de rum. Em seguida, retirou 4 litros da mistura e os substituiu por outros 4 litros de rum. Repetiu a operação por outros 4 litros de rum, e continuou repetindo a operação uma 4^a vez, e seguiria assim por diante. Preocupado com o que estava fazendo, pensou em parar, pois, afinal, na mistura, a parte de água que ainda restava, em litros, era de, apenas,

01) 81/256

02) 0,424

03) 0,5

04) 155/256

05) 0,684

Vejamos :

Observe que em cada substituiçao da agua por rum, retira-se 1/4 da mistura, ficando com 3/4 de ambas as partes. Como foram substituídas 4 vezes, então a agua restante sera da ordem de 3/4 . 3/4 . 3/4 . 3/4 = 81/256

3. Uma empresa pode gastar, no máximo, R$15000,00 para comprar 400 unidades de certo material. De determinada marca, o material custa R$25,00 por unidade, e de outra, de melhor qualidade, custa R$45,00 por unidade. Efetuada a compra, tem-se que a razão entre o número de unidades compradas da melhor marca e o da marca inferior deve ser, no máximo,

01) 5/9

02) 3/5

03) 3/2

•04) 5/3

05) 9/5

Vejamos: ... R$15000,00 para comprar 400 unidades de certo material... → x + y = 400

... de determinada marca, o material custa R$25,00 por unidade, e de outra, de melhor qualidade, custa R$45,00 por unidade... →

25x + 45y = 15000

Resolvendo o sistema, x = 400 – y  e  25x + 45y = 15000, vem :

25(400 - y) + 45y = 15000 → 10000 – 25y + 45y = 15000 → 20y = 5000

y = 250 e x = 150.

… razão entre o número de unidades compradas da melhor marca e o da marca inferior... → y/x = 250/150 = 5/3

4. Para que o sistema linear 2x + ky + 3z = 5 , x – y + 2z = 1 e kx + 2y – z = 2  não tenha solução, o valor da constante k deverá ser :

•01) − 2 ou 0

02) apenas, − 2

03) apenas, 0

04) 0 ou 2

05) apenas, 2

Vejamos :

... o sistema linear ... não tenha solução... ∆ = 0  . Através do método de Sarrus, vem :

                                   2    k    3    2    k

                    ∆ = 0 →  1   -1    2    1   -1    =   0 

                                   k    2   -1    k   2

2.(-1).(-1) + k.2.k + 3.1.2 – k.1.(-1) – 2.2.2 – 3.(-1).k = 0

2 + 2k² + 6 + k – 8 + 3k = 0 → 2k² + 4k = 0 → k² + 2k = 0 → k = 0 ou k = -2

5.Se o polinômio p(x) satisfaz p(x).(4x² + kx + 1) = 8x⁵ − 32x³ – x² + 4, em que k é uma constante, e duas de suas raízes são 2 e −2, então sua terceira raiz estará no intervalo :

01) ]−∞, −2[

02) [−2, −1[

03) [−1, 0[

•04) [0, 1[

05) [1, 2[

Vejamos :

Se ... p(x).(4x² + kx + 1) = 8x⁵ − 32x³ – x² + 4, em que k é uma constante, e duas de suas raízes são 2 e −2 ... e  o produto de p(x) por (4x² + kx + 1) resulta em (8x⁵ − 32x³ – x² + 4), então p(x) é do terceiro grau, do tipo p(x) = a(x-2).(x+2).(x-α), onde α é a terceira raiz.

p(x).(4x² + kx + 1) = 8x⁵ − 32x³ – x² + 4 →

a(x-2).(x+2).(x-α).(4x² + kx + 1) = 8x⁵ − 32x³ – x² + 4

a(x-2).(x+2).(x-α).(4x² + kx + 1) = 8x³(x² - 4) - (x² - 4)

a(x-2).(x+2).(x-α).(4x² + kx + 1) = (8x³ - 1).(x² - 4)

a.(x-α).(4x² + kx + 1) = (8x³ - 1)

a.(4x³ + kx² + x - 4αx³ – kαx - α) = (8x³ - 1)

(4ax³ + kax² + ax – 4aαx³ – akαx - aα) = (8x³ - 1)

Por comparação : 4a = 8→a = 2 ; ka = 0 →2k = 0→k = 0 ; - aα = - 1→α = 1/2

6. O número de soluções da equação sen2x = senx, no intervalo 0 ≤  x < 2π  é :

01) 0

02) 1

03) 2

04) 3

•05) 4

Vejamos :

Se ... sen2x = senx, no intervalo 0 ≤  x < 2π , então 2senxcosx = senx

2senxcosx – senx = 0 → senx(2cosx - 1) = 0 → senx = 0 ou 2cosx – 1 = 0

senx = 0 → x = 0 ; x = π  ou cosx = 1/2 → x = π/3 ; x = 5π/3.

Portanto serão 4 soluçoes → {0, π/3, π, 5π/3}

7.

 

Na figura, o círculo representa o tampo de uma mesa colocada em um canto de uma sala, tocando duas paredes perpendiculares nos pontos P e Q, respectivamente. Sabendo-se que um ponto R,  na borda da mesa,  está a 10cm de uma parede e a 20cm da outra, é correto afirmar que a região sombreada entre o tampo e as duas paredes tem área, em cm², igual a :

01) 484(π − 3)

02) 625(π − 3)

03) 324(4 − π)

04) 484(π − 2)

•05) 625(4 − π)

Vejamos :

Evidencie o segmento formado entre o centro da mesa e o ponto R (segmento OR), ele é o raio do circulo.

Com o  ponto R forme um triangulo retângulo onde os catetos serão

raio – 10 cm e raio – 20 cm ou seja r – 10 e r – 20.

Atraves de  Pitágoras, r² = (r - 10)² + (r - 20)²,  chegaremos a r = 50 cm.

Pronto, a região sombreada sera a diferença entre a área do quadrado e a do setor de 90⁰, ou seja :

A = r² – π. r²/4 = 50² – π.50²/4 = 2500 - 625π = 625(4 - π)

8. Se uma reta contém o ponto P(1,2), intersecta a circunferência C: x² + y² = 4 e cruza o eixo das ordenadas, então ela deve fazê-lo em um valor y₀ que satisfaz à condição :

01) y₀ ≤ 2 ou y₀ ≥ 10/3

02) y₀ ≤ 2 ou y₀ ≥ 7/2

03) y₀ ≤ 2

04) 2 ≤ y₀ ≤ 7/2

05) 2 ≤ y₀ ≤ 10/3

 Observando a figura podemos notar que existem duas retas, r₁ e r₂ , limitando as condições da questão.

Estas duas retas apresentam como equação geral, y – 2 = a(x - 1).

Vamos fazer a interseção desta equação com a circunferência, então :

x² + y² = 4  e  y – 2 = a(x - 1) → y = 2 + ax – a → y = ax + 2 – a

x² + y² = 4  → x² + [ax+(2-a)]² = 4 → x² + a²x² + 2ax(2-a) + (2-a)² = 4

(1 + a²)x² + 2a(2-a)x + (2-a)² -  4 = 0 → (1 + a²)x² + 2a(2-a)x + (2-a)² -  4 = 0

(1 + a²)x² + 2a(2-a)x + (2-a)² -  4 = 0 → (1 + a²)x² + 2a(2-a)x - a(4-a)  = 0

(1 + a²)x² + 2a(2-a)x - a(4-a)  = 0 → ∆ = [2a(2-a)]² – 4. (1 + a²). a(-4+a)  

∆ = [2a(2-a)]² – 4. (1 + a²). a(-4+a) = 4a²(4-4a+a²)-4a(-4+a-4a²+a³)

∆ = = 16a²-16a³+4a⁴ +16a – 4a² + 16a³ - 4a⁴ = 12a² + 16a = 0 (: 4)

3a² + 4a = 0 → a = 0 ou a = -4/3.

Entao as retas serão para a = 0 → r₁ : y – 2 = 0 → y = 2 e

r₂ : y – 2 = -4/3(x - 1)→y – 2=-4/3x + 4/3→y= -4/3x + 4/3 + 2 →y = -4/3x + 10/3

Portanto a resposta correta → 01) y₀ ≤ 2 ou y₀ ≥ 10/3

9. Em um teste, 50 pacientes tomaram os medicamentos X ou Y, sendo que cada remédio foi dado a 30 pacientes. Sabe-se que dos 14 pacientes que apresentaram efeitos colaterais, 6 haviam recebido ambos os medicamentos. Comparando o percentual de pacientes com efeitos colaterais no grupo que tomou os dois medicamentos, com o mesmo percentual no grupo que tomou apenas um, tem-se que o número de vezes que o primeiro é maior do que o segundo é :

01) 2

•02) 3

03) 4

04) 5

05) 6

Com auxilio do Diagrama de Venn abaixo, vamos considerar :

n(A) = 30 , n(B) = 30 , n(AUB) = 50 → n(AUB) = n(A) + n(B) - n(A∩B) →

50 = 30 + 30 - n(A∩B) → n(A∩B) = 10 .

Portanto, somente A = 20 e somente B = 20.

... Sabe-se que dos 14 pacientes que apresentaram efeitos colaterais, 6 haviam recebido ambos os medicamentos..., então 8 não haviam recebido ambos.

... Comparando o percentual de pacientes com efeitos colaterais no grupo que tomou os dois medicamentos ( 6/10 ), com o mesmo percentual no grupo que tomou apenas um... ( 8/40 ).

... que  número de vezes o primeiro é maior do que o segundo ?

6/10 = k . 8/40 → 24 = 8k → k = 3

10. Um tipo de tratamento reduziu um terço do volume V de um tumor. Um segundo tipo  tratamento eliminou uma fração q do volume restante, até sobrar apenas metade do volume inicial V. Se o segundo tratamento for repetido e gerar a mesma redução q do volume que sobrou, restará uma fração de V igual a :

01) 1/4

02) 1/3

•03) 3/8

04) 2/5

05) 3/7

Vejamos :

... Um tipo de tratamento reduziu um terço do volume V de um tumor... →

V - V/3 = 2V/3.

... Um segundo tipo  tratamento eliminou uma fração q do volume restante até sobrar apenas metade do volume inicial V...→ 2V/3 – q.2V/3 = V/2 →

2/3 – 2q/3 = 1/2 → 2q/3 = 2/3 - 1/2 → 4q = 1→ q = 1/4

... Se o segundo tratamento for repetido e gerar a mesma redução q do volume que sobrou, restará uma fração de V igual a ... →

V/2 - 1/4 de V/2 = V/2 - V/8 = 3V/8

11. A “Chikungunya”, como a dengue e outras viroses, é uma doença que preocupa a população de modo geral. Admita-se, hipoteticamente, que, em janeiro de 2014, houve 37 casos de uma determinada doença, em fevereiro, 55 novos casos ocorreram, e assim por diante, com o número de novos casos aumentando a cada mês, como uma progressão aritmética. Continuando assim, o total de casos, ao longo desse ano, será

01) 857

02) 1240

•03) 1632

04) 1915

05) 2284

Vejamos :

Como a doença evolui mensalmente segundo uma progressão aritmética, então cada elemento obedece a lei  a_n = a₁ + (n - 1).r

... em janeiro de 2014, houve 37 casos... → a₁ = 37

... em fevereiro, 55 novos casos... → a₂ =  55         

portanto a razão da PA é r = a₂ – a₁ = 55 – 37 = 18.

... continuando assim, o total de casos, ao longo desse ano ... →

a₁₂ = 37 + (12 - 1).18 → a₁₂ = 37 + 11.18 = 37 + 198 = 235

Finalmente o total no ano : S_n = (a₁ + a_n).n/2 → S₁₂ = (a₁ + a₁₂).6 →

S₁₂ = (37 + 235).6 → S₁₂ = 1632

12.Representando graficamente a função  f(x) = − x² + 4x , considerem-se os pontos de abscissas iguais a  − 1, 0, 2, 3 e 5 e todos os segmentos de reta com extremos nesses pontos. Escolhendo-se aleatoriamente um desses segmentos, a probabilidade de ele intersectar o eixo das abscissas é de:

•01) 80%

02) 75%

03) 70%

04) 65%

05) 60%

Vejamos :

... f(x) = − x² + 4x , considerem-se os pontos de abscissas iguais a  − 1, 0, 2, 3 e 5 ... → calculando os pontos , f(-1) = -5 → A(-1, -5) ; f(0) = 0 → B(0, 0) ; f(2) = 4 → C(2, 4) ; f(3) = 3 → D(3, 3) e f(5) = -5 → E(5, -5)

... todos os segmentos de reta com extremos nesses pontos... → calculando o numero de combinações de 5 elementos dois a dois →

C_5,2 = 5!/2!3! = 5.4.3!/2!3! = 5.4/2! = 10 possibilidades → AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE

... a probabilidade de ele intersectar o eixo das abscissas ... → os únicos segmentos que não podem intersectar são CD e AE, portanto a probabilidade é P = 8/10 = 80%

13.Um capital C = R$50000,00, aplicado por um tempo t, a uma taxa anual de juros compostos de 10%, acumulou  um montante M = R$64000,00. Considerando-se log 121 = 2,1 e log 2 = 0,3, pode-se afirmar que, na primeira metade do tempo t, essa aplicação rendeu :

01) R$4400,00

•02) R$5000,00

03) R$5700,00

04) R$6300,00

05) R$7000,00

Vejamos :

Juros Compostos → M = C(1 + i)^t → 64000 = 50000(1 + 10/100)^t →

64/50 = 1,1^t → 1,28 = 1,1^t → log1,28 = log1,1^t → log128/100 = t . log11/10 →

log128 – log100 = t . (log11 – log10) → log2⁷ – 2 = t . (log11 - 1) →

7 . log 2 – 2 = t . ( log11 – 1) → 7.0,3 – 2 = t . ( log11 – 1).

Como log121 = 2,1, então log11² = 2,1 → 2log11 = 2,1 →log11 = 1,05

Portanto 7.0,3 – 2 = t . ( log11 – 1) → 2,1 – 2 = t . (1,05 – 1) → 0,1 = 0,05t →

t = 0,1/0,05 → t = 2 anos.

Agora para a primeira metade do tempo, ou seja t = 1 ano →

M = C(1 + i)^t → M = 50000.(1 + 10%)¹ → M = 50000.1,1→ M = R$55000,00

Entao os juros serão iguais a J = 55000,00 – 50000,00 = R$ 5000,00

14. A avaliação dos alunos matriculados em determinada disciplina é feita através de quatro provas parciais e mais uma prova  final. No cálculo da média final, as pontuações das provas parciais  têm  o mesmo peso e  a pontuação da prova final  tem  um peso igual a 2/3 . Assim sendo, a média final de um aluno que obteve 86, 80, 84 e 90 pontos nas provas parciais poderá ser :

01) igual a 30, no mínimo.

02) igual a 90, no mínimo.

03) 77, se conseguir 73 pontos na prova final.

04) 73, se conseguir 77 pontos na prova final.

05) 85,  se conseguir 80 pontos na prova final.

Vejamos : media = (86+80+84+90)/4 = 85

Media final = [85.1/3 + x.2/3]/(1/3+2/3) = 85/3 + 2x/3

Por tentativa, já que não foi fornecidas a media final e a total, destacamos a terceira possibilidade, Media = 85/3 + 2x/3 → 77 = 85/3 + 2.73/3 →

77 = 85/3 + 146/3 → 77 = 231/3, verdadeira

15. 

Pesquisas mostram que está cada vez mais comum, no Brasil, encontrarem-se mulheres com a responsabilidade de prover o sustento de suas famílias, papel que já foi prioritariamente do homem. Com base nos dados contidos no gráfico, referentes ao provedor do sustento, e obtidos em uma comunidade constituída por 450 famílias, pode-se afirmar que o número de famílias sustentadas :

01) apenas por homens é inferior a 110.

02) apenas por mulheres é superior a 150.

03) por homem e mulher, juntos, é igual a 200.

•04) apenas por mulheres supera em 18 o número de famílias sustentadas apenas por homens.

05) por homens e mulheres, juntos,  supera em 36 o número de famílias sustentadas apenas por homens.

Vejamos :

Apenas por mulher = 32% de 450 = 144

Apenas por homem = 28% de 450 = 126

Homens e Mulheres juntos = 40% de 450 = 180

Apenas por mulheres supera em 18 o número de famílias sustentadas apenas por homens.