QUESTOES VESTIBULAR ITA 2017 – TIPO ANALITICA – COMENTADAS.

1. (Ita 2017)  Considere as retas de equações r : y = √2 x + a e s: y = bx + c,

em que a, b, c são reais. Sabendo que r e s são perpendiculares entre si, com r passando por (0, 1) e s,  por √2 , 4), determine a área do triângulo formado pelas retas r, s e o eixo x.

Resposta da questão 1:

 Calculando:

(0, 1) ɛ r → a = 1 ; r ┴ s →b√2 = - 1 → b = - √2/2 ; (2, 4) ɛ s → c = 5

Desenhando:

                             

Como r : y = √2 x + 1   ;   s : - √2 x/2 + 5   ;  (- √2 /2 , 0) ɛ r  ;  (5√2 , 0) ɛ s

Entao (√2 l)² + l² = (5√2 + √2/2)² → l² = 121/6 → S = √2 l²/2 = 121√2/12

  

2. (Ita 2017)  Determine todos os valores reais de x que satisfazem a inequação 4^{3x – 1} > 3^4x .

Resposta da questão 2:
 

Calculando:

4^{3x – 1} > 3^4x → 4^3x /4  > 3^4x → 4^3x  > 4 . 3^4x → 64^x > 4 . 81^x → (64/81)^x > 4

log_64/81 (64/81)^x < log_64/81 4 → x < log_(8/9)² 2² →x < log_8/92

3. (Ita 2017)  Sejam A e B dois conjuntos com 3 e 5 elementos, respectivamente. Quantas funções sobrejetivas f : B → A existem?

  

Resposta da questão 3:

 Calculando:

N⁰ funçoes = 3⁵ = 243

A₁ = funções em que a₁ não pertence a Imf

A₂ = funções em que a₂ não pertence a Imf

A₃ = funções em que a₃ não pertence a Imf

N⁰ funções sobrejetivas = 243 - n(A₁ U A₂ U A₃)

n(A₁) = n(A₂) = n(A₃) = 2⁵ = 32

n(A₁ ∩ A₂) = n(A₂ ∩ A₃) = n(A₁ ∩ A₃) = 1

n(A₁ ∩ A₂ ∩ A₃) = 0

n(A₁ U A₂ U A₃) = 3.32- 3.1 = 93

N⁰ funções sobrejetivas = 243 - n(A₁ U A₂ U A₃) = 243 – 93 = 150

4. (Ita 2017)  Esboce o gráfico da função f : R → R dada por f(x) = |2^-|x| - 1/2|

  

Resposta da questão 4:

Dividindo a função em “partes” para esboçar:

g(x) = (1/2)^x = 2^{- x}  ; h(x) = (1/2)^|x| = 2^{- |x|} ; m(x) = (1/2)^|x| - 1/2 ; f(x) = |2^-|x| - 1/2|

                                 

 

5. (Ita 2017)  Sejam A = {1, 2, ..., 29, 30} o conjunto dos números inteiros de 1 a 30 e (a₁, a₂, a₃) uma progressão geométrica crescente com elementos de A e razão q > 1.

a) Determine todas as progressões geométricas (a₁, a₂, a₃) de razão q = 3/2

b) Escreva q = m/n, com m, n ε N e mdc(m,n) = 1. Determine o maior valor possível para n.  

  

Resposta da questão 5:

 a) Calculando:

    (a₁, a₂, a₃) = (a₁, a₁.q, a₁.q²) = (a₁, 3a₁/2, 9a₁/4)

    Considerando que 9a₁/4 ε N entao a₁ é múltiplo de 4.

1)    a₁ = 4 → a₂ = 6 → a₃ = 9 → PG = (4, 6, 9)

2)    a₁ = 8 → a₂ = 12 → a₃ = 18 → PG = (8, 12, 18)

3)    a₁ = 12 → a₂ = 18 → a₃ = 27 → PG = (12, 18, 27)

4)    a₁ = 16 → a₂ = 24 → a₃ = 36 → a₃ > 30 → não é solução

    b) Calculando:

        (a₁, a₂, a₃) = (a₁, a₁.q, a₁.q²) = (a₁, ma₁/n, m²a₁/n²)

        30 ≥ a₁ ≥ n² → n = 5

        Se n = 5 → a₁ = 25 e m ≥ 6 → a₃ ≥ 36 → não é solução

        Se n = 4 → a₁ = 16 e m ≥ 5 → a₃ ≥ 25 → PG = (16, 20, 25) → n_Máx = 4

  

6. (Ita 2017)  Determine todos os valores reais de a para os quais o seguinte sistema linear é impossível:

 

 

   

  Resposta da questão 6:

             1      a     1

 D  =   - 1    - 2    3
             3      0     a

  D = a² + 7a + 6 = 0 → a' = - 1 ou a'' = - 6

Utilizando a Regra de Cramer: SI ou SPI → D = 0

Mas, x = D_x/D → D_x ≠ 0 → D_x = a² + 11a + 10 ≠ 0 → a' ≠ - 1 e a'' ≠ - 10

 Assim sendo, a = - 6  

7. (Ita 2017)  Considere o cubo ABCDEFGH de aresta 2 tal que: ABCD é o quadrado da base inferior; EFGH, o quadrado da base superior e AE, BF, CG e DH são as arestas verticais. Sejam L, M, e N os pontos médios das arestas AB, CG e GH respectivamente. Determine a área do triângulo LMN.

  

Resposta da questão 7:

                                         

  

L = (0, 1, 0) ; M = (2, 2, 1) ; N = (2, 1, 2)                       

                                                                                          i    j   k

LM = (2, 1, 1) e LN = (2, 0, 2) → S = ½.|LM x LN| = ½   2   1   1   =

                                                                                         2   0   2

1/2 .|2i – 2j – 2k| = |i – j – k| = √3 u.a.

8. (Ita 2017)  Um triângulo retângulo com hipotenusa c = 2(1 + √6) está circunscrito a um círculo de raio unitário. Determine a área total da superfície do cone obtido ao girar o triângulo em torno do seu maior cateto.

  

Resposta da questão 8:

                 

hipotenusa → a + b ; cateto maior → a + 1 e cateto menor → b + 1

a + b = 2(1 + √6) = 2 + 2√6 ; (a + b)² = (a + 1)² + (b + 1)² →

ab = a + b + 1 = 2 + 2√6 + 1 = 3 + 2√6

Supondo, x² - (2 + 2√6)x + (3 + 2√6) = 0

Por Girard, raízes a e b → a = 3 + √6  e  b = - 1 + √6

Cone → S_Total  = S_Lateral + S_Base = πRg + πR² → S_Total  = π√6(2 + 2√6) + π(√6)²

S_Total  = 2π√6 + 12π + 6π → S_Total  = 2π√6 + 18π → S_Total  = 2π(√6 + 9) u.a.

9. (Ita 2017)  Considere o polinômio

p(x) = x⁴ - (1 + 2√3)x³ +(3 + 2√3)x² - (1 + 4√3)x + 2

a) Determine os números reais a e b tais que p(x) = (x² +ax + 1)(x² +bx + 2)

b) Determine as raízes de p(x).

Resposta da questão 9:

 a) Calculando: p(x) = x⁴ - (1 + 2√3)x³ +(3 + 2√3)x² - (1 + 4√3)x + 2

   Através de uma fatoração : p(x) = (x² + ax + 1)(x² + bx + 2) →

   p(x) = (x² - 2√3x + 1)(x² - x + 2) → a = - 2√3 e b = - 1

 b) Calculando:

      p(x) = 0 =  (x² - 2√3x + 1)(x² - x + 2) → (x² - 2√3x + 1) = 0 → x = √3 ± √2

      ou (x² - x + 2) = 0 → x = (1 ± √7 i)/2

  

10. (Ita 2017)  Determine o conjunto das soluções reais da equação 3cossec²(x/2) – tg²x = 1.

Resposta da questão 10:
 

Calculando:

3cossec²(x/2) – tg²x = 1 → 3cossec²(x/2) = tg²x + 1 → 3cossec²(x/2) = sec²x

3/sen²(x/2) = 1/cos²x → 3cos²x = sen²(x/2) → 3cos²x = (1 - cosx)/2 →

6cos²x = 1 – cosx  → 6cos²x + cosx – 1 = 0  → cosx = (1 ±5)/12 →

cosx = - 1/2 → x = ± 2π/3 + 2kπ, k ε Z   ou

cosx = 1/3 → x = ± arc cos 1/3 + 2kπ, k ε Z